E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Fondamenti algebrici : matrici e determinanti

Matrici e determinanti sono oggetti di fondamentale importanza per tutta la matematica. Essi sono applicati in tutti i campi della matematica. Riportiamo qui le definizioni di questi enti e le loro principali proprietà. 

01 - Matrici m x n.

Introduciamo l’elenco di numeri complessi (nella maggioranza dei casi pratici gli elementi di una matrice sono numeri, ma potrebbero essere oggetti di un qualunque campo) posizionati nel riquadro :

       

che si chiama matrice  m x n  (detta anche matrice rettangolare). Gli elementi   sono numeri complessi per  i = 1, 2, 3, …, m   e  j = 1, 2, 3, …, n .

La matrice  A  può essere anche indicata sinteticamente con    .

La n-pla ordinata    si chiama riga  i-sima. La m-pla ordinata    si chiama colonna  j-sima.

Due matrici   m x n   A =    e  B =  sono uguali se hanno gli stessi elementi nelle posizioni di riga e colonna corrispondenti, ovvero :

        .

Fra le matrici   m x n    A =   e  B =  si definisce la somma nel seguente modo :

       

ovvero facendo la somma degli elementi delle due matrici nelle posizioni di riga e colonna corrispondenti.

Esempio :

       

Esiste la matrice nulla  0 costituita da tutti  0 :

        .

Data una matrice  m x n  A =    si definisce la matrice opposta  - A =   che si ottiene cambiando il segno a tutti gli elementi della matrice data.

Fra la matrice  m x n  A =    e la matrice  n x p  B =  si definisce la moltiplicazione nel seguente modo :

        .

Esempio :

       

Fra il numero complesso  k  e la matrice  m x n  A =  si definisce la moltiplicazione scalare nel seguente modo :

       

ovvero moltiplicando ogni elemento della matrice per il numero  k .

Esempio :

        .

02 - Matrici n x n.

Se  m = n  le matrici si dicono quadrate. Gli elementi con indici uguali    con   k = 1, 2, 3, …, n   costituiscono la diagonale principale della matrice.

Per le matrici quadrate si definisce la matrice unità   I   definita ponendo tutti gli elementi della diagonale principale uguali ad   1  e ponendo nulli tutti gli altri. Ovvero :

        .

Ovviamente  A * I = I * A = A  per ogni matrice quadrata  A  (utilizzeremo, come sempre, indifferentemente il punto o l’asterisco per indicare la moltiplicazione) .

L’insieme delle matrici quadrate  n x n  verrà indicato con    (sottintendendo che gli elementi delle matrici sono numeri complessi).

( ; +,*)   risulta essere un anello con unità.

03 - Matrice inversa.

Data una matrice n x n  A  se esiste una matrice  n x n  B  tale che  A * B = B * A = I , si dice che  B  è la matrice inversa di   A .

La matrice inversa di  A  si indica con   .

Considereremo successivamente le condizioni per l’esistenza della matrice inversa.

04 - Matrice trasposta.

Data una matrice  m x n  A  si dice trasposta di  A  la matrice  n x m  ottenuta invertendo per ogni elemento l’indice di  riga con l’indice di colonna. La matrice trasposta di  A  si indica con   . Per cui :

        .

Esempio :

        .

Per le matrici trasposte valgono le seguenti proprietà :

        .

05 - Permutazioni.

Una applicazione biunivoca di un insieme su sé stesso si chiama permutazione. Limitiamoci qui a considerare le permutazioni dell’insieme   ovvero l’insieme dei primi  n  numeri naturali.

Una permutazione  α , per cui  α(i) =    con   i = 1, 2, …, n , viene indicata nel seguente modo :

        .

Esempi :

        .

Si noti che, per esempio, che     per cui i numeri della prima riga (in alto) è conveniente che siano sempre posti in ordine crescente. Con questa convenzione una permutazione può essere scritta semplicemente riportando solo la seconda riga. Ovvero :

        .

Il numero delle permutazioni di     è uguale a  1 * 2 * … * n   =  n!  (n!  si legge   “n fattoriale”). 

L’insieme delle   n!   permutazioni   di   si indica con    .

Per esempio    è costituito dalle  3! = 6  permutazioni :

        .

In    si può introdurre la moltiplicazione  *  nel modo naturale indicato dall’esempio :

       

(il risultato viene ottenuto prendendo consecutivamente l’elemento della prima permutazione corrispondente alla posizione indicata da ciascun elemento della seconda permutazione).

La permutazione  ε = (1, 2, …, n)  è chiamata permutazione unità ed è tale che  α * ε = ε * α = α   per ogni permutazione   α .

Per ogni permutazione  α  è definibile anche la permutazione inversa     in modo che     .

L’insieme     dotato delle entità sopra definite, è un gruppo non commutativo.

Una permutazione può essere pari o dispari. Per calcolare il segno di una permutazione si calcola il numero delle coppie  (i, k)  (dove i   precede  k ) all’interno della permutazione per cui sia  i > k . Se questo numero è pari, la permutazione è pari, altrimenti è dispari.

