Strutture matematiche : spazi metrici : funzioni, limiti

E-school di Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : funzioni, limiti

Le funzioni fra spazi metrici sono una classe di funzioni dall'importanza basilare. Le funzioni numeriche "ordinarie" a una o più variabili sono fra queste. Mostriamo qui alcune importanti proprietà metriche di tali funzioni per quanto riguarda il concetto di limite.

01 - Funzione fra spazi metrici.

Siano e due spazi metrici. Sia A un sottoinsieme non vuoto di X e sia f una funzione da A a Y , cioè . Una tale funzione (o applicazione) mette in relazione i punti di A con l'insieme Y , ovvero, come si suol dire, è definita su A ed ha valori (immagini) in Y . Per esempio :

Si tenga presente che il dominio della funzione f , l'insieme A , può essere, o non, uguale ad X ed il codominio di f , che si indica con , può essere uguale, o non, a Y .

02 - Funzione limitata.

Una funzione, come precedentemente definita, si dice limitata se è limitato , ovvero se . Si noti che il dominio A di f può non essere un insieme limitato. Esempi :

- 1 - La funzione da R ad R (dotati della metrica euclidea) (detta la "campana" di Gauss o gaussiana).

In questa funzione il numero e è il numero irrazionale di Nepero che vale circa 2,718 . La funzione si può scrivere anche come dove "exp" significa "esponenziale". Il suo grafico è :

Il dominio di questa funzione è tutto R . Il codominio è l'intervallo per cui la funzione è limitata. Si noti che il punto 0 non appartiene al codominio perché non vi è alcun punto di R che abbia come immagine 0 .

- 2 - La funzione da R ad R (dotati della metrica euclidea) .

Si tratta di una funzione non limitata (una parabola). Il suo grafico è :

Il dominio di questa funzione è tutto R . Il codominio è l'intervallo per cui la funzione non è limitata. Si noti che 0 appartiene al codominio perché corrisponde al valore 0 del dominio.

- 3 - La funzione , dove A è il sottoinsieme di (spazio delle funzioni numeriche reali continue definite su dotato della metrica ) delle funzioni continue comprese fra la funzione y = 0 e y = 1 (compresi gli estremi), definita da ( R è dotato della metrica euclidea).

La raffigurazione grafica dell'insieme A è il seguente :

(l'insieme A è l'insieme di tutte le funzioni continue i cui grafici sono contenuti nel quadrato colorato).

La funzione associa alle funzioni appartenenti ad A un numero reale dato dall'area della superficie così come indicato dall'esempio :

(l'integrale da 0 ad 1 della funzione è l'area in colore, quindi fornisce tale area)

E' chiaro che il codominio della funzione f è l'intervallo in quanto tutte le aree possibili nell'insieme A sono comprese fa quella (nulla) della funzione y = 0 a quella (pari ad 1 ) della funzione y = 1 . Per questi motivi f è una funzione limitata.

03 - Limite.

Possiamo classificare i seguenti "tipi" di limite :

- 1 - Limite "finito - finito" .

Siano e due spazi metrici, e . Sia ovvero appartenga al derivato di A (insieme dei punti di accumulazione di A ). Si dice che f tende a (converge a, ha limite) per x tendente ad e si scrive :

oppure :

per

se :

ovvero se per ogni numero reale positivo esiste un numero reale positivo tale che la distanza in Y fra le immagini di f ed sia minore di per ogni x appartenente alla sfera aperta di centro e raggio , escludendo stesso, intersecata con A ,

ovvero se per ogni sfera aperta di centro (in Y ) e raggio (reale positivo) esiste una sfera aperta di centro (in X ) e raggio i cui punti, escludendo stesso ed i punti che non appartengono ad A , hanno tutti immagine nella prima sfera aperta.

Graficamente :

- 2 - Limite "finito - infinito" [oppure ^] (le parentesi quadre discriminano i due casi).

