E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : completezza


Uno spazio è completo se, intuitivamente, una volta che vi si è "dentro" non se ne può più "uscire". Viceversa, se da uno spazio si può "uscire" esso è incompleto. Naturalmente il concetto così esposto è solo qualitativo, descrittivo, e necessita, come vedremo, di una definizione molto rigorosa.

L'esempio classico di incompletezza/completezza è quello dell'insieme dei numeri razionali  Q  e dei numeri reali  R . Anzi, il concetto di completezza si può dire che nasca dal confronto di quei due insiemi. Consideriamo l'insieme dei numeri razionali ( Q ) ovvero dei numeri che si possono esprimere come frazioni di numeri interi (es. 1/2 , - 2/3 , 4/1 = 4 , 0/1 = 0 ecc. ecc.). L'insieme  Q  non è completo perché successioni di numeri razionali (sequenze numerabili di numeri razionali) possono tendere (si avvicinano sempre più) a numeri che non sono razionali. Tali numeri sono i numeri irrazionali (es. , , , (numero di Nepero) , ecc. ecc.). L'insieme dei numeri razionali  Q  è quindi incompleto perché, una volta al suo interno, vi se ne può uscire. L'insieme dei numeri razionali unito all'insieme dei numeri irrazionali, il cosiddetto insieme dei numeri reali  R  , invece, è completo. Ogni sua successione che tende ad un numero, tende ad un numero reale, contenuto nell'insieme stesso. L'insieme dei numeri reali  R  è completo e non "necessita" di altri numeri.

Il concetto di completezza è molto "forte" ed importante e da esso derivano molte utili proprietà per cui, quando si può, si cerca sempre di "lavorare" con spazi completi.

01 - Insieme limitato. 

Sia    uno spazio metrico ovvero sia dato l'insieme  X  dotato della metrica  d . Sia  A  un sottoinsieme (non vuoto) proprio di  X , cioè  . Si dice che  A  è un insieme limitato se, dato un punto qualunque    appartenente ad  A  , esiste un numero reale positivo  per cui si abbia    per ogni  x  appartenente di  A . 

Per esempio, in  dotato della metrica euclidea, l'insieme  A  indicato in figura è limitato :

       

L'insieme  dotato della metrica euclidea, invece, non è ovviamente limitato perché dato un punto qualsiasi    ed un numero reale positivo    qualunque, esiste sempre un punto  x  di    che dista da    un valore maggiore di  .

02 - Successione convergente.

Sia    uno spazio metrico e sia    una successione in  X . Per successione in  X   intendiamo un insieme di punti di  X  in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali  N . Una successione si indica anche esplicitandone, elencandoli, gli elementi     che, ovviamente, sono infiniti.

Esempio di successione in  :

       

Si dice che     converge per  n  tendente all'infinito quando esiste un punto  x  appartenente ad  X  per cui si ha :

          per    

cioè per cui la distanza fra il termine generico della successione  ed il punto  x  tende a  0  per  n  tendente all'infinito. In altre parole gli elementi della successione si "avvicinano" sempre più ad un elemento dato  x  che si chiama il limite della successione.

Se la successione converge si scrive :

          per  .

E' importante notare che la definizione qui data di convergenza è analoga a quella riportata nel capitolo degli spazi topologici qualora la topologia sia quella indotta dalla metrica tramite il concetto di sfera aperta (vedi il capitolo della Topologia metrica). 

La topologia indotta dalla metrica è una topologia di Hausdorff per cui, se una successione in uno spazio metrico converge, il limite è unico.

Si noti anche che l'insieme dei punti di una successione convergente è un insieme limitato.

Esempi :

        - 1 -    la successione    in  (dotato della metrica euclidea)

                   ovvero la sequenza dei numeri  che evidentemente converge a  0 . Graficamente :

                           

                   infatti la distanza da  0  (il limite della successione) di ciascun elemento della successione tende a  0 .

        - 2 -    la successione    in  (dotato della metrica euclidea)

                   questa successione di coppie ordinate, , tende a    ovvero a  0  inteso come origine degli assi cartesiani costruiti su  . Graficamente :

                           

        - 3 -    la successione delle funzioni    appartenenti a    su cui è definita la metrica   

                   tali funzioni sono  e sono rappresentate dal seguente grafico :

                           

                   Si vede bene che al crescere di  n  le funzioni si "schiacciano" sull'asse delle  x . Si può così intuire che esse tendono alla funzione  y = 0 . Per verificare se l'intuizione è giusta occorre però attenersi rigorosamente alla definizione di metrica scelta per questo spazio. La distanza fra una generica  funzione della successione e la funzione (supposta) limite  y = 0  è evidentemente  (cioè  ) in quanto la distanza fra due funzioni in questa metrica è il valore massimo che la differenza fra le due funzioni (in valore assoluto) può assumere al variare di  x  nell'intervallo  . Graficamente :

                           

                   La distanza fra la generica funzione    della successione dalla funzione  y = 0  , essendo  , tende a  0  al tendere di  n  all'infinito. Per questo motivo possiamo affermare con sicurezza che    per    come avevamo giustamente intuito.

