E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Introduzione

Partendo dalla premessa che la matematica non è solo "far di conto", proviamo a capire cosa effettivamente essa sia. Per questo dobbiamo fare tabula rasa dentro di noi e dimenticare tutto ciò che abbiamo imparato a scuola. La scuola di solito non fornisce lo schema per capire la matematica (la chiave per comprenderne l'essenza) privilegiando per lo più l'aspetto tecnico del calcolo. Il calcolo è essenziale ma non è il fine della matematica, ne è uno degli strumenti. E' come per il pittore che desidera porre sulla tela le proprie sensazioni. Egli deve usare pennello e colori per esprimerle. Il calcolo è per il matematico ciò che il pennello ed i colori sono per il pittore.

La matematica studia gli insiemi, le loro proprietà e le relazioni fra essi e lo fa usando certe regole logiche di base, regole logiche che sono le stesse del linguaggio comune e che considereremo date. Gli insiemi quindi sono gli oggetti fondamentali di cui si occupa la matematica. Tutto qui. La matematica è studio di insiemi.

Gli insiemi, il cui concetto è innato e per questo di essi non si può dare una definizione, sono aggregati, collezioni di oggetti di qualunque natura : numeri, punti geometrici, persone ecc. Studiando un insieme costituito da oggetti di un particolare tipo si individuano particolari proprietà a cui gli elementi stessi obbediscono. Queste proprietà vengono studiate e catalogate e questo processo costituisce la vera anima della matematica.

Studiando le proprietà degli insiemi ci si accorge che insiemi di oggetti di tipo diverso possono soddisfare le stesse regole. Ecco allora che, una volta trovate le regole, ci si astrae dal tipo di oggetti e si usano solo le suddette. In ciò consiste il processo di astrazione matematico. A tutti gli insiemi i cui elementi soddisfano le stesse regole viene dato un nome collettivo e da quel momento non si distinguono più i vari tipi di elementi ma essi vengono chiamati semplicemente punti.

Ecco che abbiamo introdotto in modo naturale il concetto di spazio. Uno spazio, in matematica, è un insieme di elementi di qualsiasi tipo e natura che soddisfano certe particolari regole, proprietà. In matematica, quindi, per spazio non s'intende solo lo spazio geometrico ma un insieme qualunque i cui elementi, per analogia, vengono chiamati punti anche se tali, strettamente parlando, non sono. 

Quindi spazio, in matematica, è sinonimo di insieme. Vi sono però spazi diversi che soddisfano regole diverse. Abbiamo gli spazi metrici, gli spazi topologici, gli spazi vettoriali ecc. In queste pagine studieremo i principali tipi di spazi matematici e le loro proprietà. 

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