E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Fondamenti algebrici : insiemi

In questo capitolo introduciamo i concetti principali della teoria degli insiemi. Gli insiemi sono gli oggetti fondamentali della matematica, i mattoni che ne costituiscono l'immenso edificio. La matematica stessa, come già affermato, si può definire studio di insiemi.

Prima, però, dobbiamo introdurre alcuni simboli che ci permetteranno di esprimere e scrivere i concetti matematici in modo più breve e sintetico. Si tratta di una sorta di stenografia matematica irrinunciabile. Senza di essa ogni discorso matematico risulterebbe prolisso ed inefficiente.

01 - Simboli 

Li riportiamo qui brevemente :

 Simbolo  Significato  Esempio  Spiegazione
   appartiene a    il numero  1  appartiene all'insieme dei numeri naturali  N
   non appartiene a    il numero  0  non appartiene all'insieme dei numeri naturali  N
   per ogni    per ogni  x  appartenente all'insieme dei numeri reali  R  , ovvero per ogni numero reale
   esiste un    esiste un numero  n  appartenente all'insieme dei numeri naturali  N
   tale che    esiste un numero  a  appartenente all'insieme dei numeri naturali  N  tale che  a  è maggiore di  3
   implicazione da sinistra a destra (ovvero, se è vera l'affermazione di sinistra allora è vera quella di destra)    se  A  è vero allora  B  è vero
   implicazione da destra a sinistra (ovvero, se è vera l'affermazione di destra allora è vera quella di sinistra)    se  B  è vero allora  A  è vero
   doppia implicazione     se  A  è vero allora  B  è vero e viceversa

Con l'uso di questi simboli, una semplice definizione come questa :

"gli insiemi  A  e  B  sono uguali se e solo se, se  a  appartiene ad  A  allora  a  appartiene a  B  e viceversa"

che scritta così può sembrare uno scioglilingua, se scritta con i simboli matematici diventa :

        .

Si vede bene che con l'uso di questi simboli ogni affermazione matematica diventa molto più sintetica, leggibile ed elegante.

Naturalmente in matematica si usano molti altri simboli. Alcuni sono ben conosciuti (come il segno di uguale =  usato nell'esempio) ed altri li definiremo volta per volta.

Per quanto riguarda i simboli di implicazione    ,    ,    occorre ricordare che sono frequentemente in uso i seguenti modi di dire alternativi :

          si può leggere " A  è condizione sufficiente per  B " oppure " B  è condizione necessaria per  A "

          si può leggere " A  è condizione necessaria per  B " oppure " B  è condizione sufficiente per  A "

          si può leggere " A  è vero se e solo se  B  è vero" oppure " A  è condizione necessaria e sufficiente per  B " (e viceversa)

02 - Insiemi

La nozione di insieme, così come quella di elemento di un insieme, non è definibile. Essa è data a priori ed è considerata nota a tutti, innata.

Indicheremo gli insiemi con delle lettere maiuscole :

        A , B , C ...

e (come già sappiamo) useremo il simbolo    per indicare che un elemento appartiene ad un insieme. 

Gli elementi di un insieme si indicano racchiudendoli dentro parentesi graffe. Essi possono essere elencati uno di seguito all'altro o possono essere individuati tramite una o più proprietà a cui essi obbediscono. In questo caso, le proprietà vanno indicate a destra di un punto e virgola. 

Per esempio :

          ,    ,  .

Si noti che l'insieme  A  ha solo  3  elementi, l'insieme  N  è costituito dai numeri naturali (i puntini indicano di proseguire indefinitamente la numerazione) e l'insieme  B  è formato dai numeri naturali  x  maggiori di  4  , quindi da  5,6,7,... .

L'insieme che non contiene elementi si chiama insieme vuoto e si indica col simbolo : .

Se gli elementi dell'insieme  A  sono anche elementi dell'insieme  B  , si dice che il primo è sottoinsieme del secondo. Simbolicamente :

        .

Se  A  è sottoinsieme di  B  ed esiste almeno un elemento di  B  che non è contenuto in  A , diremo che  A  è sottoinsieme proprio di  B . Simbolicamente :

        .

Se  A  non è sottoinsieme proprio di  B  scriveremo :

        .

Gli insiemi possono essere visualizzati in modo molto significativo con l'uso dei diagrammi di Venn. Per esempio :

       

Molto suggestivo è il modo di indicare un sottoinsieme con i diagrammi di Venn. Per esempio, l'insieme    è sottoinsieme dell'insieme  , per cui il diagramma di Venn risulta :

       

Con gli insiemi si possono fare alcune operazioni fondamentali. 

L'unione fra l'insieme  A  e l'insieme  B  è l'insieme  C  i cui elementi sono quelli di  A  e (assieme a) quelli di  B . Si scrive :

        .