        - 4 -    la successione delle funzioni    appartenenti a    su cui è definita la metrica   

                   si tratta delle funzioni  dove la funzione trigonometrica    (seno di  x ) ha il seguente grafico :

                           

                   Il grafico dei termini della successione è quindi :

                           

                   Come nell'esempio precedente, anche qui sembra che la successione tenda alla funzione  y = 0 . Considerando il tipo di metrica qui utilizzata, l'affermazione è vera. La distanza fra una generica funzione  e la funzione limite  y = 0  è evidentemente    per cui possiamo affermare che    per  .

        - 5 -    la successione delle funzioni    appartenenti a    su cui è definita la metrica   

                   tali funzioni sono    e sono rappresentate dal grafico :

                           

                   Si noti il fatto molto importante che esse passano tutte per i punti  0  e  . Osservando il grafico, le funzioni appaiono "schiacciarsi" sull'asse delle  x  per cui si potrebbe ipotizzare che esse tendono alla funzione  y = 0 . In verità, poiché esse passano tutte per  , si ha che la distanza di una generica funzione    della successione dalla funzione  y = 0  è sempre  1  perché  1  rappresenta appunto la massima differenza fra ciascuna funzione  e  y = 0  al variare di  x  nell'intervallo  . Possiamo scrivere allora    per ogni  n  per cui la successione non converge, non ha limite. 

        - 6 -    la successione delle funzioni    appartenenti a    con  0 < a < 1   su cui è definita la metrica   

                   in questo caso le funzioni sono le medesime dell'esempio precedente ma definite sull'intervallo    dove  a  è un punto qualunque interno a  . Graficamente :

                           

                   Su un tale dominio la successione ha limite e tende alla funzione  y = 0  perché la distanza fra la generica funzione    della successione e la funzione  y = 0  è  che, essendo  0 < a < 1 , tende a  0  per  n  tendente all'infinito. Abbiamo cioè  per cui    per  .

        - 7 -    la successione delle funzioni    appartenenti a    su cui è definita la metrica   

                   qui abbiamo scelto una differente metrica e la distanza fra due funzioni è data dall'area (non negativa) fra due funzioni come indicato nell'esempio in figura :

                           

                   E' chiaro che la distanza fra    e  y = 0  è data dall'area del triangoloide :

                           

                   (qui nel caso di  n = 3 )

                   Tale distanza, al crescere di  n  , tende a  0  perché l'area del triangoloide si riduce sempre più. Possiamo allora affermare che, nella presente metrica, la successione tende a  y = 0 , cioè     per 

Si noti che una medesima successione, come mostrato in questi ultimi esempi, può avere limiti diversi (o addirittura non convergere) al variare del dominio o della metrica. Questo fatto è di estreme importanza.

Diamo altri due esempi di successioni che non convergono (non hanno limite).

        - 8 -    la successione  n  in  (dotato della metrica euclidea)

                   si tratta dei numeri  1;2;3;... che ovviamente non convergono ad un valore di  R .

        - 9 -    la successione    in  Q  (insieme dei numeri razionali dotato della metrica euclidea) 

                   gli elementi di questa successione sono le frazioni  2 ; 9/4 ; 64/27 ; 625/256 ; ... . Graficamente :

                  

                   Come si intuisce dal grafico, l'andamento della successione è tale da indicare la convergenza ad un limite ben preciso inferiore a  3 . Per  n = 10000  si ottiene un valore di circa  2,7181459268249  . Ulteriori indagini analitiche sulla successione mostrano, invece, che, pur avendo essa un "comportamento" convergente (sembra avvicinarsi ad un valore ben definito), in effetti non converge ad un numeri razionale appartenente a  Q (l'insieme delle frazione di numeri interi). Il numero a cui la successione converge è un numero irrazionale (reale ma non razionale, cioè non esprimibile come frazione di due numeri interi) indicato con    e detto numero di Nepero. Il suo valore approssimato a  3  cifre decimali è  2,718 .

                    Questo esempio mostra che vi sono successioni dal "comportamento" convergente che non convergono effettivamente ad un punto appartenente all'insieme in cui la successione è definita. Questa particolarità è di fondamentale importanza e discrimina gli spazi metrici in due categorie, quelli cosiddetti completi e quelli non completi. Prima di definire esattamente cosa sia la completezza, però, occorre definire un criterio di convergenza che non sia legato al fatto che la successione converga o non ad un elemento dell'insieme in cui essa è definita, ma che descriva il "comportamento" della successione in modo "intrinseco", che cioè non necessiti di considerare altri punti all'infuori di quelli della successione stessa.

