E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : separabilità

Il concetto di separabilità deriva direttamente dal fatto che  Q  (insieme dei numeri razionali) è un insieme numerabile ed allo stesso tempo è sottoinsieme di  R (insieme dei numeri reali) denso in  R . Lo spazio euclideo  R  è quindi separabile in due "componenti" : l'insieme  Q , che è numerabile e denso in  R , e l'insieme dei numeri irrazionali ( R - Q ).

In generale, un insieme numerabile è un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali  N . In "pratica" un insieme è numerabile se i suoi elementi possono essere "contati" in successione  1, 2, 3, ... (la spiegazione per cui l'insieme  Q  è numerabile è riportata all'esempio  - 1 - ).

La proprietà di separabilità di  R  può essere verificata da altri spazi metrici che per questo vengono chiamati separabili. Si tratta di una proprietà molto importante per gli spazi di Hilbert (vedi capitolo Spazi di Hilbert).

01 - Separabilità.

Uno spazio metrico   si dice separabile se esiste un sottoinsieme di  X  numerabile (o finito) e denso in  X . Un tale sottoinsieme può essere indicato con . 

Esempi :

        - 1 -    Lo spazio euclideo  R  .

                   Lo spazio euclideo  R  è separabile perché  Q  è numerabile e denso in  R  . Il fatto che  Q  sia denso in  R  è già stato illustrato precedentemente. Per quanto riguarda la numerabilità di  Q  basta tenere presente che un numero razionale positivo (ci limitiamo inizialmente al caso di numeri razionali positivi) è una frazione di numeri interi positivi  ( , dove    è l'insieme dei numeri interi positivi  1, 2, 3, ... che coincide con  N ) e quindi può essere messo in corrispondenza con la coppia ordinata  di    (prodotto scalare di    , insieme dei numeri interi positivi, per se stesso). Possiamo quindi disegnare il seguente grafico e "contare" le coppie ordinate di  (cioè i numeri razionali positivi) nel modo indicato :

                            (per esempio la coppia  (2,3)  corrisponde al numero razionale  2/3 )

                   Abbiamo così dimostrato che l'insieme dei numeri razionali positivi è numerabile. Di conseguenza  Q  è numerabile.

                   Riassumendo,  Q  è numerabile e denso in  R  e quindi  R  è separabile.

        - 2 -    Lo spazio euclideo  .

                   Se consideriamo il sottoinsieme di    formato dalle n-ple ordinate di numeri razionali, cioè l'insieme  , esso è evidentemente numerabile e denso in  . Per questo motivo    è separabile così come  R .

        - 3 -    Lo spazio euclideo (unitario)  .

                   Lo spazio    è ovviamente separabile essendolo  .

        - 4 -    Lo spazio delle funzioni reale continue  definite sull'intervallo    dotato della metrica  .

                   Il sottoinsieme di  costituito dalle funzioni polinomiali a coefficienti razionali definite su  è denso in  (vedi esempio nel capitolo sulla Topologia metrica). Tale sottoinsieme è ovviamente numerabile. Abbiamo così dimostrato che    è separabile.

        - 5 -    Lo spazio di Hilbert delle successioni  .

                   Anche questo è uno spazio separabile. Basta considerare il sottoinsieme formato dalle successioni di numeri razionali che da un certo elemento in poi hanno tutti valori nulli (per esempio la successione di numeri razionali  dal quinto termine in poi presenta valori tutti nulli). Tale sottoinsieme è numerabile e denso in  (l'intuizione della verità di questa affermazione è evidente) per cui    è separabile. Questo risultato è molto importante nella teoria degli spazi di Hilbert ad infinite dimensioni (vedi capitolo sugli Spazi di Hilbert).

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