E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : topologia metrica


In uno spazio metrico è possibile costruire una topologia in modo del tutto naturale. Dato un punto dello spazio ed un numero reale positivo è immediato costruire l'insieme formato da tutti i punti che distano dal punto dato meno di quel numero. Un tale insieme, detto sfera aperta, ha tutte le caratteristiche per essere un intorno.

Uno spazio metrico genera quindi una topologia basata sulle sfere aperte che si possono costruire nello spazio. In questo capitolo mostriamo la topologia vista con un approccio prettamente metrico in perfetta analogia e corrispondenza con gli analoghi concetti mostrati nella sezione degli Spazi topologici. 

01 - Sfera aperta. Intorno.

Sia    uno spazio metrico e    un suo punto. Sia  un numero reale positivo  ( ). L'insieme :

        ,

cioè l'insieme di tutti i punti di  X  che distano da    meno di  , si chiama sfera aperta (o intorno circolare) di centro    e raggio  .

Il motivo per cui si usa il sostantivo "sfera" dipende dal fatto che in  l'insieme in questione corrisponde geometricamente ad una sfera di centro     e raggio  (escludendo i punti della superficie sferica) (vedi esempio più avanti).

Il motivo per cui si utilizza l'aggettivo "aperta" dipende dal fatto che, a causa della disuguaglianza  < r , vengono esclusi i punti per cui la distanza da  sia  = r .

Un sottoinsieme di  X  contenente una sfera aperta di    si chiama semplicemente intorno di  .

Esempi :

        - 1 -    l'insieme  dotato della metrica discreta

                   la metrica discreta consiste nel definire una distanza fissa, pari ad  1  , per ogni coppia di punti distinti dell'insieme (mentre la distanza fra un punto e se stesso è ovviamente nulla). In questo caso lo spazio consiste nei soli tre punti  a , b , c  come indicato dal diagramma :

                           

                   Costruiamo alcune sfere aperte con centro nel punto  a :

                           

                           

                           

                           

        - 2 -    lo spazio euclideo  R  (la retta reale)

                   le sfere aperte di  R  sono gli intervalli aperti. Preso il punto    di  R  ed il numero reale positivo  , la sfera aperta con centro    e raggio    è l'intervallo  (escludendo gli estremi). Graficamente :

                           

        - 3 -    lo spazio euclideo   

                   le sfere aperte di    sono i cerchi del piano ordinario con esclusione dei punti della circonferenza. Graficamente :

                           

                            (escludere dalla sfera aperta i punti della circonferenza)

        - 4 -    lo spazio euclideo   

                   le sfere aperte di    sono le sfere dello spazio ordinario escludendo i punti della superficie sferica. Graficamente :

                           

                            (escludere dalla sfera aperta i punti della superficie sferica)

        - 5 -    lo spazio euclideo  C  dei numeri complessi (la retta complessa)

                   un numero complesso può essere rappresentato da una coppia ordinata di  . Esattamente il numero complesso  (dove  è l'unità immaginaria e  ,   sono due numeri reali) corrisponde alla coppia ordinata  di . La metrica in  C  è  (analoga a quella in  R ). Il modulo di un numero complesso è definito da  per cui la distanza fra due punti di  C  è euclidea, essendo  .

                   Una sfera aperta di  C  è allora un cerchio, escludendo la circonferenza, come indicato dal grafico :

                           

                            (escludere dalla sfera aperta i punti della circonferenza)

        - 6 -    lo spazio  delle funzioni reali continue sull'intervallo    dotato della metrica 

                   la sfera aperta di centro    e raggio  , , è un insieme del tipo illustrato in figura :

                           

                            (escludere le funzioni di "frontiera")

                   Ogni funzione contenuta nella striscia colorata appartiene alla suddetta sfera aperta (con eccezione delle funzioni    e  ).

        - 7 -    lo spazio  delle funzioni reali continue sull'intervallo    dotato della metrica 

                   in questo caso non è possibile avere una "visualizzazione" della sfera aperta di centro     e raggio  . Questo può essere illustrato dall'esempio :

                           

                   Le funzioni  f  e  g  distano dalla funzione  valori (aree colorate) minori di un dato  ed esistono infinite altre funzioni più "strette" ad "alte" distanti anch'esse valori minori di  .

02 - Punto di accumulazione. Punto non isolato. Punto isolato. Derivato.

