E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : funzioni continue


Il concetto di continuità fornisce fondamentali e proficue proprietà alle funzioni fra spazi metrici. In questo capitolo presentiamo i concetti fondamentali relativi alla continuità e all'omeomorfismo ed alcune importanti loro conseguenze.

01 - Continuità.

Siano    e    due spazi metrici,  A   un sottoinsieme non vuoto di  X  ( ) e    un punto appartenente ad  A .  Sia  una funzione da  A  a  Y .

La funzione  f  si dice continua nel punto    se :

         

ovvero se per ogni sfera aperta  (l'indice    indica che tale sfera è riferita alla metrica di  ) di centro    esiste una sfera aperta    (l'indice  d  indica che tale sfera è riferita alla metrica di  ) di centro    i cui punti in comune con  A  hanno immagini in  . Graficamente :

       

Se la funzione  f  è continua in tutti i punti di  A  allora si dice che è continua su  A .

Esempi :

        - 1 -    La funzione  y = x  da  R  ad  R  (è dotato della metrica euclidea).

                   Si tratta di una funzione continua su tutto  R . In particolare nel punto  x = 1 . Graficamente :

                           

         - 2 -    La funzione    da  R  ad  R  (è dotato della metrica euclidea).

                   Questa è una funzione continua su tutto  R  eccetto che nel punto  x = 0 . Graficamente :

                           

Si noti che la definizione di continuità si applica ai soli punti del dominio di una funzione. Il limite, invece, si calcola in un punto del derivato (insieme di punti di accumulazione) del dominio per cui tale punto potrebbe non appartenere al dominio della funzione (questa considerazione non vale per i limiti per  x  tendente all'infinito).

Fra le numerose proprietà della continuità ricordiamo i seguenti teoremi che presentiamo senza dimostrazione perché sufficientemente intuitivi :

        - 1 -    Nelle condizioni di definizione di continuità date sopra, aggiungendo solamente che  , oltre che appartenere ad  A  , ne deve essere punto di accumulazione, si ha che le seguenti affermazioni sono equivalenti :

                            -    f  è continua in   

                            -    . Graficamente, nel caso di funzioni da  A  sottoinsieme di  R  ad  R  ( R dotato della metrica euclidea) :

                           

                            -    per ogni successione    in  A  convergente in    risulta che    nella metrica  di  Y . Graficamente, nel caso di funzioni da  A  sottoinsieme di  R  ad  R  ( R dotato della metrica euclidea) :

                           

                   Questo importante teorema mette in relazione i concetti di continuità e limite, continuità e successioni.

        - 2 -    Siano  f  e  g  due funzioni continue su  A  . Allora le funzioni :

                            f(x) + g(x)

                            f(x) - g(x)

                            f(x) · g(x)

                            |f(x)| ; |g(x)|  (dove  |  |  rappresenta il modulo o valore assoluto)

                            f(x) / g(x)  , per i punti di  A  dove  g(x) è diverso da  0 ,

                   sono continue su  A .

                   Questo fondamentale teorema permette di "costruire" funzioni continue a partire da funzioni continue date. Si noti che nel caso della divisione fra funzioni si deve porre attenzione che il denominatore non sia nullo (nel qual caso la divisione perde senso matematico). Per esempio, partendo dalla funzione  y = x  continua su tutto  R  , si può ottenere la funzione polinomio di grado  n  (intero non negativo) così definita :

                             

                   dove si pone    e    . La funzione polinomio è quindi continua su tutto  R . Per esempio il polinomio  , il cui grafico è :

                           

                   è una funzione continua su tutto  R .

