E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Fondamenti algebrici : numeri

Fra tutti gli insiemi, quelli formati da numeri rivestono un ruolo fondamentale. Vi sono diversi tipi di numeri i più importanti fra i quali possono essere divisi in due grandi categorie : i numeri reali ed i numeri complessi (dove i secondi costituiscono una estensione, una generalizzazione, dei primi). Esistono altri tipi di numeri ed altri ancora possono essere creati, ma i numeri reali ed i numeri complessi sono di gran lunga i più importanti. Ogni capitolo della matematica fa riferimento ad essi.

Per quanto riguarda i numeri reali, diamo qui solo una breve ed essenziale presentazione dal punto di vista squisitamente algebrico (come sistema algebrico, ovvero come insieme dotato di operazioni e relazioni d'ordine). Si presuppone che le regole e le proprietà di calcolo dei suddetti siano note in quanto appresi a livello scolastico medio.

I numeri reali, indicati dal simbolo  R , si può dire che siano formato da diversi tipi di numeri la cui unione fornisce appunto l'insieme  R . I numeri naturali  N , i numeri interi  I , i numeri razionali  Q  ed i numeri irrazionali   R - Q  (di solito l'insieme dei numeri irrazionali viene indicato come differenza fra i reali ed i razionali) costituiscono l'insieme  R .

Circa i numeri complessi, ne daremo brevemente e sinteticamente le nozioni fondamentali con lo scopo di pervenire ad un loro modello geometrico di semplice ed intuitivo utilizzo.

01 - Numeri naturali  N

I numeri naturali  1, 2, 3 …  sono alla base della teoria dei numeri. Essi non sono definibili e per essi valgono i tre assiomi di Peano. Una loro esposizione intuitiva è la seguente :

        - 1’ assioma di Peano : esiste il numero  1  e l’insieme  N-{1}  non è vuoto

        - 2’                          : ogni numero naturale possiede un successivo

        - 3’                          : ogni numero naturale si ottiene da  1  contando in successione

Questi tre assiomi costituiscono la base logica di tutta la teoria dei numeri.

Da questi tre assiomi discende immediatamente il principio di induzione matematica che assicura che una affermazione è vera per ogni  n  appartenente ad  N  se è vera per  n = 1  ed, essendo vera per  n , lo è anche per  n+1.

Questo principio può essere utilizzato ogni volta in cui si vuole dimostrare l’esattezza di una affermazione legata ai numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali dotato delle operazioni di somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione d’ordine di minore  (<)  è un sistema algebrico e viene denotato con  (N; +, *, <) .

02 - Numeri interi  I

Consideriamo il prodotto cartesiano    formato dalle coppie ordinate di numeri naturali  (a,b)  che indichiamo per comodità  a – b  (qui il simbolo  -  è usato per comodità e non indica ancora la sottrazione).

Introduciamo in    la relazione di equivalenza    definita da :

        (a – b ≈  c – d) ↔ (a + d = b + c)

Essa introduce intuitivamente l’operazione di sottrazione  (-)  come operazione inversa della somma. 

Vediamo alcuni esempi di coppie ordinate appartenenti alla suddetta relazione :

        (5,3) = 5 – 3 ≈  (8,6) = 8 – 6 ≈  (10,8)   = 10 – 8    

        (1,1) = 1 – 1 ≈  (4,4) = 4 – 4 ≈  (12,12) = 12 – 12 ≈ 

        (2,5) = 2 – 5 ≈  (3,6) = 3 – 6 ≈  (8,11)   = 8 – 11    

        … … …

        … … …

La relazione di equivalenza      induce in    una partizione in classi di equivalenza ciascuna delle quali definisce un numero intero. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri interi  I  ed è uguale all’insieme quoziente  .

Dall’esempio precedente :

        5 – 3 = 8 – 6 = 10 – 8   = … =  [2]  = 2         (le parentesi quadre indicano una classe di equivalenza)

        1 – 1 = 4 – 4 = 12 – 12 = … =  [0]  = 0

        2 – 5 = 3 – 6 = 8 – 11   = … =  [-3] = -3

Un numero intero è quindi una classe di equivalenza, ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate fra loro equivalenti ad una data che si ottiene dalla differenza (inverso della somma) fra due numeri naturali qualunque. Per comodità ogni numero intero viene indicato non dalla sua classe ma da un numero naturale preceduto dal segno  +  oppure  -  (il segno  +  può essere omesso).

