E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : definizione ed esempi

Prendiamo in considerazione un insieme che contiene elementi di qualsiasi tipo. Se è possibile definire una distanza fra ciascuna coppia di elementi, allora abbiamo definito uno spazio metrico. Gli elementi di questo spazio metrico si chiamano anche semplicemente punti. 

Si noti, fatto molto importante, che usiamo in generale due parole tipiche della geometria (spazio e punti) anche se l'insieme in questione non è un insieme di punti geometrici. In effetti, anche se usiamo tali parole, ci dobbiamo astrarre dal loro significato comune. In matematica la parola spazio è sinonimo di insieme e punto è sinonimo di elemento di un insieme. 

Anche per la distanza (anch'essa concetto derivato dalla geometria) dobbiamo astrarci e considerarla solo una funzione fra due punti ed i numeri reali positivi uniti allo zero, in quanto la distanza si prende fra due punti e dà come risultato un valore positivo o nullo.

A prima vista può sembrare strano considerare una distanza fra due elementi di un insieme che non sia prettamente un insieme di punti geometrici. In realtà si può definire (è fondamentale sottolinearlo) una distanza fra oggetti che non sono punti geometrici. L'importante è che tale distanza soddisfi alcune semplici regole valide per ogni tipo di distanza, regole desunte dalle proprietà della distanza fra punti geometrici.

Questa generalizzazione del concetto di distanza ad insiemi non propriamente geometrici è di fondamentale importanza e costituisce un fatto ricco di proficue conseguenze. Vedremo che si può definire una distanza anche fra le funzioni.

01 - Definizione di metrica e di spazio metrico. Punti. Distanza.

Sia  X  un insieme non vuoto. Una applicazione (funzione) : 

          

(   è il prodotto cartesiano di  X  per se stesso, ovvero l'insieme delle coppie ordinate  di elementi di  X ) 

si dice che è una metrica se valgono le seguenti proprietà :

        - 1 -      per ogni  x  e  y appartenenti ad  X ,

        - 2 -    ,

        - 3 -      per ogni  x  e  y  appartenenti ad  X  (simmetria),

        - 4 -      per ogni   x  e  y  appartenenti ad  X  (disuguaglianza triangolare) .

L'insieme  X  munito della metrica  d  è denotato con    ed è detto spazio metrico. Gli elementi di  X  si dicono punti ed il valore di    si chiama distanza di  x  da  y .

La definizione di spazio metrico è, come si può vedere, molto semplice. Le quattro regole che definiscono una metrica sono dedotte dall'esperienza ordinaria di misurare la distanza geometrica fra due punti dello spazio. Analizziamo le quattro regole :

        - 1 -    la distanza fra due punti è ovviamente un numero reale positivo o nullo,

        - 2 -    se i due punti coincidono, la loro distanza è nulla e viceversa (se la distanza fra due punti è nulla, allora essi coincidono),

        - 3 -    se un punto dista da un altro un certo valore, il secondo dista dal primo lo stesso valore ,

        - 4 -    questa proprietà, un po' meno intuitiva delle altre, è dedotta dalle proprietà dei triangoli :

                              

Analizzando meglio, si può vedere che una di queste proprietà è superflua, essendo deducibile dalle altre. Si tratta della terza, la quale è una deduzione diretta della seconda e della quarta. Infatti, se consideriamo che :

          ovvero   

e :

          ovvero  ,

deve essere :  

        .   

Comunque, per comodità, conviene continuare a considerare tutte e quattro le proprietà così come definite sopra.

Vediamo ora alcuni esempi di spazi metrici fra cui alcuni sono costituiti da punti geometrici mentre altri sono costituiti da elementi di tipo diverso.

02 - Spazio metrico discreto.

Consideriamo l'insieme  X  e dotiamolo della metrica :

          per ogni   x  e  y  appartenenti ad  X  con  ( x  diverso da  y )

e :

          per ogni  x  appartenente ad  X .

E' facile dimostrare che la metrica  d  così definita soddisfa le quattro regole di cui al paragrafo  04-A . Lo spazio metrico    così definito è detto spazio metrico discreto.  

Aiutandoci con i diagrammi di Venn, potremmo riportare il seguente esempio di spazio metrico discreto :

       

dove i punti  a , b , c , d  non sono punti del piano (nel qual caso le distanze non sarebbero tutte uguali a  1 ), ma elementi qualsiasi su cui è stata definita la metrica discreta.

03 - Spazio euclideo reale unidimensionale  R  (retta reale).

Consideriamo l'insieme dei numeri reali  R  e definiamo la funzione :

       

(dove  | ... |  indica il valore assoluto o modulo) valevole per ogni  x  e  y  appartenente ad  R .

E' facile dimostrare che questa funzione soddisfa le quattro regole di cui al paragrafo  04-A  per cui  d  così definita è una metrica. 

