E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : connessione


Il concetto di connessione è legato alla possibilità che un insieme sia costituito da più "parti" distinte oppure sia un "tutt'uno" e questa è una proprietà prettamente topologica. Presentiamo qui la connessione dal punto di vista metrico.

La connessione è richiesta in molti importanti teoremi.

01 - Connessione e sconnessione.

Sia     uno spazio metrico. Esso si dice sconnesso se esistono due sottoinsiemi aperti e non vuoti di  X  , mettiamo  B'  e  B'' , tali che sia  e  , ovvero che siano disgiunti e la loro unione dia  X . Analogamente, un sottoinsieme  A  di  X  si dice sconnesso se    è uno spazio metrico sconnesso.

Per esempio, nello spazio euclideo  :

                           

l'insieme  A  è sconnesso.

Se invece, per ogni  B'  e  B'' , sottoinsiemi aperti e non vuoti di  X  tali che  , risulta che    (cioè essi hanno elementi in comune), allora si dice che lo spazio metrico    è connesso. Analogamente, un sottoinsieme  A  di  X  si dice connesso se    è uno spazio metrico connesso. Per esempio, nello spazio euclideo  :

                           

gli insiemi  A , B , C  (considerati a sé stante) sono tre insiemi connessi. 

Esempi :

        - 1 -    Gli spazi euclidei  R ,   ,  .

                   Sono spazi metrici connessi. Mostriamo questo intuitivamente per  R :

                           

                   dove    e    sono due aperti non disgiunti che uniti contengono (coprono)  R .

        - 2 -    L'insieme dei numeri razionali  Q  dotato della metrica euclidea.

                   Si tratta di un insieme sconnesso. Infatti, i due insiemi  B'  e  B''  di numeri razionali separati dal numero irrazionale    :

                           

                   (cioè, abbreviando le notazioni,    e  ) sono insiemi aperti, disgiunti e tali per cui, uniti, forniscono  Q  . Per questi motivi  Q  è sconnesso.

        - 3 -    L'insieme dei numeri irrazionali  R - Q  dotato della metrica euclidea.

                   Anche questo è un insieme sconnesso. Basta considerare i due insiemi dei numeri irrazionali minori e maggiori di  0 .

Per gli spazi connessi valgono importanti teoremi. Fra questi :

        - 1 -    Gli unici sottoinsiemi dello spazio euclideo    contemporaneamente aperti e chiusi sono     (l'insieme vuoto) e   .  

                   Infatti, se un sottoinsieme proprio non vuoto  A  di  (contenete almeno un punto e diverso da  )   non vuoto  fosse contemporaneamente aperto e chiuso lo sarebbe anche  (per un noto teorema illustrato nel capitolo sulla Topologia metrica). In particolare  A  e   sarebbero entrambi aperti. Ma allora succederebbe che due insiemi non vuoti, aperti e disgiunti ( A  e appunto) avrebbero come unione  che per questo sarebbe sconnesso contro il fatto che invece    è connesso. Per questo motivo non possono esistere sottoinsiemi propri non vuoti di    contemporaneamente aperti e chiusi.

        - 2 -    Se  A  è un sottoinsieme aperto di    esso è connesso se e solo se per ogni coppia di punti  x  e  y  di  A  esiste una poligonale di estremi  x  e  y  appartenente ad  A (una poligonale è una sequenza di segmenti consecutivi).

                   Il teorema è molto intuitivo per cui ci limitiamo ad enunciarlo ed a mostrarne un esempio nello spazio euclideo  :

                           

Concludiamo l'argomento accennando molto brevemente e solo intuitivamente al concetto di componente connessa. Uno spazio sconnesso può essere "suddiviso" nelle sue componenti connesse che a loro volta sono insiemi connessi. Per esempio nello spazio euclideo  :

                           

l'insieme scommesso  X  ha componenti connesse  A , B , C .

Vi sono insiemi le cui componenti connesse sono costituite da un solo punto. Per esempio tutti gli insiemi finiti, ma anche  Q  e  R - Q che sono insiemi infiniti. In questo caso si dice che un insieme è totalmente sconnesso

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