L’insieme dei numeri interi è quindi  I = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}  e su di esso sono definite le operazioni di somma  (+) , sottrazione ( - , l’operazione inversa della somma) e moltiplicazione  (*) .

Il sottoinsieme dei numeri interi positivi è indicato da  , mentre quello dei numeri negativi è indicato da   per cui :

          .

L’insieme  I  dotato delle operazioni somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione d’ordine minore  (<)  costituisce il sistema algebrico dei numeri interi  (I; +, *, <) .

Il sistema  (; +, *, <)  è legato all'insieme (N; +, *, <)  da una applicazione biunivoca (si dice che i due sistemi sono algebricamente isomorfi) per cui  I  rappresenta una estensione di  N  :

       

(dove col simbolo    intendiamo appunto l'isomorfismo algebrico).

03 - Numeri razionali  Q 

Consideriamo il prodotto cartesiano  I x  {I - {0}}  formato dalle coppie ordinate di numeri interi  (m,a)  che indichiamo per comodità  m / a  (qui il simbolo  /  non indica ancora la divisione). La seconda coordinata deve essere diversa da zero.

Introduciamo in  I x  {I - {0}}  la relazione di equivalenza     definita da

        (m / a ≈  n / b) ↔ (m * b = n * a)

Essa introduce intuitivamente l’operazione di divisione (/) come operazione inversa della moltiplicazione. 

Vediamo alcuni esempi di coppie ordinate appartenenti alla suddetta relazione : 

        (3,4)  = 3/4    (6,8)  = 6/8      (-12,-16)   = 12/16    

        (1,1)  = 1/1    (3,3)  = 3/3      (4,4)         =  4/4        

        (-3,1) = -3/1 ≈  (6,-2) = -6/2 ≈  (-9,3)         = -9/3        

        (0,2)   = 0/2    (0,3)  = 0/3     (0,-4)        = -0/4       

        … … …

        … … …

La relazione di equivalenza   ≈   induce in  I x  {I - {0}}  una partizione in classi di equivalenza ciascuna delle quali definisce un numero razionale. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri razionali  Q  ed è uguale all’insieme quoziente  I x  {I - {0}} / ≈ .

Dall’esempio precedente :

        3/4   = 6/8  = 12/16 = … =  [3/4]  = 3/4         (le parentesi quadre indicano una classe di equivalenza)

        1/1   = 3/3  = 4/4     = … =  [1]     = 1

        -3/1  = -6/2 = -9/3   = … =  [-3]    = -3

        0/2   = 0/3   = 0/4    = … = [0]      = 0

Un numero razionale è quindi una classe di equivalenza, ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate fra loro equivalenti ad una data che si ottiene dalla divisione (inverso della moltiplicazione) fra due numeri interi qualunque (di cui il secondo diverso da  0 ). Per comodità ogni numero razionale viene indicato non dalla sua classe ma da un numero frazionario preceduto dal segno  +  oppure  -  (il segno  +  può essere omesso e se una frazione è una divisione esatta si può indicare col solo numero intero corrispondente).

L’insieme dei numeri razionali è quindi  Q = {…, tutte le frazioni positive e negative di numeri interi (con denominatore diverso da  0 , …}  e su di esso sono definite le operazione di somma  (+) , sottrazione  ( - , l’operazione inversa della somma), moltiplicazione  (*)  e divisione ( / , l’operazione inversa della moltiplicazione ). Ribadiamo che il denominatore di queste frazioni non può mai essere nullo.

L’insieme  Q  dotato delle operazioni somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione d’ordine minore  (<)  costituisce il sistema algebrico dei numeri razionali  (Q; +, *, <) .