Si tratta della metrica ordinaria con cui si misura la distanza fra due punti posti su una retta orientata :

         

Il valore assoluto presente nella definizione della metrica assicura che la distanza fra due punti sia sempre positiva o nulla. Per esempio :

       

        .

L'insieme dei numeri reali dotato della metrica così definita si chiama spazio euclideo reale unidimensionale o semplicemente retta reale. Il perché dell'aggettivo euclideo, dipende dal fatto che si deve al grande Euclide (circa 300 a.C.) lo studio analitico delle proprietà dello spazio ordinario in cui si svolge la nostra vita quotidiana.

04 - Spazio euclideo reale bidimensionale  .

Consideriamo l'insieme    (prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali  R  per se stesso, ovvero l'insieme delle coppie ordinate    dove    ed  sono numeri reali). Prendiamo due punti qualunque di    , segnatamente  , che possiamo raffigurare nel grafico cartesiano :

       

Definiamo ora la funzione :

        .

Essa è giustificabile graficamente con l'aiuto del teorema di Pitagora :

       

essendo    e  per cui :

        .

La funzione  d  così definita è una metrica. La dimostrazione che essa soddisfa le prime tre regole è banale mentre quella relativa alla quarta regole è più complessa dal punto di vista algebrico. Dal punto di vista geometrico, se consideriamo  coincidente con il piano della geometria euclidea (cosa del tutto plausibile), la dimostrazione della disuguaglianza triangolare fa parte dei teoremi classici di Euclide.

L'insieme  dotato della metrica definita sopra, essenzialmente a causa del fatto che la metrica stessa riproduce il teorema di Pitagora, si chiama spazio euclideo reale bidimensionale e corrisponde al piano euclideo. Questa metrica corrisponde al concetto ordinario di distanza fra due punti posti su di un piano. 

La metrica euclidea di  è una estensione della metrica euclidea di  R  definita nel paragrafo precedente. Infatti, essendo in quel caso (nel caso della retta reale  R ) semplicemente    e    (ovvero    e  in  , poiché la retta reale  R  può essere considerata coincidente con l'asse delle ascisse del sistema di riferimento cartesiano definito in  ), si ha :

       

come deve essere.

05 - Spazio euclideo reale tridimensionale  .

Lo spazio eucliceo reale tridimensionale  è lo spazio ordinario della nostra esperienza. La sua metrica, analogamente a quello che abbiamo fatto per  , è :

       

dove i punti  x  e  y  sono elementi dell'insieme  che si esprimono, in termini di coordinate, come    e  (sono delle triple ordinate,  estensioni a tre coordinate delle coppie ordinate).

Graficamente :

       

La metrica così introdotta è una estensione della metrica euclidea  di  R  ed  , ovvero corrispondente ad una naturale generalizzazione in tre dimensioni del teorema di Pitagora. Questa metrica riproduce il concetto ordinario di distanza fra due punti dello spazio. 

06 - Spazio euclideo reale n-dimensionale  .

La metrica euclidea che abbiamo definito su    e che rappresenta il modo ordinario di misurare la distanze fra due punti dello spazio tridimensionale della nostra esperienza, può essere estesa all'insieme    (dove il prodotto cartesiano è eseguito  n  volte). 

La distanza    fra due suoi punti  x  e  y  è cosi definibile :

         

(il simbolo    significa "sommatoria con l'indice  j   che varia da  1  a  n ") essendo    e  (si tratta di n-ple o ennuple ordinate, estensioni a  n  coordinate delle coppie ordinate).

L'insieme    dotato della metrica suddetta si chiama spazio euclideo reale n-dimensionale e rappresenta una naturale generalizzazione dello spazio euclideo  . Si tratta di uno spazio astratto, non visualizzabile graficamente né mentalmente, ma le cui proprietà metriche sono ben definite ed analoghe a quelle di  . La possibilità di creare ed utilizzare spazi a più di tre dimensioni rappresenta una grande e fondamentale conquista del pensiero umano.

Le applicazioni di    sono molteplici, sia a livello matematico che fisico. Si pensi che lo spazio-tempo della teoria della relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale) di Einstein è rappresentabile da uno spazio euclideo a quattro dimensioni ( ) in cui tre coordinate sono le tre coordinate spaziali ordinarie e la quarta è il tempo (in verità, tale metrica presenta alcune eccezioni di cui non parleremo qui) .

07 - Retta complessa  C .

Consideriamo l'insieme dei numeri complessi  C . Un numero complesso qualunque  x  è esprimibile nel modo usuale come :

       

dove    e    sono numeri reali ed  i  è l'unità immaginaria per cui  . Il numero  è detta parte reale di  x  e  parte immaginaria di   x . 