                   Se si divide per una funzione, invece, occorre che il denominatore sia diverso da  0 . Per esempio, la funzione  y = 1/x  è definita e continua su tutto  R  escluso il punto  x = 0 . Graficamente :

                           

                   Un altro caso interessante è quello delle due funzioni trigonometriche definite e continue su tutto  R ed  y = sin x  e  y = cos x  i cui grafici sono :

                           

                   Il rapporto fra seno e coseno si chiama tangente, cioè    e geometricamente ha il seguente significato :

                           

                   La funzione tangente è quindi definita e continua su tutto  R  eccetto che nei punti dove il coseno si annulla cioè per  (si noti la simmetria fra i valori positivi e negativi). Il grafico della funzione  y = tan x  è quindi :

                           

                   Nei punti dove si annulla il coseno la funzione tangente non è definita. In quei punti la funzione ha un comportamento divergente e si avvicina a rette verticali dette asintoti verticali.

        - 3 -    Siano     ,   e   tre spazi metrici. Siano  e sia  . Sia  . Graficamente :

                           

                   Se  f  è continua in    (punto di  A  ) e  g  è continua in  allora la funzione composta    (ovvero  g(f(x)) ) è continua in  .

                   Questo importante teorema assicura che la composizione di funzioni continue è essa stessa continua. Per esempio, la funzione  è la composizione di un quadrato e di un seno (che sono funzioni continue su tutto  R ). La funzione composta così ottenuta sarà anch'essa continua su tutto  R . Il suo grafico è : 

 

                           

                   Si noti l'oscillazione della funzione con "ampiezza" costante (da  -1  a  + 1 ) e "frequenza" crescente sia verso destra che verso sinistra (in modo simmetrico) (quando la frequenza diventa troppo alta, il grafico tracciato via computer risulta non più attendibile a causa della risoluzione scelta). 

                   Un altro caso è per esempio la funzione    (che si può scrivere anche come  ). Si tratta della composizione della funzione coseno con la funzione esponenziale, entrambe continue su tutto  R  . La funzione esponenziale  (dove  e  è il numero irrazionale di Nepero che vale circa  2.718 ) ha il seguente grafico :

                           

                   La funzione composta    risulta quindi continua su tutto  R  ed il suo grafico è :

                           

        - 4 -    Sia  f  una funzione continua su  A ( f  funzione da  A  sottoinsieme non vuoto di  X  ad  Y ). Allora sono equivalenti le seguenti affermazioni intuitivamente molto chiare :

                            -    f  è continua su  A 

                            -    per ogni  B  sottoinsieme aperto di  Y  esiste  B'  sottoinsieme aperto di  X  per cui si ha   

                            -    per ogni  C  sottoinsieme chiuso di  Y  esiste  C'  sottoinsieme chiuso di  X  per cui si ha   

                   dove per    si intende la relazione inversa corrispondente alla funzione  f .

                   Graficamente per funzioni da  A  sottoinsieme di  R  ad  R  ( R  dotato della metrica euclidea) :

                           

                           

02 - Contrazione. Teorema del punto fisso. Problema di Cauchy.

Sia    uno spazio metrico e sia    una funzione da  X  a  X  stesso. Se esiste un numero reale positivo  c  per cui si verifichi che :

       

per ogni  x  e  y  appartenenti ad  X , si dice che la funzione  f  è lipschitziana. Graficamente :

       

Se poi  c < 1 , allora si dice che  f  è una contrazione. Graficamente, per una contrazione da  A  a  A  sottoinsieme di  R  (dotato della metrica euclidea) :

       

Una funzione lipschitziana, ed in particolare anche una contrazione, è sempre continua. Il viceversa non è vero. Per esempio la funzione  è definita su tutto  R  ed è ivi continua. Il suo grafico è :

       

La condizione di lipschitzianità per questa funzione è :

         

che è equivalente a :

        .

Orbene, non è difficile dimostrare che questa condizione non è mai soddisfatta per qualunque valore di  c  positivo nell'intorno di  0 . Mostriamo questo fatto graficamente per  c = 1 :

        

        (grafico tracciato limitatamente al caso di  x'  e  x''  non negativi)

I punti colorati di rosso soddisfano la disequazione mentre quelli colorati di verde non al soddisfano. Tali punti sono nell'intorno di  0 .