Indichiamo con  Q’  il sottoinsieme dei numeri razionali per cui la divisione fra numeratore e denominatore è esatta. Inoltre il sottoinsieme dei numeri razionali positivi si denota con  e quello dei numeri razionali negativi con  .

Il sistema  (Q’; +, *, <)  è algebricamente isomorfo ad  (I; +, *, <)  per cui  Q  rappresenta una estensione di  I  :

       

04 - Numeri reali  R

Fin dai tempi dell’antica Grecia era noto che certe relazioni fra grandezze non possono essere espresse come frazioni di numeri interi (ovvero come numeri razionali). Esempi classici di ciò sono il rapporto fra diagonale e lato del quadrato  (√2)  ed il rapporto fra la circonferenza ed il diametro di un cerchio  (π) .

Vi sono quindi dei numeri che non sono razionali ma che sono approssimabili da successioni convergenti di numeri razionali. Questi numeri, detti irrazionali, assieme ai razionali formano l’insieme dei numeri reali.

Un altro modo di definire i numeri reali (oltre che con le successioni di cui si è appena accennato) si ha introducendo la definizione di taglio di Dedekind. Un taglio di Dedekind è un sottoinsieme di    (numeri razionali positivi) che soddisfa le seguenti proprietà :

        .

L’insieme  A  così definito è un taglio di Dedekind e rappresenta un insieme di numeri razionali con la particolare fondamentale proprietà (la terza) di avere sempre un elemento maggiore di un qualunque prefissato suo elemento.

Consideriamo il taglio di Dedekind così definito :

        .

Esso definisce intuitivamente il numero irrazionale  √2  (radice quadrata di  2 ) in quanto si può facilmente dimostrare che preso un qualunque numero razionale il cui quadrato è minore di  2  si può sempre trovare un altro numero razionale maggiore del precedente il cui quadrato sia ancora minore di  2 . Questo processo può essere intuitivamente protratto all’infinito. In questo modo i numeri razionali presi così in successione tenderanno ad avvicinarsi sempre più al numero irrazionale  √2 . Il concetto può essere illustrato dal seguente grafico :

       

nel quale, con scala arbitraria, abbiamo posto alcuni numeri razionali che costituiscono il taglio di  Dedekind in questione su di una retta orientata. Si può notare anche che la successione di numeri razionali che tende a  √2  è stata rappresentata dai corrispondenti numeri decimali scegliendoli via via con un decimale in più. Si può anche notare che un numero irrazionale non è rappresentabile da un numero decimale con finiti decimali né da un numero periodico (ogni numero razionale è rappresentabile da un numero decimale con finiti decimali o con infiniti decimali ma a ricorrenza periodica).

Sia  T  l’insieme dei tagli di Dedekind e consideriamo il prodotto cartesiano    formato dalle coppie ordinate dei tagli  (a,b)  che indichiamo per comodità  a – b (qui il simbolo  -  non indica ancora la sottrazione).

Introduciamo in    la relazione di equivalenza     definita da :

        (a – b ≈  c – d) ↔ (a + d = b + c) .

Essa introduce intuitivamente l’operazione di sottrazione  (-)  come operazione inversa della somma. 

Per esempio :

        (1,√2) = 1 – √2     (4,3+√2) = 4 – 3 - √2 ≈ 

        … … …

        … … …

La relazione di equivalenza      induce in    una partizione in classi di equivalenza ciascuna delle quali definisce un numero reale. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri reali  R  ed è uguale all’insieme quoziente  .

Dall’esempio precedente :

        1 – √2  = 4 – 3 - √2 =  … =  [1 – √2]  = 1 – √2    (le parentesi quadre indicano una classe di equivalenza)

Un numero reale è quindi una classe di equivalenza, ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate fra loro equivalenti ad una data che si ottiene a partire dalla sottrazione di due tagli di Dedekind qualunque (serve una sottrazione fra due tagli per avere un numero reale negativo o nullo perché un singolo taglio rappresenta un singolo numero reale positivo). Per comodità ogni numero reale viene indicato non dalla sua classe ma da un numero razionale od irrazionale preceduto dal segno + oppure -   (il segno  + può essere omesso).