I numeri complessi possono essere rappresentati come coppie ordinate di   per cui si ha la corrispondenza :

        .

Graficamente :

       

Si noti che la corrispondenza fra i numeri complessi e le coppie ordinate di  è biunivoca cioè ad ogni numero complesso corrisponde una coppia ordinata e viceversa.

Prendiamo ora i due numeri complessi    e  . Graficamente :

       

Una distanza fra loro può essere definita come distanza euclidea :

        .

Graficamente :

       

Supponiamo ora che sia  y = 0 . Abbiamo allora :

         

il cui significato geometrico è :

       

La distanza    , come già sappiamo dalla teoria dei numeri complessi, rappresenta il modulo o valore assoluto del numero complesso  x  per cui si scrive :

        .

Detto questo, tenendo presente che :

         

e ricordando la formula che definisce la metrica, possiamo scrivere :

          .

L'eguaglianza della distanza fra due numeri complessi col modulo della loro differenza :

       

fa sì che possiamo fare un evidente paragone fra la metrica di  C  appena definita e la metrica della retta reale (le due metriche sono formalmente identiche). Per questo motivo,  C  dotato della metrica qui definita si chiama retta complessa.

E' molto importante notare che  C  è una estensione di  R  e che la metrica euclidea di  R  è estendibile direttamente a  C  se si definisce il valore assoluto di un numero complesso nel modo indicato sopra. 

08 - Spazio euclideo complesso n-dimensionale  (spazio unitario).

L'insieme delle n-ple ordinate di numeri complessi, in analogia con la metrica euclidea definita su  , può essere dotato di una metrica analoga.

Sia  il prodotto cartesiano di  C  eseguito  n  volte. Se    e    sono due punti di  , si può definire una distanza fra loro in analogia con la metrica euclidea di  nel seguente modo :

        .

Si noti che, a differenza della formula per la metrica di  , qui abbiamo il valore assoluto invece della parentesi. Se le n-ple fossero di numeri reali, si avrebbe di nuovo la metrica euclidea di  (perché nel campo reale si ha  ) e questo a significare ancora che  C  è una estensione di  R  e che la metrica può essere conservata formalmente uguale a se stessa nel passaggio da  R  a  C . 

L'insieme    dotato della metrica qui definita si chiama spazio euclideo complesso n-dimensionale oppure spazio unitario e costituisce una naturale generalizzazione dello spazio euclideo .  

L'importanza dello spazio unitario in matematica ed in fisica è enorme. 

09 - Esempio di altra metrica su  .

Dato un insieme, su di esso può essere definita più di una metrica. Questo fatto è molto importante e va sottolineato : la metrica euclidea è solo una delle metriche possibili, anche se è la metrica dello spazio intorno a noi e che ci è per questo particolarmente familiare. Uno spazio, anche lo spazio delle n-ple complesse, può quindi possedere metriche diverse.

In effetti, che la metrica euclidea sia la metrica dello spazio fisico della nostra esperienza quotidiana non è un fatto scontato. Secondo la teoria della relatività generale di Einstein, infatti, lo spazio fisico è incurvato dalle masse, quindi in generale non è a metrica euclidea. Su piccola scala, come qui sul nostro pianeta, esso è in ottima approssimazione euclidea. Solo su larga scala od in presenza di forti campi gravitazionali (per esempio presso stelle massicce, stelle di neutroni e buchi neri) lo spazio fisico sembra non possedere più la metrica euclidea.

Diamo qui un esempio molto semplice (senza dimostrazione) di una differente metrica di cui può essere dotato l'insieme  . Sia : 

          

dove    e  sono n-ple di numeri complessi.

Una tale metrica, diversa da quella euclidea (che indicheremo semplicemente con  d ) ma altrettanto valida dal punto di vista matematico, dota lo spazio a cui è applicata di proprietà metriche completamente diverse da quelle a cui siamo normalmente abituati.

Supponiamo infatti di limitarci al semplice caso di   . Per esso abbiamo la metrica euclidea :

       

e l'altra metrica :

        .

Supponendo anche che il punto  y  sia l'origine  , avremo allora :

       

e :

        .

Per mostrare come le due differenti metriche inducano nel medesimo spazio    strutture metriche completamenti diverse, troviamo tutti i punti che distano un numero minore od uguale ad  1  dall'origine  . Vogliamo perciò trovare i punti per cui :

          e  .

Nel primo caso (metrica euclidea  d ) il problema consiste nel trovare le coppie ordinate    per cui valga la disequazione :

          ovvero    

che graficamente corrisponde ad un cerchio di raggio  1  centrato nell'origine :

       

Nel secondo caso (metrica  d' ) il problema consiste nel trovare le coppie ordinate    per cui valga la disequazione :

         

che graficamente corrisponde al quadrato : 

       

Osservando i due grafici così trovati, notiamo che le proprietà metriche di    cambiano completamente passando da una metrica all'altra.

