E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Appendice : derivate

Una funzione  y = f(x)  è in generale rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è un tipo particolare di curva : è una curva a pendenza costante.

Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.

01 Pendenza.

Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.

La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :

       

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza  = 10 % = 10 / 100 = 0,1 .

Se il cateto verticale fosse di  100  metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del  100 % , ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di  45°  :

       

Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio, una pendenza del  700 % , ovvero uguale a  7 , significa :

       

Si noti che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a  90° . Quando l'angolo alla base sarà di  90° , la pendenza sarà infinita.

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.

Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima tracciando la retta tangente alla curva nel punto specificato :

       

Nel grafico, la curva rappresenta la funzione  y = f(x) . La pendenza della curva nel punto  P  è la pendenza della retta tangente alla curva tracciata  nel medesimo punto  P .

Punto per punto, la pendenza in generale è diversa :

       

Nell' esempio, in  P  è positiva, in  Q  è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in  R  è negativa.

02 - Derivata.

La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.

Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le derivate si può studiare l'andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.

La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della  x . La derivata della funzione  y = f(x)  è quindi una funzione della  x  e si indica con la scrittura :

         y = f ' (x) . 

Essa si chiama anche derivata prima.

Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda  :

        y = f '' (x) . 

Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.

03 - Studio di funzione.

Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione  y = x + 1 . Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :

       

La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo caso, formando la retta un angolo di  45° , la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere  y = 1 . La derivata della derivata prima è la derivata seconda. Essa è rappresentata in blu ed è  0  in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale, ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi  y = 0 .

Consideriamo ora la funzione  y = x² . Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza è variabile :

       

Nell'origine  0  la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell'origine, la pendenza è positiva e cresce via via che ci si allontana dall'origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e cresce in valore assoluto più ci si allontana dall'origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre in blu è rappresentata la derivata seconda.

Infine consideriamo la funzione  y = x³ - 3x² +2x  :

       

Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.

E' molto interessante notare che nei punti  A  e  B  del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di  A  la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In  B avviene il contrario.  Il punto  A  si chiama punto di massimo relativo ed il punto  B  si chiama punto di minimo relativo.

Come si vede dall'esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune formule utilizzabili a questo scopo :

 funzione  derivata
 y = k      (dove k è un numero qualunque)  y ' = 0
 y = k x  y ' = k
 y = k x²  y ' = 2 k x
 y = k x³  y ' = 3 k x²
 ...  ...

Nel caso della funzione y = x³ - 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

        y ' = 3x² - 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

        y '' = 6x - 6 .

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche che la derivata prima di  y = f(x)  si può indicare semplicemente col simbolo y ' mentre la derivata seconda col simbolo y ''.

04 - Equazioni differenziali.

In fisica si studiano le grandezze che si misurano osservando i fenomeni naturali per ricavare delle leggi matematiche che ne esprimono la interdipendenza. Questo, in sintesi, è lo scopo ed il metodo della fisica.

Supponiamo che una certa grandezza  y  sia rappresentabile da una funzione ad una variabile  y = f(x) , cioè che la grandezza  y  vari in funzione della grandezza  x . Supponiamo anche che questa grandezza sia tale che la sua derivata sia uguale in ogni punto alla somma fra la  x  e la  y . In sintesi si supponga che :

        y ' = x + y.

Questa è una equazione differenziale. Una equazione in cui l'incognita non è un numero ma una funzione.

Le equazioni differenziali sono il cuore della fisica. Tutte le leggi fisiche note sono espresse in termini di equazioni differenziali. Risolvendo queste equazioni si ricavano le grandezze fisiche nel loro variare in funzione di altre grandezze fisiche.

La soluzione delle equazioni differenziali non è sempre possibile in termini analitici, cioè esattamente. In molti casi si deve allora ricorrere a metodi di approssimazione numerica realizzabili al computer.

Nell'esempio sopra proposto, supponendo che la curva passi per  0 , si ottiene :

       

Si noti che nell'origine  0  il valore di  x + y  è ovviamente  0  e quindi anche  y '  deve essere  0 . La curva cercata è allora tangente all'asse delle  x  in 0.

Senza entrare nei particolari, accenniamo semplicemente che abbiamo trovato la soluzione dell'equazione differenziale usando un metodo di approssimazione numerica molto semplice basato sul fatto che la retta tangente in un punto ad una curva  nelle vicinanze di quel punto si "confonde" con essa :

       

La derivata della funzione in  P  è  Q'H / HP . Se il punto  Q  è molto vicino al punto  P , la derivata si può approssimare con  QH / HP  perché i punti  Q'  e  Q  tendono a sovrapporsi. Con questo artifizio si può porre  QH = (Q'H / HP) * HP  e quindi, partendo dal punto  P , si ottiene, anche se approssimato, il punto  Q  ed i modo analogo tutti i punti successivi. Si ottiene così la curva cercata.

Questo metodo è alla base di molte tecniche di approssimazione delle equazioni differenziali realizzabili al computer.

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