L’insieme dei numeri reali è quindi  R = {… numeri razionali e numeri irrazionali, …} e su di esso sono definite le operazioni di somma  (+) , sottrazione  ( - , l’operazione inversa della somma), moltiplicazione (*)  e divisione ( / , l’operazione inversa della moltiplicazione).

Sull’insieme dei numeri reali è definito anche il modulo o valore assoluto nel seguente modo :

        |a| = a     se a è positivo o nullo

        |a| = -a    se a è negativo   

Importanti proprietà del modulo sono :

        |-a| = |a|

        |ab| = |a| |b|

        |a + b| <= |a| + |b|    detta anche disuguaglianza triangolare

L’insieme  R  dotato delle operazioni somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione d’ordine minore  (<)  costituisce il sistema algebrico dei numeri reali  (R; +, *, <) .

Indichiamo con  R’  il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili da numeri razionali. Inoltre il sottoinsieme dei numeri reali positivi si denota con    e quello dei numeri reali negativi con  .

Il sistema  (R’; +, *, <)  è algebricamente isomorfo ad  (Q; +, *, <)  per cui  R  rappresenta una estensione di  Q :

       

Riassumendo, i numeri reali sono una estensione dei numeri razionali, che a loro volta sono una estensione dei numeri interi che a loro volta sono una estensione dei numeri naturali :

       

05 - La retta reale.

I  numeri reali possono essere posti su una retta orientata, la cosiddetta retta reale. I numeri vengono posti ordinatamente secondo la relazione d’ordine   <   definita in R. I numeri positivi vengono posti a destra di un punto detto origine corrispondente a 0 ed i negativi a sinistra. I numeri reali così collocati sulla retta reale si chiamano punti. D’ora in poi numero reale e punto saranno sinonimi così come la retta reale ed   R.

       

Sulla retta reale possono essere presi a piacere dei sottoinsiemi di punti. Le caratteristiche e le proprietà di questi insiemi sono di particolare importanza perché costituiscono la base dei concetti fondamentali di topologia e metrica che verranno sviluppati nei prossimi capitoli e che sono alla base degli sviluppi più importanti e profondi dell’intera analisi matematica. Consideriamo qui i seguenti concetti :

        - 1 -    estremi di un sottoinsieme di R

                   Sia   A   un sottoinsieme non vuoto di   R   . Si dice che   A   è un insieme limitato se :         

                           

                   ovvero se esiste un qualunque numero reale positivo tale che sia maggiore od uguale del modulo di qualunque numero appartenente all’insieme dato.

                   Se ciò non si verifica per nessun numero positivo, l’insieme si dice non limitato.

                   Se poi esiste un numero reale   M   qualunque (positivo, negativo o nullo) tale che   a ≤ M   per qualunque valore di   a  , l’insieme di dice limitato superiormente.

                   Se, infine, esiste un numero reale   M   qualunque tale che   a ≥ M   per qualunque valore di   a  , l’insieme di dice limitato inferiormente.

                           

                   Nella figura, l’insieme   A   è limitato (esiste un  M  positivo maggiore del modulo di ogni punto di  A ) e quindi lo è anche superiormente ed inferiormente.

                   Un esempio di insieme limitato è   {1/n ;  n  appartenente ad  N }.

                   Un esempio di insieme limitato inferiormente è   {n;  n  appartenente ad  N }.

                   Dato un insieme di punti  non vuoto   A  consideriamo l’insieme   B  dei punti che sono tutti maggiori od uguali di qualsiasi punto di   A :

                           

                   Visualizzato sulla retta reale, l’insieme   B  sarà ovviamente a destra di   A  e “confinerà” con esso. Il primo elemento di   B  si chiama   sup A  ,  ovvero estremo superiore di   A. Se il   sup A   appartiene ad  A  esso si chiama   max A   ovvero massimo di   A.

                   Viceversa, se   B   è l’insieme di tutti i punti minori od uguali di qualsiasi punto di   A  , l’ultimo elemento di   B  si chiama   inf A  ovvero estremo inferiore di   A   o   min A  ovvero minimo di   A  a seconda che non appartenga ad   A  o vi appartenga (nell’ordine).

