E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Appendice : funzioni

In questo capitolo illustriamo brevemente e molto empiricamente le basi delle teoria delle funzioni numeriche reali continue che costituiscono una classe di funzioni fondamentali per tutta la matematica.

I numeri reali possono essere posti su di una retta orientata (su cui è stato definito un verso indicato da una freccia) :

       

In questo modo abbiamo definito una corrispondenza biunivoca fra i numeri ed i punti della retta. Ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta ed ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale.

Questa corrispondenza fra numeri e punti è di importanza capitale per il pensiero scientifico e può essere estesa anche al piano ed allo spazio.

01 - Assi cartesiani.

Su di un piano possiamo tracciare due rette orientate perpendicolari. In questo modo ogni punto del piano può essere messo in relazione con una coppia di numeri, chiamate coordinate del punto :

       

Nell'esempio, al punto  P  corrisponde la coppia di numeri  (2 , 1)  che sono le sue coordinate (esse sono prese mandando da  P  le perpendicolari elle rette  x  ed  y  e misurando rispetto ad una apposita unità di misura le distanze delle proiezioni rispetto all'origine  0 , distanze a cui è dato il segno positivo o negativo a seconda di dove cadono le proiezioni).

La prima coordinata, la  x , si chiama ascissa mentre la seconda coordinata, la  y , si chiama ordinata. 

Dobbiamo questa straordinaria invenzione a Cartesio (prima metà del  '600 ) per cui gli assi così disegnati vengono chiamati assi cartesiani e le coordinate dei punti, coordinate cartesiane. Il piano dotato di un sistema di assi cartesiani si può chiamare semplicemente piano cartesiano.

A questo punto siamo in grado di introdurre il concetto di funzione e di darne una rappresentazione grafica rispetto ad un sistema di assi cartesiani.

02 - Funzioni ad una variabile.

Un caso molto semplice di funzione si ha quando c'è una corrispondenza fra due grandezze (variabili) numeriche differenti (in verità devono valere anche le altre condizioni che definiscono in generale una funzione).

Una variabile, di solito indicata con  x , si chiama variabile indipendente e l'altra, indicata con  y , si chiama variabile dipendente. Al variare della variabile indipendente  x , la variabile dipendente  y  varia di conseguenza in un modo definito dalla funzione stessa.

Simbolicamente, una funzione viene indicata con la scrittura :

        y = f(x)

dove il simbolo  f(...)  significa, nel caso più semplice, "una qualche espressione matematica contenete la variabile indipendente  x ".

Una funzione  y = f(x)  significa quindi che, dando un valore numerico qualsiasi alla variabile indipendente  x  e facendo i calcoli indicati dalla  f(...) , si ottiene come risultato un valore della variabile dipendente  y .

Facciamo alcuni esempi.

Consideriamo la funzione  y = x + 1 . Secondo quanto detto sopra, se diamo dei valori alla  x  otteniamo dei corrispondenti valori della  y . Per esempio :

      .....

      con   x = -2   si ottiene   y =  -2 + 1  = -1

      con   x = -1   si ottiene   y =  -1 + 1  =  0

      con   x =  0   si ottiene   y =    0 + 1  =  1

      con   x =  1   si ottiene   y =    1 + 1  =  2

      con   x =  2   si ottiene   y =    2 + 1  =  3

      .....

Naturalmente alla  x  si possono dare numeri reali qualunque, anche frazioni e numeri irrazionali.

I numeri così ottenuti possono essere posti sul piano cartesiano, ponendo cioè i valori di  x  sull'asse delle ascisse ed i corrispondenti valori delle  y  sull'asse delle ordinate :

       

Quello che balza subito all'attenzione è che i punti così ottenuti formano una retta. La retta così ottenuta è la rappresentazione grafica della funzione  y = x + 1.

La possibilità di disegnare il grafico di una data funzione è un fatto è di fondamentale importanza e si può generalizzare nella seguente affermazione : 

        le funzioni  y = f(x)  sono in generale rappresentabili sul piano cartesiano da grafici che in molti casi sono curve continue.

Il concetto di continuità è molto intuitivo. Si può affermare che una funzione (e quindi la curva che la rappresenta) è continua se, disegnandola, non si stacca la matita dalla carta.

Come altro esempio studiamo la funzione continua  y = x² :

      .....

      con   x = -2   si ottiene   y =  4

      con   x = -1   si ottiene   y =  1

      con   x =  0   si ottiene   y =  0

      con   x =  1   si ottiene   y =  1

      con   x =  2   si ottiene   y =  4 

      .....

per cui :

       

Si ottiene così una parabola.

Un altro esempio di funzione continua è  y = x³ - 3x² +2x   il cui grafico è il seguente :

       

03 - Funzioni a più variabili.

Il concetto di funzione può essere esteso a più variabili indipendenti. Si possono allora costruire funzioni : 

        z = f(x , y) 

dove le variabili indipendenti sono la  x  e la  y , mentre la variabile dipendente è la  z .

Il grafico di una funzione di questo tipo sarà una superficie dello spazio tridimensionale dotato di un sistema di assi cartesiani  x ,  y ,  z . In questo modo si vengono ad associare alle funzioni a due variabili indipendenti le superficie dello spazio.

Come esempio consideriamo la funzione  z = x² + y² :

       

Sulla superficie che la rappresenta abbiamo indicato il punto P che si ottiene ponendo  x = 1/2 , y = 1/2 , e, sostituendo nella funzione,  z = (1/2)² + (1/2)² = 1/4 + 1/4 = 1/2.

04 - Conclusione.

Le funzioni sono lo strumento fondamentale del lavoro dello scienziato perché le grandezze caratteristiche dei fenomeni naturali sono legate fra loro da legami di interdipendenza. Questi legami si possono esprimere in termini di funzioni e lo studio delle medesime ci permette di capire le leggi che regolano l'universo e tutto ciò che esso contiene.

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