Per esempio, se    e  , allora la loro unione è  .

Si noti che ogni elemento va preso una sola volta. L'insieme  , per esempio, essendo costituito dal solo elemento  1  , si scrive semplicemente  .

L'intersezione fra l'insieme  A  e l'insieme  B  è l'insieme  C  i cui elementi sono solo quelli in comune, che appartengono cioè sia ad  A  che a  B . Si scrive :

        .

Nel caso degli insiemi  A  e  B  dell'esempio precedente, si ha  . In questo caso il diagramma di Venn risulta :

       

Se due insiemi non hanno elementi in comune, la loro intersezione è ovviamente l'insieme vuoto  . In questo caso si dice che gli insiemi sono disgiunti.

La differenza fra l'insieme  A  e l'insieme  B  è l'insieme  C  i cui elementi sono quelli di  A  con esclusione degli eventuali elementi in comune con  B  . Si scrive :

        .

Sempre nel caso degli insiemi  A  e  B  dell'esempio precedente, si ha  .

Infine, se  A  è sottoinsieme di  X , l'insieme    si chiama complementare di  A  rispetto ad  X  e si denota con :

        .

Graficamente :

       

03 - Prodotto cartesiano

Dati due insiemi se ne può costruire un terzo, chiamato loro prodotto cartesiano, che rappresenta un insieme di fondamentale importanza per tutta la matematica. Prima di definire il prodotto cartesiano dobbiamo introdurre un altro fondamentale oggetto : la coppia ordinata.

Supponiamo che  a  sia un elemento dell'insieme  A  e che  b  sia un elemento dell'insieme  B (cioè  ). L'insieme che si può costruire prendendo i due elementi  a  e  b  è :

       

che è uguale a :

         

in quanto costituiti dagli stessi elementi. In un insieme non conta l'ordine con cui sono elencati i suoi elementi !!! 

Spesso, in matematica, è invece importante l'ordine con cui consideriamo due elementi. Come possiamo creare, prendendo gli elementi  a  e  b  , un insieme in cui conti l'ordine con cui sono scelti, indicati, gli elementi ? La risposta a questa esigenza è appunto la coppia ordinata.

Chiamiamo coppia ordinata    l'insieme così definito :

        .

Si vede bene che la coppia ordinata  definita da :

       

è diversa dalla precedente cioè :

          (il simbolo  significa "diverso da") .

Abbiamo quindi raggiunto il nostro scopo, costruire un insieme in cui conti l'ordine con cui sono scelti, scritti, i suoi elementi.

Data la coppia ordinata    l'elemento  a  si chiama prima coordinata e l'elemento  b  si chiama seconda coordinata.

La coppia ordinata  è visualizzabile in un diagramma di Venn con una freccia che parte dalla prima coordinata e punta sulla seconda. Questa rappresentazione è molto utile e suggestiva.

Consideriamo gli insiemi    e  . La coppia ordinata  è così rappresentabile :

        

E' possibile ed altrettanto espressiva la rappresentazione cartesiana :

       

In questa rappresentazione una coppia ordinata è indicata da un punto.

Se prendiamo tutte le possibili coppie ordinate con prima coordinata in  A  e seconda coordinata in  B  costruiamo il prodotto cartesiano fra  A  e  B  che si indica così :

       

e che quindi è definito come :

        .

Se gli insiemi  A  e  B  sono definiti come nell'esempio precedente, il loro prodotto cartesiano è :

        .

Le rappresentazioni grafiche di     sono :

        

dove l'insieme    è rappresentato dall'insieme delle frecce e :

       

dove l'insieme    è rappresentato dall'insieme dei punti.

04 - Relazioni

Dati due insiemi , A  e  B , è possibile spesso notare che certi elementi del primo insieme  A  sono in relazione, in corrispondenza, con certi altri elementi del secondo insieme  B . In altre parole, fra tutte le possibili corrispondenze, associazioni, degli elementi di  A  con gli elementi di  B  , solo alcune (od anche tutte) sono effettivamente riscontrabili in un caso particolare.

Abbiamo in questo modo riscontrato una relazione fra l'insieme  A  e l'insieme  B .

Una corrispondenza fra l'elemento  a  di  A  con l'elemento  b  di  B  è rappresentabile dalla coppia ordinata  . Tutte le possibili coppie ordinate con prima coordinata in  A  e seconda in  B  formano, come sappiamo, il prodotto cartesiano   fra  A  e  B . Possiamo allora definire una relazione  R  fra  A  e  B  come un sottoinsieme del prodotto cartesiano  . Scriveremo allora :

        .

Per dire che la coppia ordinata    appartiene alla relazione  R  scriveremo   od anche, in modo più sintetico :

        .

Facciamo alcuni esempi di relazione.

        - 1 -    Siano gli insiemi    e  . 