                   L’insieme   {1/n ;  n  appartenente ad  N }  ha massimo 1 ed estremo inferiore 0 :

                           

                   infatti 1 appartiene all’insieme e 0 non appartiene all’insieme (dividendo 1 per un numero naturale qualsiasi non si ottiene mai   0).

        - 2 -    intervalli

                   Presi due punti   a  e   b  con   a ≤ b  definiamo i seguenti importanti tipi di insiemi :

                            [a,b]    = {x ; x  reale , a ≤ x ≤ b}    è detto   intervallo limitato e chiuso di estremi   a  e  b

                   e se a < b si ha :

                            [a,b[     = {x ; x  reale , a ≤ x < b}   è detto   intervallo limitato  aperto a destra di estremi   a  e  b

                            ]a,b]     = {x ; x  reale , a < x ≤ b}   è detto   intervallo limitato  aperto a sinistra di estremi   a  e  b

                            ]a,b[     = {x ; x  reale , a < x < b}   è detto   intervallo limitato  aperto a destra e a sinistra di estremi   a  e  b

                            [a,+∞[  = {x ; x  reale ,  x ≥ a}        è detto   intervallo illimitato chiuso a sinistra

                            ]a,+∞[  = {x ; x  reale ,  x > a}        è detto   intervallo illimitato aperto a sinistra

                            ]-∞,b]  =  {x ; x  reale ,  x ≤ b}       è detto   intervallo illimitato chiuso a destra

                            ]-∞,b[  =  {x ; x  reale ,  x < b}       è detto   intervallo illimitato aperto a destra

06 - Numeri complessi  C

I numeri complessi sono una estensione dei numeri reali che deriva dalla necessità di generalizzare la teoria delle equazioni polinomiali (algebriche) :

        .

  è un polinomio di grado  n  e l’equazione polinomiale corrispondente ha radici (le soluzioni dell’equazione) non sempre appartenenti all’insieme dei numeri reali  (R) .

Consideriamo le semplici equazioni di secondo grado :

       

la prima equazione ha due soluzioni reali :  +1  e  -1  mentre la seconda equazione non ha nessuna soluzione reale perché nessun numero reale elevato al quadrato dà come risultato il numero negativo  -1  (tutti i numeri reali elevati alla seconda danno un numero positivo (o nullo nel caso di  0 )).

Se introduciamo il numero immaginario :

       

la precedente equazione non risolubile nel campo reale viene ad avere anch’essa due soluzioni,  +i  e  -i . In questo modo si generalizza la teoria delle equazioni polinomiali pervenendo al fondamentale risultato che :

        una equazione polinomiale di grado  n  ha  n  soluzioni complesse (reali o contenenti  i ).

Definiamo il numero complesso  z  nel seguente modo :

       

x  è detta la parte reale di  z  (ovvero  x = Re(z) ) e  y  è detta la parte immaginaria di  z  (ovvero y = Im(z) ). Se  x = 0  il numero complesso si dice immaginario. Se  y = 0  il numero si dice reale.

L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con  C  e rappresenta una estensione algebrica di  R  in quanto, se la parte immaginaria è nulla, un numero complesso diventa reale.

L’insieme dei numeri complessi  C  ha la struttura di campo e si chiama campo complesso, così come  R  si chiama campo reale (vedi il capitolo sulle strutture algebriche).

Nel campo complesso  C  sono definite la usuali quattro operazioni  +  -  *  /  le cui regole di calcolo sono una logica estensioni delle corrispondenti nel campo reale  :

        (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

        (a + ib) -  (c + id) = (a - c) +  i(b - d)

        (a + ib) *  (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)

        (a + ib) /  (c + id) = (a + ib)*(c – id) / (c*c +d*d) = …

Il numero complesso :

       

si chiama complesso coniugato di   z = x + iy .

Di un numero complesso  z = x + iy  si definisce il modulo o valore assoluto  |z|  in modo che :

        .

Se il numero è reale (parte immaginaria =  0 ) il modulo coincide ovviamente con quello definito nel campo reale.

