E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : funzioni, limiti


Le funzioni fra spazi metrici sono una classe di funzioni dall'importanza basilare. Le funzioni numeriche "ordinarie" a una o più variabili sono fra queste. Mostriamo qui alcune importanti proprietà metriche di tali funzioni per quanto riguarda il concetto di limite. 

01 - Funzione fra spazi metrici.

Siano    e    due spazi metrici. Sia  A  un sottoinsieme non vuoto di  X  e sia  f  una funzione da  A  a  Y  , cioè  . Una tale funzione (o applicazione) mette in relazione i punti di  A  con l'insieme  Y , ovvero, come si suol dire, è definita su  A  ed ha valori (immagini) in  Y . Per esempio :

                           

Si tenga presente che il dominio della funzione  f , l'insieme  A , può essere, o non, uguale ad  X  ed il codominio di  f , che si indica con  , può essere uguale, o non, a  Y .

02 - Funzione limitata.

Una funzione, come precedentemente definita, si dice limitata se è limitato  , ovvero  se  . Si noti che il dominio  A  di  f  può non essere un insieme limitato. Esempi :

        - 1 -    La funzione da  R  ad  R  (dotati della metrica euclidea)    (detta la "campana" di Gauss o gaussiana).

                   In questa funzione il numero  e  è il numero irrazionale di Nepero che vale circa  2,718  . La funzione si può scrivere anche come    dove  "exp"  significa  "esponenziale". Il suo grafico è :

                           

                   Il dominio di questa funzione è tutto  R . Il codominio è l'intervallo   per cui la funzione è limitata. Si noti che il punto  0  non appartiene al codominio perché non vi è alcun punto di  R  che abbia come immagine  0 .

        - 2 -    La funzione da  R  ad  R  (dotati della metrica euclidea)  .

                   Si tratta di una funzione non limitata (una parabola). Il suo grafico è :

                           

                   Il dominio di questa funzione è tutto  R . Il codominio è l'intervallo   per cui la funzione non è limitata. Si noti che  0  appartiene al codominio perché corrisponde al valore  0  del dominio.

        - 3 -    La funzione  , dove  A  è il sottoinsieme di    (spazio delle funzioni numeriche reali continue definite su  dotato della metrica    ) delle funzioni continue comprese fra la funzione  y = 0  e  y = 1  (compresi gli estremi), definita da  ( R  è dotato della metrica euclidea).

                   La raffigurazione grafica dell'insieme  A  è il seguente :

                           

                   (l'insieme  A  è l'insieme di tutte le funzioni continue i cui grafici sono contenuti nel quadrato colorato).

                   La funzione    associa alle funzioni appartenenti ad  A  un numero reale dato dall'area della superficie così come indicato dall'esempio :

                           

                   (l'integrale da  0  ad  1  della funzione  è l'area in colore, quindi    fornisce tale area)

                   E' chiaro che il codominio    della funzione  f  è l'intervallo    in quanto tutte le aree possibili nell'insieme  A  sono comprese fa quella (nulla) della funzione  y = 0  a quella (pari ad  1  ) della funzione  y = 1 . Per questi motivi  f  è una funzione limitata.

03 - Limite.

Possiamo classificare i seguenti "tipi" di limite :

        - 1 -    Limite "finito - finito"  .

                   Siano    e    due spazi metrici,   e  . Sia    ovvero    appartenga al derivato di  A  (insieme dei punti di accumulazione di  A ). Si dice che  f  tende a (converge a, ha limite per  x  tendente ad  e si scrive :

                              

                   oppure :

                              per   

                   se :

                             ,

                   ovvero se per ogni numero reale positivo    esiste un numero reale positivo    tale che la distanza in  Y  fra le immagini di  f  ed    sia minore di    per ogni  x  appartenente alla sfera aperta di centro    e raggio   , escludendo    stesso, intersecata con  A ,

                   ovvero se per ogni sfera aperta di centro  (in  Y ) e raggio    (reale positivo) esiste una sfera aperta di centro    (in  X ) e raggio    i cui punti, escludendo    stesso ed i punti che non appartengono ad  A , hanno tutti immagine nella prima sfera aperta.

                   Graficamente :

                           

        - 2 -    Limite  "finito - infinito"    [oppure  ] (le parentesi quadre discriminano i due casi).

                   Siano    uno spazio metrico,    ( R  è l'insieme di numeri reali dotato della metrica euclidea). In questo caso    è lo spazio euclideo  R . Sia    . Si dice che  f  tende a (diverge positivamente [oppure negativamente], ha limite [oppure  ] per  x  tendente ad  e si scrive :

                              [oppure  ] 

                   oppure :

                              per  [oppure    per  ]

                   se :

                             ,

                   ovvero se per ogni numero reale   esiste un numero reale positivo    tale che le immagini di  f  siano maggiori di    per ogni  x  appartenente alla sfera aperta di centro    e raggio   , escludendo    stesso, intersecata con  A ,

                   ovvero se per ogni numero reale    esiste una sfera aperta di centro    (in  X ) e raggio    i cui punti, escludendo    stesso ed i punti che non appartengono ad  A , hanno tutti immagine maggiore di  .