                   Sia  R  la relazione da  A  a  B  definita da   . 

                   Essa è rappresentabile dal grafico di Venn :

                   

                   oppure dal grafico cartesiano :

                   

        - 2 -    Sia l'insieme  . 

                   Sia  I  la relazione da  A  ad  A  definita da  .

                   (Si noti che si può definire una relazione da un insieme a se stesso, in questo caso di dice relazione in un insieme).

                    La relazione  I  è detta relazione identica ed è rappresentabile dai grafici :

                   

                   

                   (si noti la struttura a diagonale)

        - 3 -    Sia l'insieme  dove  a , b , c , d  sono  4  persone. 

                   Sia la relazione    da  A  ad  A  rappresentata dal grafico :

                   

                   Da esso si deduce che abbiamo considerato ogni persona fratello di se stessa e che  b  è fratello di  d  . 

                   Questo fatto (che ogni persona è fratello di se stesso) risulterà comodo per le considerazioni che faremo più avanti. 

                   Ovviamente, si ha anche che  d  è fratello di  b . 

        - 4 -    Sia l'insieme  dove  a , b , c , d  sono  4  persone rispettivamente di  15 , 15 , 16 , 17 anni. 

                   Sia  la relazione  da  A  ad  A . 

                   La sua rappresentazione grafica è :

                   

Come si può notare dagli esempi, non tutti gli elementi dei due insiemi ( A  e  B  ) devono obbligatoriamente far parte della relazione. 

L'insieme degli elementi del primo insieme  A  della relazione  R  (fra  A  e  B)  che partecipano alla relazione si chiama dominio della relazione e si indica con : 

        .

Esattamente :

        .

L'insieme degli elementi del secondo insieme  B  della relazione  R  (fra  A  e  B)  che partecipano alla relazione si chiama codominio della relazione e si indica con : 

        .

Esattamente :

        .

Riferendoci agli esempi precedenti avremo :

        ,  

       

       

        , .

Data una relazione  R  fra  A  e  B , si può definire la relazione inversa da  B  ad  A , indicata con il simbolo  , formata dalle coppie ordinate della relazione  R  ma invertendo la prima coordinata con la seconda. Si ha cioè :

        .

Per esempio, la relazione inversa della relazione    dell'esempio precedente è :

         

graficamente :

       

Ovviamente il dominio di  R  diventa il codominio di    e viceversa.

Esistono diversi tipi di relazioni. Le relazioni di equivalenza, d'ordine, le funzioni e le operazioni sono fra le più importanti..

05 - Relazioni di equivalenza.

Una relazione in  A  si dice che è una relazione di equivalenza se per tutte le sue coppie ordinate valgono le seguenti proprietà :

        - proprietà riflessiva : ogni elemento di  A  è in relazione con sé stesso (   per ogni  a  appartenente ad A)

        - proprietà simmetrica : se un elemento di  A  è in relazione con un altro elemento di  A , quest’ultimo è in relazione con il primo ( )

        - proprietà transitiva : se un elemento di  A  è in relazione con un secondo elemento ed il secondo con un terzo, allora il primo è in relazione col terzo ( ).

La relazione    dell’esempio precedente è una relazione di equivalenza. Anche la relazione identica  I  lo è.

Consideriamo ora un insieme  A  dotato di una relazione di equivalenza  R . Preso un elemento  a  di  A , l’insieme di tutti gli elementi in relazione con esso (ad esso equivalenti) si chiama classe di equivalenza e si denota con  . Quindi :

        .
L’insieme  A  dotato di una relazione di equivalenza si scompone nelle sue classi di equivalenza. Diremo che una relazione di equivalenza in  A  determina una partizione di  A  nelle sue classi di equivalenza. Queste classi, quando non sono uguali, sono disgiunte (non hanno elementi in comune) ed unite fra loro formano l’insieme  A .

Nell’esempio della relazione  , le classi di equivalenza che determinano una partizione di  A  sono :

        .

Si noti che le classi    e  sono uguali perché gli elementi  b  e  d  sono legati dalla relazione di equivalenza (cioè  ).

L’insieme delle classi di equivalenza indotte in  A  dalla relazione di equivalenza  R  si chiama insieme quoziente di  A  rispetto ad  R  e si denota con     .

06 - Relazioni d'ordine.

Consideriamo l’insieme  A  dotato della relazione  R . Supponiamo che le coppie ordinate che compongono la relazione soddisfino le seguenti proprietà :

       

       

La prima proprietà è riflessiva e antisimmetrica. La seconda è transitiva.

Una siffatta relazione si chiama relazione d’ordine parziale e l’insieme  A  dotato di una tale relazione si dice insieme parzialmente ordinato  . La relazione d’ordine parziale si indica col simbolo    (minore uguale). Esempi di relazioni d’ordine parziali sono :

        - l’insieme dei numeri naturali ( i numeri 1, 2, 3, ...) dotato della relazione  . Infatti se   e    allora    . Se    e  allora  .

