E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi metrici : compattezza


La compattezza è una proprietà basilare per la matematica e noi ne conosciamo già la definizione topologica (vedi apposito capitolo nella sezione sugli Spazi topologici). Qui ne mostriamo l'aspetto metrico tenendo presente che i due approcci, topologico e metrico, sono equivalenti. La compattezza, dal punto di vista metrico, unisce in sé il concetto di completezza e di totale limitatezza (un concetto più restrittivo di limitatezza, vedi più avanti).

Uno spazio metrico compatto, o semplicemente un suo sottoinsieme, godono di proprietà molto importanti. Per esempio, se una funzione continua è definita su un dominio compatto ed il suo codominio è un sottoinsieme di  R  , allora questa funzione è dotata di massimo e minimo. Ciò può sembrare banale se il dominio è un sottoinsieme compatto di  R , ma se il dominio è uno spazio di funzioni o di altri oggetti "complicati", l'affermazione non risulta più così banale ed avere un tale teorema risulta oltremodo conveniente e proficuo. Avere perciò a che fare con insiemi compatti è assai conveniente.

01 - Insieme totalmente limitato.

Sia    uno spazio metrico. Un sottoinsieme  A  di  X  si dice totalmente limitato (o precompatto) se per ogni numero reale positivo    esistono dei sottoinsiemi non vuoti di  X  in numero finito , , tali che il diametro di ciascuno di essi sia minore di    , cioè    per  k = 1,2,...,n , e l'insieme  A  sia sottoinsieme dell'unione dei suddetti insiemi, cioè  . Per esempio in  :

                           

Erroneamente può sembrare che il concetto di totale limitatezza e quello di limitatezza coincidano. In realtà il primo è un concetto più "forte" del secondo. In generale un insieme totalmente limitato è limitato mentre il viceversa è falso (omettiamo la dimostrazione). Vi sono insiemi che sono limitati ma non totalmente limitati.

Vale anche un altro importante ed utile teorema (omettiamo la dimostrazione). Un insieme non vuoto è totalmente limitato se e solo se ogni successione in esso contiene una sottosuccessione di Cauchy (una sottosuccessione non è altro che una successione che si può estrarre da una successione data).

Esempi :

        - 1 -    Un qualunque sottoinsieme limitato  A  di  R .

                   Se  A  è limitato allora è anche totalmente limitato. Infatti, se  A  è limitato esiste sicuramente un intervallo chiuso  che lo contiene. D'altre parte un intervallo chiuso è sicuramente totalmente limitato perché può essere ricoperto da un insieme finito di intervalli chiusi di diametro minore di un    reale positivo prefissato. Per esempio :

                           

                   Ogni sottoinsieme di  R  limitato è quindi anche totalmente limitato. Questo risultato vale anche per    e  . Ribadiamo però che questo non è un risultato generale e che vi sono spazi metrici per cui ciò non è vero.

        - 2 -    L'insieme    dotato della metrica discreta.

                    La metrica discreta è tale per cui la distanza fra due punti distinti, qualunque essi siano, vale  1  mentre, ovviamente, la distanza di un punto con se stesso è nulla. Graficamente :

                           

                   L'insieme  X  è sicuramente limitato. Esso è anche totalmente limitato perché i sottoinsiemi  , , hanno diametro nullo (quindi minore di ogni  reale positivo), sono in numero finito e la loro unione copre  A . 

        - 3 -    L'insieme    dotato della metrica discreta.

                   Si noti che questo spazio metrico, pur essendo costituito da un intervallo chiuso di numeri reali, non è qui dotato dell'usuale metrica euclidea. Si noti anche che si tratta di un insieme limitato (il diametro di tale insieme è  1 essendo la distanza fra ogni coppia di punti distinti pari ad  1  a causa della metrica discreta) ed infinto (cioè costituito da infiniti punti). Questo insieme, però, non è totalmente limitato. Infatti, i suoi sottoinsiemi di diametro minore di  1  sono i singoli punti    , con  x  appartenente a  X , che non sono però in numero finito per cui  X  non può essere ricoperto da un numero finito di suoi sottoinsiemi. Questo è un esempio di insieme limitato ma non totalmente limitato.

02 - Spazio metrico compatto. Insieme compatto.

Sia    uno spazio metrico. Esso si dice compatto se è completo e totalmente limitato.

Un sottoinsieme non vuoto  A  di  X  si dice compatto se lo spazio metrico  (l'insieme  A  dotato della stessa metrica  d  dello spazio metrico  ) è compatto.

Esempi :

        - 1 -    Lo spazio euclideo  R .

                   Esso non è compatto infatti, pur essendo completo, non è totalmente limitato (né limitato). La stessa cosa vale per     e  .

        - 2 -    L'intervallo chiuso    di  R  dotato della metrica euclidea.

                   Si tratta ovviamente di un insieme compatto. In generale, in  R  , ogni insieme limitato e chiuso è compatto e viceversa. Questo è un risultato molto importante ed è estendibile a     e  . Per esempio l'insieme :

                           

                   formato da due intervalli chiusi e da un punto isolato è un sottoinsieme limitato e chiuso di  R , perciò compatto.

        - 3 -    Lo spazio delle funzioni numeriche reali continue    definite sull'intervallo  dotato della metrica  .

                   Si tratta di uno spazio evidentemente non compatto. Esso è completo, come già sappiamo, ma non totalmente limitato (né limitato). La ricerca di un sottoinsieme compatto di  (dotato della stessa metrica) non è cosa semplice. Ci limitiamo ad illustrare un semplice sottoinsieme di    che non è compatto, anche se apparentemente potrebbe sembrarlo. Consideriamo l'insieme :

                           

                   delle funzioni continue contenute nel rettangolo colorato. Tale insieme è evidentemente limitato. Esso però non è compatto perché per esempio un insieme di funzioni del genere :

                           

                   è un insieme infinito ma che non possiede punti di accumulazione (vedi più avanti, proprietà insiemi compatti). 

        - 4 -    Lo spazio delle successioni di Hilbert  .

                   Anche questo è uno spazio non compatto. Esso è completo ma non totalmente limitato. Anche per questo spazio la ricerca di un sottoinsieme compatto non è cosa semplice. Come esempio di cui non daremo alcuna giustificazione, riportiamo il cosiddetto cubo di Hilbert, ovvero l'insieme  .

Le proprietà degli spazi compatti sono notevoli. Alcune di queste sono (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    Se    è uno spazio metrico compatto e  Y  è un suo sottoinsieme proprio non vuoto allora    è uno spazio metrico compatto se e solo se  Y  è chiuso.

        - 2 -    Lo spazio metrico    è compatto se e solo se ogni successione in  X  ammette una sottosuccessione convergente (in  X ).

        - 3 -    Lo spazio metrico    è compatto se e solo se ogni sottoinsieme infinito di  X  ha almeno un punto di accumulazione.

        - 4 -    Uno spazio metrico    compatto è separabile.

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