Per le contrazioni vale un importante teorema, il cosiddetto teorema del punto fisso dovuto a Banach ed a Caccioppoli. Ne esponiamo l'enunciato senza dimostrazione essendo il suo significato molto intuitivo.

Teorema del punto fisso :

        -    Sia    uno spazio metrico completo. Sia    una contrazione. Allora esiste uno ed un solo punto  x  di  X  per cui si verifica che  f(x) = x . Graficamente :

                           

Per esempio, per una contrazione da  A  sottoinsieme di  R  ad  A  ( R  dotato della metrica euclidea) :

       

Si noti che per questo teorema è richiesta la completezza dello spazio metrico su cui è definita la contrazione.

Il teorema del punto fisso, sebbene apparentemente semplice ed intuitivo, è estremamente "potente" ed utile. In generale, quando in un problema si cerca di definire l'unicità della soluzione, se si riesce a ricondurre il problema al suddetto teorema, tale unicità è garantita. 

Un esempio classico di questo è il cosiddetto problema di Cauchy che non è altro che una equazione differenziale, ovvero una equazione in cui l'incognita è una funzione ed in cui è anche presente la derivata della medesima.

Esattamente (omettendo precisazioni inessenziali alla comprensione del concetto) il problema di Cauchy consiste nel determinare una funzione    (definita da un certo opportuno sottoinsieme di  R  ad  R ) continua assieme alla sua derivata prima che soddisfi l'equazione differenziale :

       

con la condizione iniziale (si chiama così perché il punto (a ,b)  rappresenta una sorta di punto da cui "inizia" il grafico della funzione  soluzione del problema) :

        .

Il simbolo   indica la derivata prima di    ed    è una data funzione continua definita da un certo opportuno sottoinsieme di    ad  R  ( R  ed    sono dotati della metrica euclidea). Si ricordi che la derivata    indica la "pendenza" del grafico della funzione  (ovvero della sua tangente) punto per punto. 

Graficamente :

       

Se riusciamo a ricondurci al teorema del punto fisso, siamo sicuri che il problema di Cauchy così definito (l'equazione differenziale) ha una ed una sola soluzione.

Per fare questo consideriamo che se due funzioni sono uguali, anche i loro integrali sono uguali. Cioè se    allora si ha :

       

in quando si determinano aree uguali.

Facendo allora l'integrale da  a  ad  x  ad ambo i membri dell'equazione    si ottiene :

       

(si noti l'utilizzo della variabile di integrazione  t  in quanto  x  indica qui l'estremo superiore di integrazione).

Il termine di sinistra fornisce :

         

in quanto l' "integrale della derivata di una funzione è la funzione stessa". Questa affermazione costituisce uno dei teoremi fondamentali del calcolo integrale e può essere spiegata tramite seguente grafico :

       

osservando che l'integrale della derivata  y'  è approssimato dalla somma :

        

(qui i  dx  rappresentano intervalli finiti uguali in cui è scomposto l'intervallo ed i    i corrispondenti incrementi della  y ).

La formula    si semplifica quindi in :

         

ovvero :

         

cioè :

        .

L'espressione al secondo membro può essere considerata come una funzione che trasforma funzioni continue in funzioni continue, cioè da   a  , dove    è lo spazio delle funzioni continue a valori reali definite sull'intervallo  , essendo h  è un opportuno numero reale positivo, dotato della metrica  . Indichiamo questa funzione con  F , esattamente  , dove  F  è definita da :

          

(la scrittura  indica che la funzione  , immagine di  , è essa stessa funzione di  x ).

Graficamente :

       

L'equazione    si può scrivere allora come :

       

ovvero :

        .

Orbene, se  F  è una contrazione su  , essendo    uno spazio metrico completo, allora, per il teorema del punto fisso, l'equazione    ha una ed una sola soluzione (uno ed un solo punto    che la soddisfa). Non è difficile dimostrare che se la funzione    è lipschitziana rispetto ad  y  per ogni  x  appartenente a  , allora  F  è una contrazione.