03 - Successione di Cauchy.

Sia    uno spazio metrico e sia    una successione in  X . Si dice che essa è una successione di Cauchy se :

       

ovvero se per ogni numero    reale positivo esiste un numero naturale    in dipendenza di    tale che la distanza fra gli elementi    e    sia minore di    per ogni numero naturale  m  ed  n  maggiori di  . In altre parole, la distanza fra due elementi della successione, al crescere del loro indice, deve tendere a  0 , cioè, più si procede nella successione, più le distanze fra due elementi qualsiasi di essa diminuiscono.

E' evidente che nella definizione di successione di Cauchy non si fa riferimento esplicito ad un punto preciso a cui essa converge. In questo modo si introduce un criterio di convergenza "intrinseco" alla successione stessa. 

L'esempio  - 9 -  del paragrafo precedente è un esempio classico di successione di Cauchy che non converge ad un elemento dell'insieme in cui la successione è definita (nella fattispecie, Q ). 

L'esempio  - 8 - , invece, mostra una successione che non è una successione di Cauchy in quanto i suoi elementi hanno distanza che non tende a  0  al crescere dell'indice. 

Nell'esempio  - 7 - abbiamo invece una successione convergente (ad un elemento dell'insieme in cui essa è definita) che è ovviamente una successione di Cauchy.

In generale possiamo affermare che tutte le successioni convergenti (ad elementi degli insiemi in cui esse sono definite) sono successioni di Cauchy mentre il viceversa, come già ampiamente mostrato, non è vero. Una successione di Cauchy può convergere ad un elemento non contenuto nell'insieme di definizione della successione.

04 - Spazio metrico completo.

Uno spazio metrico    si dice completo se ogni successione di Cauchy in  X  è convergente ad un punto di  X .

Esempi :

        - 1 -    lo spazio  Q  (insieme dei numeri razionali) dotato della metrica euclidea 

                   siccome, come visto in precedenza, vi sono successioni di Cauchy in  Q  non convergenti in  Q , tale spazio non è completo. Si può allora immaginare che tali successioni convergano a valori non razionali (irrazionali). L'unione dei numeri razionali ( Q ) e dei numeri irrazionali forma l'insieme dei numeri reali  R . Questa definizione di  R , ottenuta utilizzando le successioni di Cauchy, è analoga a quella data nel capitolo sui numeri tramite i tagli di Dedekind.

        - 2 -    gli spazi metrici euclidei  R , , C , , sono completi

                   questo fatto è di estrema importanza

        - 3 -    lo spazio delle funzioni reali continue    definite sull'intervallo    e dotato della metrica   

                   è uno spazio metrico completo

        - 4 -    lo spazio delle funzioni reali continue    definite sull'intervallo    e dotato della metrica   

                   il fatto che questo spazio non sia completo è molto importante (in negativo) in quanto si cerca sempre la completezza. Il tentativo di "ampliare" tale spazio rendendolo completo porta alla definizione dello spazio di Hilbert  (lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile) che costituisce, fra l'altro, la base matematica della Meccanica Quantistica.

                   Mostriamo con un esempio grafico il perché lo spazio in questione non è completo. Consideriamo la successione delle funzioni continue così come indicate nel grafico :

                           

                   dove  c  è il punto medio dell'intervallo  ed i punti  A , B , C , ...   si ottengono prendendo le metà degli intervalli che hanno come estremo destro il punto  c . Naturalmente si fa la stessa cosa a destra di  c . La successioni di funzioni continue così costruita è una successione di Cauchy perché la distanza fra due funzioni è data dall'area :

                           

                   che diventa sempre più piccola al crescere di  n . Come esempio abbiamo visualizzato la distanza    cioè fra la seconda e la terza funzione della successione. 

                   La successione di funzioni continue così costruite è una successione di Cauchy in questa metrica (nella metrica dell'esempio precedente  - 3 -  non lo sarebbe !!). Questa successione tende a convergere sulla funzione :

                           

                   che non è una funzione continua (è discontinua in c  ) per cui lo spazio in questione non è completo.

        - 5 -    lo spazio di Hilbert delle successioni  è completo

                   questo è un fatto di grande importanza per gli spazi di Hilbert ad infinite dimensioni (vedi capitolo sugli Spazi di Hilbert) 

In generale, dato uno spazio metrico incompleto, è sempre possibile trovare uno spazio metrico completo che può essere considerato il suo completamento.

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