E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : pseudometrica


In uno spazio metrico la distanza fra due punti coincidenti è nulla e viceversa, cioè se la distanza fra due punti è nulla, allora i punti sono coincidenti. Se proviamo ad escludere la seconda di queste condizioni, cioè se immaginiamo che la distanza fra due punti possa essere nulla anche se i due punti non coincidono, otteniamo una cosiddetta pseudometrica. L'importanza degli spazi pseudometrici è grande se si pensa che alla base della Teoria della Relatività vi sono appunto tali spazi.

01 - Definizione di pseudometrica e di spazio pseudometrico. 

Sia  X  un insieme non vuoto. Una applicazione (funzione) : 

          

(   è il prodotto cartesiano di  X  per se stesso, ovvero l'insieme delle coppie ordinate  di elementi di  X ) 

si dice che è una pseudometrica se valgono le seguenti proprietà :

        - 1 -      per ogni  x  e  y appartenenti ad  X ,

        - 2 -    ,

        - 3 -      per ogni  x  e  y  appartenenti ad  X  (simmetria),

        - 4 -      per ogni   x  e  y  appartenenti ad  X  (disuguaglianza triangolare) .

L'insieme  X  munito della pseudometrica  d  è denotato con    ed è detto spazio pseudometrico. Gli elementi di  X  si dicono punti ed il valore di    si chiama distanza di  x  da  y .

Come si vede bene, l'unica differenza fra metrica e pseudometrica è relativa al punto  - 2 - . Per uno spazio pseudometrico la distanza nulla fra due punti non implica la loro coincidenza, ovvero due punti distinti possono avere distanza nulla. Questo, in uno spazio metrico, non è possibile.

Esempi :

        - 1 -    Una pseudometrica su  .

                   Siano    e    due punti di  . Definiamo la distanza :

                            .

                   Tale distanza è una pseudometrica perché soddisfa i requisiti indicati in precedenza. Graficamente la distanza fra i punti  x  ed  y  è indicata da :

                           

                   in quanto   e  indicano le distanze euclidee rispettivamente di  x  e  y  dall'origine  0 .

                   Supponiamo che i punti  x  e  y  siano tali per cui le suddette distanze (euclidee) siano uguali così come indicato nel grafico :

                           

                   Tali punti, pur essendo distinti, avranno distanza  d  (nella pseudometrica) nulla.

        - 2 -    Una pseudometrica su .

                   Sia    l'insieme delle funzioni reali continue con derivata (prima) continua definite sull'intervallo  . Il fatto che una funzione continua abbia derivata continua (come funzione) in ogni punto del suo dominio non è automatico. Per esempio, la funzione   , rappresentata dal grafico :

                           

                   è continua su tutto  R  ed ha derivata  +1  a destra di  0  , -1  a sinistra di  0  mentre in  0  la derivata non esiste. In  0  la derivata non esiste perché in quel punto non vi è una tangente definita, il grafico in quel punto presenta uno "spigolo". La derivata, allora, passa, "salta", in maniera discontinua da  +1  a  -1 . Tali funzioni ed altre analoghe, pur essendo continue, debbono quindi essere escluse dall'insieme delle funzioni continue con derivata continua. Queste ultime, invece, hanno un andamento per cui la tangente si "muove" lungo la curva del grafico in modo continuo, senza salti. Una tale funzione è per esempio :

                           

                   Definiamo la distanza fra due funzioni  f  e  g  di    nel seguente modo :

                             

                   dove il simbolo  sup  indica che bisogna prendere il valore più alto possibile dell'espressione fra parentesi graffe e    e    sono le derivate delle funzioni  f  e  g . 

                   Se  f  e  g  sono uguali, le loro derivate sono di conseguenza uguali e la distanza fra le due funzioni è quindi nulla. Se invece consideriamo due funzioni diverse ma che hanno una differenza costante  c  , ovvero se  , notiamo che esse hanno la stessa derivata, cioè  . Graficamente :

                           

                   (per  x  che varia, le pendenze delle curve sono le stesse). 

                   La distanza fra le due funzioni è quindi nulla e  d  costituisce una pseudometrica (omettiamo la dimostrazione che gli altri requisiti che definiscono una pseudometrica sono soddisfatti).

        - 3 -    Una pseudometrica su  .

                   Con    indichiamo l'insieme delle funzioni reali definite sull'intervallo    per cui esiste l'integrale definito da  a  a  b . Tali funzioni sono costituite da tutte le funzioni continue su  ma non solo. Consideriamo la funzione rappresentata dal grafico :

                           

                   ovvero  y = 1  se  x  appartiene ad    ma è diverso da  c  (dove  c  è un punto interno ad  ) e  y = 2  se  x = c .

                   Tale funzione è discontinua ovviamente nel solo punto  c . L'integrale della funzione da  a  a  b  è l'area del rettangolo in figura :

                           

                   in quanto la discontinuità nel solo punto  c  non influisce nel calcolo dell'area. Tale integrale è ovviamente uguale all'integrale della funzione  y = 1  su tutto (ivi continua), pur essendo le due funzioni diverse (basta che due funzioni differiscano in un solo punto che esse sono diverse). 

                   Consideriamo ora la distanza fra due funzioni  f  e  g  di    definita da :

                             

                   dove il simbolo    rappresenta l'integrale definito da  a  a  b (cioè l'area della funzione scritta al posto dei puntini).

                   L'interpretazione geometrica di tale distanza è visualizzata dal grafico :

                           

                   ovvero la distanza fra le due funzioni  f  e  g  è data dall'area (positiva) indicata.

                   Se le funzioni  f  e  g  sono uguali, la distanza fra di loro è evidentemente nulla in quanto la differenza fra le due funzioni è zero.

                   Consideriamo invece le due funzioni definite sopra. La prima, che indicheremo con  f(x) , vale  y = 1 se  x  è diverso da  c  e  y = 2  se  x = c  , mentre la seconda, che indicheremo con  g(x) , è semplicemente  y = 1 . Esse sono diverse solo nel punto  c :

                           

                   La loro distanza è nulla, pur essendo diverse, perché la differenza fra le due funzioni è zero ovunque eccetto che in un solo punto e l'integrale di tale differenza è nullo :                             

                           

                   La distanza  d  così definita è quindi una pseudometrica (omettiamo la dimostrazione della validità delle altre condizioni che definiscono una pseudometrica).

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