Abbiamo così dimostrato che il problema di Cauchy, ovvero l'equazione differenziale  , con l'aggiunta di una ulteriore condizione di lipschitzianità su  f  , ammette una ed una sola soluzione  . Non abbiamo però detto nulla su "come" si risolve l'equazione differenziale e si trova  . Questa è un'altra problematica che è conseguente alla dimostrazione di unicità della soluzione. In matematica, in generale, di fronte ad un problema, all'inizio si prende in considerazione la questione dell'unicità della soluzione, poi, successivamente, si studia come trovarla. Spesso, ci si limita al solo primo passo, lasciando alle tecniche di calcolo numerico (al computer) l'approssimazione della soluzione anche perché la soluzione esatta di un problema complesso è spesso impossibile od oltremodo ardua.

03 - Omeomorfismo.

Siano     e    due spazi metrici. Una funzione    (cioè biunivoca) è ovviamente invertibile. Se  f  è continua ed anche  (la funzione inversa di  f ) è continua, allora si dice che  f  è un omeomorfismo e che i due spazi     e    sono omeomorfi.

Per esempio, la funzione  f  da    a    (dotati della metrica euclidea) indicata dal grafico :

       

è un omeomorfismo.

Invece, la funzione :

       

non è un omeomorfismo perché non è  1-1 (iniettiva) per cui non può essere invertita.

Anche la funzione :

       

non è un omeomorfismo perché non è  su (suriettiva) per cui non può essere invertita.

Circa il concetto di omeomorfismo è fondamentale precisare quanto segue.

Il fatto che  f  sia invertibile e continua non implica necessariamente che anche  sia continua. Per mostrare questo consideriamo gli spazi metrici  ,   dotati della metrica euclidea e la funzione :

         

il cui grafico è la circonferenza di raggio  1  indicata in figura :

       

Tale funzione è evidentemente continua ed invertibile ma la sua funzione inversa  non è continua. Per dimostrare questo basta considerare il grafico :

       

Il concetto di omeomorfismo fornisce la possibilità di stabilire un "legame" molto "stretto" fra due spazi metrici. Quando due spazi sono omeomorfi allora sono in qualche modo "equivalenti" ed uno può essere "usato" al posto dell'altro. Il significato di questa considerazione sarà chiarito nel prossimo paragrafo.

04 - Continuità e topologia.

Le funzioni continue fra spazi metrici (ed i particolare gli omeomorfismi) presentano fondamentali proprietà di tipo topologico. Tali proprietà sottolineano l'importanza delle funzioni continue che, ove possibile, vanno ricercate e "sfruttate". Alcune di queste proprietà sono (ne omettiamo la dimostrazione perché sufficientemente intuitive) : 

        - 1 -    Siano     e    due spazi metrici e sia   un omeomorfismo. Allora :

                            -      aperto      aperto

                            -      chiuso     chiuso

                   dove il simbolo    indica la doppia inferenza "se e solo se".

                   Questo teorema è molto importante. Esso afferma che un omeomorfismo trasforma gli (insiemi) aperti in aperti ed i chiusi in chiusi. In altre parole, un omeomorfismo "conserva" le proprietà topologiche di aperto e chiuso. Graficamente :

                           

                           

        - 2 -    Sia    uno spazio metrico compatto e   uno spazio metrico. Se  è una funzione continua, allora    è compatto. Graficamente :

                           

        - 3 -     Sia    uno spazio metrico compatto e    una funzione continua ( R  dotato della metrica euclidea). Allora  f  è dotato di massimo e minimo. Graficamente :

                           

                   Questo importante teorema è dovuto a Weierstrass.

        - 4 -    Sia    uno spazio metrico compatto e   uno spazio metrico. Sia    una funzione continua. Allora    è continua e quindi  f  è un omeomorfismo.

        - 5 -    Sia    uno spazio metrico connesso e   uno spazio metrico. Se  è una funzione continua, allora    è connesso. Graficamente :

                           

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