Sia    uno spazio metrico ed  A  un suo sottoinsieme. Si dice che il punto    appartenente ad  X  è un punto di accumulazione di  A  se :

       

ovvero se ogni sfera aperta di centro    e raggio  , escludendo  stesso, ha intersezione diversa dall'insieme vuoto ( ) con l'insieme  A  per ogni numero reale positivo  .

Questo concetto è di importanza capitale.

Un punto di accumulazione    dell'insieme  A  può appartenere all'insieme  A  stesso oppure non.

Se    appartiene all'insieme  A  ed è un suo punto di accumulazione esso è detto punto non isolato di  A .

Se    appartiene all'insieme  A  e non è un suo punto di accumulazione esso è detto punto isolato di  A .

L'insieme dei punti di accumulazione di  A  si chiama derivato di  A  e si indica con  D(A) .

Esempi :

        - 1 -    l'insieme dei numeri razionali  Q  sottoinsieme dello spazio euclideo  R 

                   ogni punto di  Q  è punto di accumulazione di  Q  e quindi non isolato. Questo può essere spiegato pensando che fra due punti razionali vi è sempre un punto razionale compreso fra i due (e distinto da essi), per esempio il loro punto medio. Graficamente :

                           

                   In questo caso si vede che  1/10  è punto di accumulazione di  Q quando si suppone di prendere sfere aperte di centro  1/10  e di raggio via via metà.

                   Ogni numero irrazionale (appartenente ad  R , non appartenente a  Q , ma limite di successioni di Cauchy in  Q ) è punto di accumulazione di  Q . Questo lo si può vedere per esempio costruendo il numero razionale    a partire dalla successione di Cauchy dei numeri razionali (espressi in forma decimale)  1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; ... (non entriamo nei particolari di come una tale successione di numeri razionali possa essere ottenuta ma sottolineiamo il fatto che si costruisce con essa un numero con infinite cifre decimali non periodiche che rappresenta  ). Prendendo una qualunque sfera aperta di centro    si trovano sicuramente punti di Q  al suo interno. Il numero    è quindi punto accumulazione di  Q . Graficamente :

                           

                            (scala arbitraria)

                   Infine, il derivato di  Q  è  R  , cioè  D(Q) = R .Ciò è di importanza capitale.

        - 2 -    l'insieme    sottoinsieme di  R  dotato della metrica euclidea

                   esso possiede il solo punto di accumulazione  0  che non appartiene ad  A . Ogni punto di  A  è punto isolato. Graficamente :

                           

                   Il derivato di  A  è  .

        - 3 -    gli intervalli  , , ,   appartenenti allo spazio euclideo  R  

                           

                   i derivati dei suddetti intervalli sono gli intervalli chiusi  , ,

                   Gli estremi  a , b , c , d , e , f , g , h  sono punti di accumulazione dei quattro intervalli (a due a due) ed appartengono o non ai relativi intervalli. Ogni punto di ciascun intervallo è punto di accumulazione di quell'intervallo e quindi è non isolato. Non vi sono punti isolati.

        - 4 -    gli spazi metrici euclidei  R , , C ,  

                   ogni punto di ciascun spazio è punto di accumulazione, quindi non isolato. Il derivato di ciascun spazio coincide quindi con lo spazio stesso.

        - 5 -    l'insieme  appartenente allo spazio euclideo    

                   il derivato di  A  è il cerchio :

                           

                            (prendendo anche i punti della circonferenza)

                   I punti dell'insieme  A  (i punti del cerchio senza quelli appartenenti alla circonferenza) sono tutti punti non isolati. I punti della circonferenza sono punti di accumulazione di  A  che non appartengono ad  A .

        - 6 -    l'insieme    sottoinsieme dello spazio    delle funzioni numeriche reali continue definite su    dotato della metrica   

                   tale insieme è visualizzato dal grafico :

                           

                   L'insieme non ha punti di accumulazione per cui  . La funzione  y = 0  non ha intorni circolari di raggio  < 1  che contengono funzioni di  A . Infatti :

                           

        - 7 -    l'insieme    sottoinsieme dello spazio    con  0 < a < 1   su cui è definita la metrica   

                   tale insieme è visualizzato dal grafico :

                           

                   La funzione  y = 0  è qui punto di accumulazione (l'unico) di  A . Tale punto non appartiene ad  A .

        - 8 -    l'insieme    sottoinsieme dello spazio    delle funzioni numeriche reali continue definite su    dotato della metrica   

                   tale insieme, con la distanza fra due suoi elementi, è visualizzato dal grafico :

                           

                   Anche qui la funzione  y = 0  è punto di accumulazione (l'unico) di  A  perché le funzioni di  A  si possono "schiacciare" a piacere sulla funzione  y = 0 :

                           

                   e quindi l'area indicata (la distanza da  y = 0 ) può diventare piccola a piacere. Tale punto di accumulazione non appartiene ad  A . 