Siano uno spazio metrico, e ( R è l'insieme di numeri reali dotato della metrica euclidea). In questo caso è lo spazio euclideo R . Sia . Si dice che f tende a (diverge positivamente [oppure negativamente], ha limite) [oppure ^] per x tendente ad e si scrive :

[oppure ^]

oppure :

per [oppure per ^]

se :

ovvero se per ogni numero reale esiste un numero reale positivo tale che le immagini di f siano maggiori di per ogni x appartenente alla sfera aperta di centro e raggio , escludendo stesso, intersecata con A ,

ovvero se per ogni numero reale esiste una sfera aperta di centro (in X ) e raggio i cui punti, escludendo stesso ed i punti che non appartengono ad A , hanno tutti immagine maggiore di .

Graficamente (divergenza positiva) :

(divergenza negativa) :

- 3 - Limite "infinito-finito" .

Sia dotato della metrica euclidea e sia uno spazio metrico. Sia non limitato e sia . In questo caso è lo spazio euclideo . Si dice che f tende a (converge a, ha limite) per x tendente a e si scrive :

oppure :

per

se :

ovvero se per ogni numero reale positivo esiste un numero reale positivo tale che la distanza in Y fra le immagini di f ed sia minore di per ogni x appartenente a escludendo la sfera aperta di centro 0 e raggio ed intersecando l'insieme ottenuto con A ,

ovvero se per ogni sfera aperta di centro (in Y ) e raggio (reale positivo) esiste un insieme formato dalla differenza fra ed una sfera aperta di centro 0 e raggio i cui punti, intersecati con A , hanno tutti immagine nella prima sfera aperta.

Graficamente per n = 2 :

- 4 - Caso di X = R e Y = R (dove R è dotato della metrica euclidea).

In questo caso è possibile definire il limite di f per , per da destra (si scrive ), per da sinistra (si scrive ), per e per . Si hanno cioè i limiti "elementari" delle funzioni numeriche reali riassumibili sinteticamente dai grafici :

(esempi di limiti finito-finito, finito-infinito)

(esempi di limiti destri diversi da limiti sinistri)

(esempi di limiti infinito-finito, infinito-infinito)

E' molto importante sottolineare che il limite può non esistere ma, se esiste, esso è unico. Questo dipende dal fatto che gli spazi metrici sono spazi di Hausdorff (vedi sezione sugli Spazi topologici).

Esempi :

- 1 - Alcuni limiti per la funzione definita da ad R ( R dotato della metrica euclidea).

Si ha . Graficamente :

- 2 - Alcuni limiti per la funzione definita da R ad R ( R dotato della metrica euclidea).

Si tratta della funzione il cui grafico è :

Si ha :

- 3 - Alcuni limiti per la funzione definita da R ad R ( R dotato della metrica euclidea).

Si tratta della funzione seno il cui grafico è :

Si ha :

- 4 - Alcuni limiti per la funzione definita da ad R ( e R dotati della metrica euclidea).

Si tratta della funzione il cui grafico è la superficie :

Si ha :

dove è un punto di .

- 5 - La funzione definita da ad R ( e R dotati della metrica euclidea).

Si ha :

dove è un punto di ..

Questo può essere mostrato introducendo la trasformazione di coordinate secondo la quale ad un punto di corrispondono un angolo ed un "raggio" t così come indicato in figura :

Si dice che la coppia costituiscono le coordinate polari di x (mentre le sono le coordinate cartesiane di x ). La trasformazione è una conseguenza diretta delle definizioni delle funzioni trigonometriche seno ( sin) e coseno ( cos ). Tali funzioni sono date sul cerchio trigonometrico da :

Con l'introduzione di queste nuove coordinate la funzione f diventa :

in cui si vede bene che la coordinata t non è presente. L'assenza di t significa geometricamente che la superficie in questione è formata da semirette parallele al piano così come indicato in figura :

Per questi motivi, non essendo convergente il "comportamento" della funzione nelle vicinanze di 0 , in quel punto non vi è limite.

- 6 - La funzione , dove è lo spazio delle funzioni numeriche reali continue definite su dotato della metrica , definita da ( R è dotato della metrica euclidea).

Per tale funzione si ha il limite :

dove per si intende che la funzione y di tende a y = 0 (che è appunto la funzione nulla di ). Graficamente :

dove la sfera aperta in di centro y = 0 e raggio è l'insieme delle funzioni continue contenute nel rettangolo ben evidente in figura e l'integrale da 0 a 1 corrisponde alla somma algebrica delle aree "intercettate" dall'asse delle t prendendo positive quelle sopra il medesimo asse e negative quelle sotto.

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