Esempi :

        -              (1, 2, 3)   è pari

        -              (1, 3, 2)   è dispari per via della sola coppia  (3, 2)

        -              (3, 2, 1)   è dispari per via delle 3 coppie   (3, 2) , (3, 1) , (2, 1)

06 - Determinanti.

Sia  A  una matrice a elementi complessi   n x n ,  appartenente cioè a    , ed  α  una delle  n!  permutazioni di     . Sia    il segno della permutazione   α   (+1  se la permutazione è pari,  -1  se la permutazione è dispari).

Si chiama determinate della matrice  A  e si scrive  det A  oppure     il numero complesso : 

        .

Essendo  n!  il numero delle permutazioni di    , il numero degli addendi che costituiscono un determinante è  n! .

Esempi :

        - 1 -         determinante di una matrice   2 x 2

                        

        - 2 -         determinante di una matrice   3 x 3

                       

                         Per il calcolo dei determinati   3 x 3  ritorna utile il seguente schema grafico :

    

                         partendo dall’alto a sinistra si ottiene  1*5*9+2*6*7+3*4*8-7*5*3-8*6*1-9*4*2  che dà appunto il determinate della matrice   3 x 3 .

07 - Proprietà dei determinanti.

I determinanti soddisfano le seguenti proprietà :

        - 1 -        

        - 2 -         det(AB) = det A det B     

        - 3 -         sia  A  una matrice  n x n . Sia  B  la matrice che si ottiene moltiplicando per il numero  k  tutti gli elementi di una riga o di una colonna della matrice   A . Allora  det B = k det A

        - 4 -         il determinante di una matrice   n x n  che ha tutti gli elementi di una riga o di una colonna nulli è nullo

        - 5 -         sia   A  una matrice  n x n . Sia  B  la matrice che si ottiene scambiando fra loro due righe o due colonne della matrice   A . Allora  det B = - det A

        - 6 -         se due righe o due colonne di una matrice  n x n   sono identiche allora il suo determinate è nullo

        - 7 -         sia   A  una matrice  n x n . Supponiamo che tutti gli elementi di una riga o di una colonna di  A  siano la somma di due numeri. Siano   A’   e   A’’   le due matrici che si ottengono dalla matrice  A  prendendo separatamente l’uno e l’altro dei suddetti addendi. Allora  det A = det A’ + det A’’ .

                        Esempio :

                        

        - 8 -         sia  A  una matrice  n x n . Sia  B  la matrice che si ottiene da  A  sostituendo tutti gli elementi di una riga o di una colonna con la somma degli elementi di quella riga o colonna più la somma dei prodotti di numeri qualsiasi per i corrispondenti elementi delle altre righe o colonne (un numero per ogni riga o colonna). Allora  det A = det B .

                        Esempio :

                       

        - 9 -         il determinante di una matrice triangolare (una matrice con tutti zero sopra o sotto la diagonale principale) è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale. 

                        Esempio :

                         .

                       Lo stesso vale, ovviamente, anche per una matrice diagonale (ha elementi nulli sopra e sotto la diagonale principale). Esempio :

                        .

08 - Aggiunto e complemento algebrico.

Sia  A  una matrice  n x n  e sia     un suo elemento (corrispondente alla riga  r  ed alla colonna  s ). Il determinante della matrice  (n – 1) x (n – 1)  che si ottiene dalla matrice  A  eliminando tutti gli elementi corrispondenti alla riga   r  ed alla colonna  s  si chiama aggiunto dell’elemento   .

Il valore ottenuto moltiplicando l’aggiunto di     per    si chiama complemento algebrico di    e si indica con    .

Esempio :

        .

Riguardo ai complementi algebrici vale il seguente importante teorema dovuto a Laplace :

        sia  A  una matrice  n x n . Il determinante di  A  è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o colonna di  A  per i loro complementi algebrici.

Ovvero :

        .

Esempio :

        .

Questo teorema è molto importante perché permette di semplificare il calcolo dei determinati con grande vantaggio per le matrici con  n > 3 .

Il numero degli addendi che costituiscono lo sviluppo di un determinante è per definizione  n! che è un numero molto alto anche per  n  bassi (es. se  n = 6  allora  n! = 720) per cui il calcolo di un determinate qualunque seguendo la definizione può essere problematico.

Con questo teorema, invece, il numero delle operazioni necessarie per risolvere un determinate può ridursi notevolmente per esempio nei casi in cui una riga od una colonna contengono degli elementi nulli. Se poi, utilizzando le proprietà di invarianza dei determinanti, si riesce a trasformare righe e colonne in modo da ottenere più elementi nulli possibile, il vantaggio è ancora maggiore.

Esempio :

       

(si noti che abbiamo trasformato la seconda riga moltiplicando ogni elemento della prima riga per  -3  e sommando sulla seconda riga).

09 - Invertibilità.

Sia  A  una matrice  n x n . Essa è invertibile, ovvero esiste la matrice inversa    , se e solo se  det A ≠ 0 .

In questo caso si ha :

         

dove gli    sono i complementi algebrici dei rispettivi elementi di  A .

Per le matrici inverse vale il seguente importante teorema :

        .

Concludiamo affermando che il sottoinsieme delle matrici   n x n  invertibili costituisce un gruppo moltiplicativo non commutativo che indicheremo con   .

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