Il punto di accumulazione soddisfa importanti proprietà. Fra queste :

        - 1 -    se    è punto di accumulazione dell'insieme  A  sottoinsieme dello spazio metrico    allora l'intersezione fra ogni sfera aperta di centro    , escludendo    stesso, e l'insieme  A  è infinito, cioè contiene infiniti punti (circa il concetto di insieme infinito ci basti una semplice comprensione intuitiva). Ovvero l'insieme    è infinito per ogni    reale positivo.

        - 2 -    il punto    è punto di accumulazione dell'insieme  A  sottoinsieme dello spazio metrico    se e solo se esiste una successione    in  A  (che abbia tutti gli elementi diversi da  ) per cui si abbia la convergenza  (per  ) in  X .

Il significato dei suddetti teoremi è molto intuitivo per cui ci limitiamo ad enunciarli senza dimostrazione.

Conseguenze dirette della definizione di punto di accumulazione sono le seguenti definizioni di capitale importanza per la topologia indotta dalla metrica.

03 - Insieme chiuso, denso in sé, perfetto. Chiusura di un insieme. Insieme denso in un altro.

Sia    uno spazio metrico ed  A  un suo sottoinsieme. Si dice che  A  è :

        -    chiuso se 

        -    denso in sé se   

        -    perfetto se  .

L'insieme    si chiama chiusura di  A .

Se  A  e  B  sono sottoinsiemi di  X  si dice che  A  è denso in  B  se  . In particolare si dice che  A  è denso in  X  se  .

Esempi :

        - 1 -    l'insieme  Q  dei numeri razionali sottoinsieme dello spazio euclideo  R   

                   poiché  D(Q) = R  , l'insieme  Q  è denso in sé e denso in  R . L'insieme  Q  non è chiuso.

        - 2 -    l'insieme    dove  x  appartiene allo spazio metrico   

                   l'insieme    è chiuso perché il suo derivato è l'insieme vuoto ( non ha punti di accumulazione) e perché l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme, anche di  X . Questo significa che insieme, formato da un unico punto, costituisce un insieme chiuso.

        - 3 -    gli spazi metrici euclidei  R , , C ,

                   si tratta di insiemi perfetti (quindi sia chiusi che densi in sé).

        - 4 -    gli intervalli  , , ,   appartenenti allo spazio euclideo  R  

                           

                   essi sono tutti densi in sé. L'intervallo    è inoltre chiuso (ciò giustifica il nome di intervallo chiuso), quindi è perfetto. 

        - 5 -    l'insieme  appartenente allo spazio euclideo    

                   si tratta del cerchio escludendo i punti della circonferenza :

                           

                            (escludendo i punti della circonferenza)

                   L'insieme  A  à denso in sé. La chiusura di  A  , , è costituito da tutto il cerchio (comprendendo i punti della circonferenza). Esso è perfetto.

        - 6 -    l'insieme    sottoinsieme  dello spazio    delle funzioni numeriche reali continue definite su    dotato della metrica 

                   l'insieme  A  è costituito dai polinomi di qualunque grado con coefficienti reali definiti sull'intervallo chiuso  . Si tratta di funzioni continue. Esattamente  A  è sottoinsieme proprio di  perché tutti i polinomi sono funzioni continue e perché vi sono funzioni continue che non sono esprimibili come polinomi di grado finito (per esempio la funzione  y = sin x ).  

                   Ogni funzione continua (in particolare non polinomiale) è "approssimabile" da un polinomio. Approssimabile significa che la distanza fra una funzione data ed un polinomio scelto opportunamente può essere resa piccola a piacere, ovvero, data una funzione continua  f(x)  si può trovare un polinomio  p(x)  che disti da  f(x)  un valore minore di un certo numero   reale positivo preso a piacere (e quindi piccolo quanto si vuole). Graficamente :

                           

                   La dimostrazione di questo risultato è complicata per cui ci limitiamo ad affermare, intuitivamente, che, in effetti, possiamo "costruire" polinomi con il numero di "oscillazioni" che vogliamo (tale numero dipende dal grado : maggiore è il grado di un polinomio, maggiore è in generale il numero delle sue oscillazioni) e dall'andamento desiderato.

                   Il derivato di  A  è quindi   per cui  A  è denso in sé e denso in  .