07 - Rappresentazione geometrica di  C 

I numeri complessi possono essere rappresentati come vettori sul piano cartesiano così come i numeri reali possono essere rappresentati come punti di una retta orientata. Questa modello geometrico è utilissimo e fa sì che il campo complesso e le sue proprietà siano visualizzabili in modo semplice ed efficace. Il numero  z = x + iy  è così rappresentato da un vettore :

       

la parte reale di  z  rappresenta l’ascissa del vertice del vettore mentre la parte immaginaria rappresenta l’ordinata del vertice del vettore.

Se la parte immaginaria di un numero complesso è nulla, il numero è reale e si trova posizionato sull’asse delle ascisse  (x) . Se, invece, la parte reale è nulla, il numero è immaginario e si trova posizionato sull’asse delle ordinate  (y) . Per esempio, per  1 , -1 , i , -i :

       

Il modulo di  z  (nel diagramma indicato da  ρ ) è la lunghezza del vettore (positiva o nulla) mentre l’angolo fra il vettore e l’asse positivo delle ascisse (preso in senso antiorario) è detto argomento del numero complesso (ovvero  Arg(z) ) (nel diagramma indicato da  θ ).

Il coniugato di un numero complesso, l’inverso additivo  (-z)  e le operazioni di somma e sottrazione vengono così rappresentate :

        .

La somma  a + b  (dove  a  e  b  sono numeri complessi) è data dalla regola del parallelogramma mentre la differenza  a – b  è data dall’altra diagonale del parallelogramma (orientata verso il vertice del primo addendo e riportata con trasporto parallelo a partire dall’origine  O ). Vediamo così utilizzate per i numeri complessi le semplici regole di calcolo dei vettori.

Per quanto riguarda la rappresentazione geometrica della moltiplicazione e della divisione occorre notare che un numero complesso può essere espresso in funzione del modulo e dell’argomento nel modo seguente :

       

(cos  è il coseno e  sin  è il seno dell’argomento di  z ) Questa formula deriva da un noto teorema di trigonometria relativo ai triangoli rettangoli (il triangolo formato dal vettore che rappresenta  z , l’asse delle ascisse e la proiezione del vertice del vettore sull’asse delle ascisse è appunto un triangolo rettangolo).

Conseguentemente (omettiamo la dimostrazione), un numero complesso può essere posto in forma esponenziale, forma che risulta molto utile per la rappresentazione di moltiplicazione e divisione (nonché elevamento a potenza intera o frazionaria) :

       

dove  e  è il numero irrazionale di Nepero pari a circa  2,71828…  .

Il prodotto fra due numeri complessi risulta quindi essere :

       

dove  exp(…)  è equivalente ad  “e elevato alla ...”.

Analizzando la formula si nota che il prodotto fra due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti. Graficamente :

        .

Analogamente per la divisione :

       

e graficamente :

       

dove qui l’argomento del risultato è negativo (quindi orientato in senso orario). Si perviene quindi al risultato che una divisione fra due numeri complessi è un numero complesso che ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.

Per quanto riguarda l’elevamento a potenza  n  intera si ottiene :

        .

Per l’elevamento a potenza frazionaria  1/n  (che equivale all’estrazione della radice ennesima) occorre considerare che l’argomento di un numero complesso può essere sommato o sottratto per i multipli interi di    (ovvero dell’angolo giro) senza che il numero complesso corrispondente cambi. Ciò significa che :

       

dove  k  è un numero intero qualunque   … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Premesso ciò, la formula per l’elevamento a potenza frazionaria di un numero complesso risulta  :

        .

Come esempio, diamo il calcolo della radice quarta di  1 , ovvero di  1  alla  1/4 :

         

in quanto il modulo di  1  è  1  e l’argomento di  1  è  0 .

Le radici quarte di  1  sono quindi i  4  numeri complessi :

        1   ottenuto con   k = 0

        i    ottenuto con   k = 1             

        -1 ottenuto con    k = 2

        -i  ottenuto con    k = 3

i successivi valori di  k riproducono ciclicamente i valori sopra indicati.

Indietro