        - un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme.

Se invece le coppie ordinate della relazione soddisfano le seguenti proprietà :

          , per ogni  a  appartenente ad  A

       

       

La prima proprietà è antiriflessiva. La terza è transitiva.

Una siffatta relazione si chiama relazione d’ordine (lineare) e l’insieme  A  dotato di una tale relazione si dice insieme (linearmente) ordinato  . La relazione d’ordine si indica col simbolo     (minore). Esempi di relazioni d’ordine sono :

        - l’insieme dei numeri naturali dotato della relazione  . Infatti l'affermazione    è falsa. E’ vera    oppure    . Se    e    allora    .

        -  un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme proprio non è un insieme ordinato !!! La seconda condizione non è sempre verificata.

07 - Funzioni

Una relazione  f  fra due insiemi  A  e  B  che soddisfa le seguenti proprietà :

       

Si chiama funzione o applicazione da  A  a  B . Il dominio di una funzione, quindi, deve corrispondere al primo insieme e ad un elemento del dominio deve corrispondere un solo elemento del codominio. I modi per indicare una funzione sono :

       

e si legge " f  è funzione da  A  a  B ".

Se  x  appartiene al dominio e  y  è l’elemento corrispondente del codominio si dice che  y  è l’immagine di  x  od il valore di  f  in  x  e si scrive :

       

Esistono vari tipi di funzione :

        - una funzione è uno a uno  (1-1)  o iniettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di un solo elemento del dominio ovvero se    e    segue che   e si indica con :

                   

        - se una funzione non è 1-1 allora è più a uno

        - una funzione è su  B  o suriettiva se il codominio della funzione coincide con  B  ovvero    e si indica con :

                   

        - una funzione è in  B  se il codominio di  f  è sottoinsieme proprio di  B  ovvero 

        - una funzione contemporaneamente  1-1  e suriettiva si chiama corrispondenza biunivoca oppure funzione biiettiva e si indica con :

                    .

Diamo alcuni esempi grafici di funzioni :

(abbiamo per comodità eliminato le frecce).

Nel primo caso si tratta di una funzione più a uno da  A  in  B . Nel secondo, di una funzione più a uno da  A  su  B . Nel terzo, di una funzione  1-1  da  A  in  B  e nel quarto di una funzione biunivoca da  A  su  B . Un altro modo di rappresentare graficamente le funzioni è il seguente (grafici cartesiani) :

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Ogni relazione è sempre invertibile mentre solo le funzioni biunivoche lo sono. Questo dipende dal fatto che la relazione inversa, per essere ancora una funzione, deve soddisfare le condizioni che fanno di una relazione qualunque una funzione.

Date due funzioni per cui il secondo insieme della prima è il dominio della seconda, si può costruire una terza funzione, detta composizione delle due funzioni date. La definizione di funzione composta delle funzioni date    e  è quindi :

        .

Un esempio grafico di quanto affermato è :

       

Sia data una funzione  f  da  A  a  B  e sia  A’  un sottoinsieme di  A . La funzione definita da  A’  a  B  uguale alla funzione data (per i soli punti di  A’ ) si chiama restrizione di f ad  A’  e si indica con    .

08 - Operazioni

Consideriamo un insieme  A . Una funzione  O  fra    (prodotto cartesiano  A  per  A)  ed  A  si chiama operazione in  A  e l’immagine della operazione si indica con  (dove  a  e  b  sono elementi di  A ) . 

Esempi di operazioni sono le usuali quattro operazioni fra i numeri ma non solo. Con la presente definizione astratta si possono creare infinite operazioni su  insiemi di qualunque tipo (non soli numerici)  !

Le operazioni possono essere rappresentate da diagrammi a doppia entrata come nell’esempio :

       

dove è rappresentata una sorta di somma ciclica fra i primi tre numeri naturali dove il simbolo di operazione  O  è indicato dal simbolo  + .

Alcune particolarità delle operazioni sono :

        - se    per ogni  a  e  b  appartenenti ad  A  l’operazione si dice commutativa

        - se esiste un elemento  e  di  A  tale che     per ogni   a   appartenente ad   A   esso si chiama elemento neutro. Per  esempio  0  è l’elemento neutro della somma nell’insieme dei numeri interi

        - se si verifica che   per ogni  a,  b,  c  appartenenti ad  A  l’operazione si dice associativa

        - se si verifica che     per ogni  a, b, c  appartenenti ad  A  date due operazioni  O  ed  O’  in  A ,  si dice che  O  è distributiva rispetto ad  O’ . Per esempio l’operazione moltiplicazione è distributiva rispetto all’operazione somma nell’insieme dei numeri razionali perché  .

Indietro