04 - Punto interno. Insieme aperto.

Sia    uno spazio metrico ed  A  un suo sottoinsieme. Sia    un punto di  A . Esso si dice punto interno di  A  se esiste una sfera aperta contenente    e contenuta in  A . Se ogni punto di  A  è interno ad  A , allora si dice che  A  è un insieme aperto.

Esempi :

        - 1 -    l'intervallo  appartenente allo spazio euclideo  R  

                   esso è aperto (ciò giustifica il nome di intervallo aperto) perché ogni suo punto è interno. Graficamente :

                           

        - 2 -    l'insieme  appartenente allo spazio euclideo    

                   è un insieme aperto. Graficamente :

                           

                            (escludendo i punti della circonferenza)

Il concetto di insieme aperto è di capitale importanza e le proprietà di tali insiemi sono numerose. Fra queste riportiamo qui le seguenti senza darne dimostrazione dato il loro contenuto altamente "intuitivo" :

        - 1 -    l'unione di un numero qualunque (anche infinito) di insiemi aperti è un insieme aperto. L'intersezione di un numero finito di insiemi aperti è un insieme aperto. L'intersezione di un numero infinito di aperti può essere non aperto. Illustriamo questo con un esempio grafico :

                           

                   Si tratta di infiniti intervalli aperti tutti centrati nel punto  a  ed ottenuti prendendo sempre le metà. L'intersezione di questi infiniti intervalli aperti è l'insieme    che è chiuso.

        - 2 -    se  A  è un sottoinsieme dello spazio metrico    è il complementare di  A  rispetto ad  X  (i punti dell'insieme  X - A ), allora se  A  è chiuso    è aperto, se  A  è aperto,    è chiuso 

        - 3 -    l'insieme vuoto    e l'insieme  X  sono sia aperti che chiusi. Questo fatto non è contraddittorio.

        - 4 -    una sfera aperta di  X  è ovviamente un sottoinsieme aperto di  X . Un insieme è aperto se e solo se è l'unione di sfere aperte. 

05 - Distanza fra due sottoinsiemi. Diametro di un insieme.

Sia    uno spazio metrico. 

Sia  x  un suo punto ed  A  un suo sottoinsieme non vuoto. Si definisce distanza di  x  da  A  il numero reale non negativo    ovvero il valore inferiore che può assumere la distanza di  x  da un qualunque punto  y  di  A . Per esempio, nello spazio euclideo  :

                           

Siano  A  e  B  due sottoinsiemi non vuoti di  X . Si chiama distanza fra  A  e  B  il numero reale non negativo  ovvero il valore inferiore che può assumere la distanza fra due punti dei due insiemi (il primo punto appartenente al primo insieme, il secondo punto al secondo insieme). Per esempio, nello spazio euclideo  :

                           

Sia  A  un sottoinsieme non vuoto di  X . Si chiama diametro di  A  il numero reale non negativo  ovvero il valore superiore che può assumere la distanza fra due punti di  A . Per esempio, nello spazio euclideo  :

                           

06 - Punto interno, esterno, di frontiera.

Alla luce della precedente definizione di distanza di un punto da un insieme, se è uno spazio metrico,   x  un suo punto ed  A  un suo sottoinsieme non vuoto, abbiamo le seguenti definizioni. Si dice che  x  è :

        -    interno ad  A  se    oppure    (   è il complementare di  A  rispetto ad  X  ). Questa definizione coincide con quella data in precedenza

        -    esterno ad  A  se 

        -    di frontiera per  A  se    e  .

Esempio nello spazio euclideo  :

                           

Qui,  x  è un punto interno, y  è un punto di frontiera e  z  è un punto esterno (rispetto ad  A ).

Si noti che nella definizione di punto interno, se  A = X  (cioè  ), allora un punto qualsiasi è obbligatoriamente interno. Per i punti di frontiera, invece, occorre che  A  sia sottoinsieme proprio di  X  . Se fosse  A = X , nessun punto potrebbe essere di frontiera.

07 - Interno e frontiera di un insieme.

Sia    uno spazio metrico ed  A  un suo sottoinsieme. Si chiama interno di  A  , e lo si indica col simbolo  Int(A) , l'insieme dei punti interni di  A . Si chiama frontiera di  A  , e lo si indica col simbolo  F(A) , l'insieme dei punti di frontiera di  A . Per esempio, nello spazio euclideo  :

                           

Si ha (intuitivamente è semplice rendersene conto) che l'interno di un insieme è aperto mentre la sua frontiera è chiusa.

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