10 - Spazio delle funzioni reali continue su un intervallo chiuso  .

Consideriamo l'insieme delle funzioni numeriche reali continue definite sull'intervallo chiuso  , cioè costituito dalle funzioni :

       

continue (intuitivamente, una funzione reale è continua se il suo grafico cartesiano non presenta interruzioni, ovvero, quando lo si disegna, non si stacca la matita dal foglio). 

Chiamiamo questo insieme  . Graficamente :

       

dove  f(x) , g(x) , h(x) , i(x)  sono esempi di tali funzioni continue.

Definiamo la funzione :

       

che associa a due funzioni  f  e  g  il numero reale positivo (o nullo)  d . 

La formula appena scritta significa che, per ogni valore di  x  appartenente all'intervallo chiuso  , si deve :

        - 1 -    calcolare il valore della differenza fra  f(x)  e  g(x)  

        - 2 -    eseguire il valore assoluto, cioè rendere tale differenza positiva se essa è negativa

        - 3 -    scegliere fra tutti i possibili risultati ottenuti al variare della  x  il valore superiore.

Ciò che si ottiene è esemplificato dal seguente grafico :

       

La funzione  d  così definita rappresenta la massima distanza (presa su rette verticali) fra i punti delle curve che corrispondono alle due funzioni  f  e  g . E' semplice dimostrare che la funzione  d  soddisfa le leggi che definiscono una metrica per cui l'insieme  dotato della suddetta metrica è uno spazio metrico.

Questo esempio di spazio metrico non costituito da punti geometrici è molto importante e mostra tutta la potenza di astrazione della matematica. La possibilità di costruire spazi formati da funzioni (spazi funzionali) è un fatto di estrema importanza ed è alla base di sviluppi proficui che coinvolgono a fondo anche la fisica.

Per renderci conto del significato geometrico della metrica qui definita consideriamo le funzioni  g  che distano da una data funzione  f  un valore minore o uguale ad  1 , cioè cerchiamo le funzioni  g  per le quali :

        .

Tali funzioni sono tutte le funzioni continue definite su    il cui grafico sta nella fascia in colore :

       

che corrisponde a tutte le funzioni continue per cui :

         

(nel grafico abbiamo posto una funzione  g(x)  di esempio).

11 - Esempio di altra metrica su  .

Sull'insieme    delle funzioni numeriche reali continue definite sull'intervallo chiuso    è possibile costruire altre metriche. Per esempio la funzione :

       

costituisce una metrica (omettiamo la dimostrazione) (il simbolo    rappresenta l'integrale definito da  a  a  b ). Graficamente, tale distanza è rappresentata dall'area colorata fra le due funzioni (esattamente la somma delle tre aree indicate in figura) :

       

Come per la metrica del paragrafo precedente, chiediamoci quali sono le funzioni  g  che distano da una data funzione  f  un valore minire o uguale ad  1  . Cioè le funzioni  g  per cui :

        .

In questo caso, però, non si ottiene una evidenza grafica che caratterizzi, come nel caso precedente, il problema in questione. Per esempio la funzione  g  indicata nel grafico :

       

dista un valore minore di  1  dalla funzione  f  così come la funzione  h :

       

(in entrambi i grafici i rapporti fra i valori degli estremi  a  e  b  dell'intervallo chiuso  con il valore  1  sono arbitrari).

Le funzioni  g  e  h  coincidono con la funzione  f  dappertutto eccetto che in un segmento piccolo in cui si discostano notevolmente dalla funzione  f  . La funzione  h  è più stretta ed alta, ma l'area in colore (la distanza con  f  ) è anch'essa minore di  1 .

Da quanto mostrato si vede bene che la differenza con la metrica del paragrafo precedente è grande. Si tratta di metriche completamente diverse definite sullo stesso insieme.

12 - Spazio di Hilbert delle successioni  .

Una successione è una funzione da  N  (numeri naturali  1, 2, 3 ...)  ad  R  (numeri reali) o a  C  (numeri complessi) e si denota con :

         

dove    sono numeri complessi (consideriamo il caso più generale di successioni di numeri complessi) o più sinteticamente con :

        .

Prendiamo le due successioni    e    e supponiamo che le somme    e  convergano (abbiano come risultati numeri reali). Costruiamo ora la funzione :

        .

Si dimostra che la funzione  d  così definita è una metrica e lo spazio metrico delle successioni così ottenuto si chiama spazio di Hilbert delle successioni. Esso viene indicato col simbolo  . Si noti la somiglianza con la metrica euclidea dalla quale si discosta per la presenza della sommatoria di un numero infinito di termini con i relativi problemi di convergenza che ne derivano.

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