                   Graficamente (divergenza positiva) :

                           

                   (divergenza negativa) :

                           

        - 3 -    Limite "infinito-finito" .

                   Sia    dotato della metrica euclidea e sia    uno spazio metrico. Sia    non limitato e sia  . In questo caso    è lo spazio euclideo  . Si dice che  f  tende a (converge a, ha limite per  x  tendente a  e si scrive :

                           

                   oppure :

                              per   

                   se :

                           

                   ovvero se per ogni numero reale positivo    esiste un numero reale positivo    tale che la distanza in  Y  fra le immagini di  f  ed    sia minore di    per ogni  x  appartenente a    escludendo la sfera aperta di centro  0  e raggio    ed intersecando l'insieme ottenuto con  A ,

                   ovvero se per ogni sfera aperta di centro  (in  Y ) e raggio    (reale positivo) esiste un insieme formato dalla differenza fra  ed una sfera aperta di centro  0  e raggio    i cui punti, intersecati con  A , hanno tutti immagine nella prima sfera aperta.

                   Graficamente per  n = 2 :

                           

        - 4 -    Caso di  X = R  e  Y = R  (dove  R  è dotato della metrica euclidea).

                   In questo caso è possibile definire il limite di  f  per  , per    da destra (si scrive  ), per  da sinistra (si scrive  ), per    e per  . Si hanno cioè i limiti "elementari" delle funzioni numeriche reali    riassumibili sinteticamente dai grafici :

                           

                            (esempi di limiti finito-finito, finito-infinito)

                           

                            (esempi di limiti destri diversi da limiti sinistri)

                           

                            (esempi di limiti infinito-finito, infinito-infinito)

E' molto importante sottolineare che il limite può non esistere ma, se esiste, esso è unico. Questo dipende dal fatto che gli spazi metrici sono spazi di Hausdorff (vedi sezione sugli Spazi topologici).

Esempi :

        - 1 -    Alcuni limiti per la funzione  definita da    ad  R ( R dotato della metrica euclidea).

                   Si ha    . Graficamente :

                           

                   Si ha    . Graficamente :

                           

                   Si ha  . Graficamente :

                           

                   Si ha  . Graficamente :

                            

                   Si ha  . Graficamente :

                            

        - 2 -    Alcuni limiti per la funzione    definita da ad  R ( R dotato della metrica euclidea).

                   Si tratta della funzione il cui grafico è :

                           

                   Si ha :

                             

                           

                          

                           

                           

        - 3 -    Alcuni limiti per la funzione    definita da ad  R ( R dotato della metrica euclidea).

                   Si tratta della funzione seno il cui grafico è :

                           

                   Si ha :

                             

                           

                           

        - 4 -    Alcuni limiti per la funzione    definita da  ad  R ( e  R dotati della metrica euclidea).

                   Si tratta della funzione il cui grafico è la superficie :

                           

                   Si ha :

                           

                           

                   dove     è un punto di  .

        - 5 -    La funzione    definita da  ad  R ( e  R dotati della metrica euclidea).

                   Si ha  :

                             

                   dove     è un punto di  .

                   Questo può essere mostrato introducendo la trasformazione di coordinate    secondo la quale ad un punto  di     corrispondono un angolo    ed un "raggio"  t  così come indicato in figura :

                             

                   Si dice che la coppia    costituiscono le coordinate polari di  x  (mentre le    sono le coordinate cartesiane di  x ). La trasformazione    è una conseguenza diretta delle definizioni delle funzioni trigonometriche seno ( sin) e coseno ( cos ). Tali funzioni sono date sul cerchio trigonometrico da :

                           

                   Con l'introduzione di queste nuove coordinate la funzione  f  diventa :

                           

                   in cui si vede bene che la coordinata  t  non è presente. L'assenza di  t  significa geometricamente che la superficie in questione è formata da semirette parallele al piano    così come indicato in figura :

                           

                   Per questi motivi, non essendo convergente il "comportamento" della funzione nelle vicinanze di  0 , in quel punto non vi è limite.

        - 6 -    La funzione  , dove    è lo spazio delle funzioni numeriche reali continue definite su  dotato della metrica   , definita da  ( è dotato della metrica euclidea).

                   Per tale funzione si ha il limite :

                           

                   dove per    si intende che la funzione  y  di    tende a  y = 0  (che è appunto la funzione nulla di  ). Graficamente :

                           

                   dove la sfera aperta in  di centro  y = 0  e raggio    è l'insieme delle funzioni continue contenute nel rettangolo ben evidente in figura e l'integrale da  0  a  1  corrisponde alla somma algebrica delle aree "intercettate" dall'asse delle  t  prendendo positive quelle sopra il medesimo asse e negative quelle sotto.

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