E-school di Arrigo
Amadori
Strutture matematiche
Spazi metrici : compattezza
La compattezza è una proprietà basilare per la matematica e noi ne
conosciamo già la definizione topologica (vedi apposito capitolo nella sezione
sugli Spazi topologici). Qui ne mostriamo l'aspetto metrico tenendo presente che
i due approcci, topologico e metrico, sono equivalenti. La compattezza, dal
punto di vista metrico, unisce in sé il concetto di completezza e di totale
limitatezza (un concetto più restrittivo di limitatezza, vedi più avanti).
Uno spazio metrico compatto, o semplicemente un suo sottoinsieme, godono di proprietà molto importanti. Per esempio, se una funzione continua è definita su un dominio compatto ed il suo codominio è un sottoinsieme di R , allora questa funzione è dotata di massimo e minimo. Ciò può sembrare banale se il dominio è un sottoinsieme compatto di R , ma se il dominio è uno spazio di funzioni o di altri oggetti "complicati", l'affermazione non risulta più così banale ed avere un tale teorema risulta oltremodo conveniente e proficuo. Avere perciò a che fare con insiemi compatti è assai conveniente.
01 - Insieme totalmente limitato.
Sia 
uno
spazio metrico. Un sottoinsieme A di X si dice totalmente
limitato (o precompatto) se per ogni numero reale positivo 
esistono dei sottoinsiemi non vuoti di X in numero finito , 
, tali che il diametro di ciascuno di essi sia minore di
, cioè 
per k = 1,2,...,n , e l'insieme A sia sottoinsieme dell'unione
dei suddetti insiemi, cioè 
. Per esempio in 
:
Erroneamente può sembrare che il concetto di totale limitatezza e quello di limitatezza coincidano. In realtà il primo è un concetto più "forte" del secondo. In generale un insieme totalmente limitato è limitato mentre il viceversa è falso (omettiamo la dimostrazione). Vi sono insiemi che sono limitati ma non totalmente limitati.
Vale anche un altro importante ed utile teorema (omettiamo la dimostrazione). Un insieme non vuoto è totalmente limitato se e solo se ogni successione in esso contiene una sottosuccessione di Cauchy (una sottosuccessione non è altro che una successione che si può estrarre da una successione data).
Esempi :
- 1 - Un qualunque sottoinsieme limitato A di R .
Se
A è limitato allora è anche totalmente limitato. Infatti, se
A è limitato esiste sicuramente un intervallo chiuso 
che lo contiene. D'altre parte un intervallo chiuso è sicuramente totalmente
limitato perché può essere ricoperto da un insieme finito di intervalli chiusi
di diametro minore di un
reale positivo prefissato. Per esempio :
Ogni sottoinsieme di R limitato è quindi anche totalmente limitato.
Questo risultato vale anche per 
e 
. Ribadiamo
però che questo non è un risultato generale e che vi sono spazi metrici per
cui ciò non è vero.
- 2 - L'insieme
dotato della
metrica discreta.
La metrica discreta è tale per cui la distanza fra due punti distinti, qualunque essi siano, vale 1 mentre, ovviamente, la distanza di un punto con se stesso è nulla. Graficamente :
L'insieme X è sicuramente limitato. Esso è anche totalmente
limitato perché i sottoinsiemi 
, 
, 
hanno diametro nullo (quindi minore di ogni
reale positivo), sono in numero finito e la loro unione copre A .
- 3 - L'insieme
dotato della
metrica discreta.
Si noti che questo spazio metrico, pur essendo costituito da un intervallo
chiuso di numeri reali, non è qui dotato dell'usuale metrica euclidea. Si noti
anche che si tratta di un insieme limitato (il diametro di tale insieme è
1 essendo la distanza fra ogni coppia di punti distinti pari ad 1 a
causa della metrica discreta) ed infinto (cioè costituito da infiniti punti).
Questo insieme, però, non è totalmente limitato. Infatti, i suoi sottoinsiemi
di diametro minore di 1 sono i singoli punti 
, con x appartenente a X , che non sono però in numero finito per cui X non può essere
ricoperto da un numero finito di suoi sottoinsiemi. Questo è un esempio di
insieme limitato ma non totalmente limitato.
02 - Spazio metrico compatto. Insieme compatto.
Sia uno
spazio metrico. Esso si dice compatto se è completo e totalmente
limitato.
Un sottoinsieme non vuoto A di X si dice compatto se
lo spazio metrico 
(l'insieme A dotato della stessa metrica d dello spazio
metrico ) è
compatto.
Esempi :
- 1 - Lo spazio euclideo R .
Esso non è compatto infatti, pur essendo completo, non è totalmente limitato
(né limitato). La stessa cosa vale per
e .
- 2 - L'intervallo
chiuso
di R dotato della metrica euclidea.
Si tratta ovviamente di un insieme compatto. In generale, in R ,
ogni insieme limitato e chiuso è compatto e viceversa. Questo è un risultato
molto importante ed è estendibile a
e . Per esempio
l'insieme :
formato da due intervalli chiusi e da un punto isolato è un sottoinsieme limitato e chiuso di R , perciò compatto.
- 3 - Lo
spazio delle funzioni numeriche reali continue 
definite sull'intervallo
dotato della metrica 
.
Si tratta di uno spazio evidentemente non compatto. Esso è completo, come già
sappiamo, ma non totalmente limitato (né limitato). La ricerca di un
sottoinsieme compatto di
(dotato della stessa metrica) non è cosa semplice. Ci limitiamo ad illustrare
un semplice sottoinsieme di
che non è compatto, anche se apparentemente potrebbe sembrarlo. Consideriamo
l'insieme :
delle funzioni continue contenute nel rettangolo colorato. Tale insieme è evidentemente limitato. Esso però non è compatto perché per esempio un insieme di funzioni del genere :
è un insieme infinito ma che non possiede punti di accumulazione (vedi più avanti, proprietà insiemi compatti).
- 4 - Lo
spazio delle successioni di Hilbert 
.
Anche questo è uno spazio non compatto. Esso è completo ma non totalmente
limitato. Anche per questo spazio la ricerca di un sottoinsieme compatto non
è cosa semplice. Come esempio di cui non daremo alcuna giustificazione,
riportiamo il cosiddetto cubo di Hilbert, ovvero l'insieme 
.
Le proprietà degli spazi compatti sono notevoli. Alcune di queste sono (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Se
è uno spazio
metrico compatto e Y è un suo sottoinsieme proprio non vuoto
allora 
è
uno spazio metrico compatto se e solo se Y è chiuso.
- 2 - Lo spazio
metrico è
compatto se e solo se ogni successione in X ammette una
sottosuccessione convergente (in X ).
- 3 - Lo spazio
metrico è
compatto se e solo se ogni sottoinsieme infinito di X ha almeno un punto di
accumulazione.
- 4 - Uno spazio
metrico
compatto è separabile.