E-school di Arrigo
Amadori
Algebra I
Strutture algebriche
01
- Introduzione.
Un
insieme qualunque su cui siano definite delle operazioni e delle relazioni si
chiama, come abbiamo
già visto nel capitolo sugli “Insiemi”, sistema algebrico (possono
mancare del tutto le operazioni o
le relazioni).
Lo studio delle proprietà dei sistemi algebrici porta alla suddivisione dei
medesimi in diverse strutture
algebriche.
Riportiamo qui le più importanti.
02
- Gruppoide.
Sia A un insieme
qualunque ed O
una operazione definita su A
. L’insieme A
dotato della operazione
O si chiama gruppoide e si
indica con (A ; O) .
Se l’operazione O
si denota con +
il gruppoide si chiama additivo, se si denota con
* il gruppoide
si chiama moltiplicativo. Queste sono pure convenzioni che risultano
molto utili con gli insiemi numerici.
Esempi :
-
1-
(I ; +) è il gruppoide dei
numeri interi dotato della somma
-
2 -
(I ; -) è il
gruppoide dei numeri interi dotato della sottrazione
-
3 -
(I ; *) è il
gruppoide dei numeri interi dotato della moltiplicazione
Sia (A ; O) un
gruppoide. Due elementi x
ed y
di A si dicono permutabili
se xOy = yOx . Se ciò
accade per ogni ogni coppia di elementi di
A il gruppoide è detto commutativo.
Esempi :
-
1 -
(I ; +) ed
(I ; *) sono gruppoidi
commutativi
-
2 -
(I ; -) è un gruppoide non
commutativo
Sia (A ; O) un
gruppoide. Un elemento a di A
si dice che è centrale se per ogni
x di A
si ha
aOx = xOa .
L’insieme degli elementi centrali di
(A ; O) si chiama centro.
Esempi :
-
1 -
se (A ; O)
è commutativo il centro coincide con
A
-
2 -
(I ; -) non ha centro
-
3 -
esistono gruppoidi il cui centro è un sottoinsieme proprio del medesimo
03 - Semigruppo.
Sia (A ; O) un
gruppoide. Se si verifica che (aOb)Oc
= aO(bOc) per ogni elemento a, b, c di
A si
dice che (A ; O)
è un semigruppo e l’operazione
O si dice associativa.
Se si verifica anche che O
è commutativa, allora si dice che (A
; O) è un semigruppo
commutativo.
Esempi :
-
1 -
(I ; +) e
(I ; *) sono semigruppi
commutativi
-
2 -
(I ; -) non è un
semigruppo
04 -Monoide.
Sia (A ; O) un gruppoide.
Se esiste un elemento e
di A
tale che aOe = eOa = a per ogni a
di A ,
allora l’elemento e
si chiama elemento neutro.
Se O si denota con
+ allora l’elemento neutro
e si indica comunemente con
0 .
Se O
si denota con *
allora l’elemento neutro e
si indica comunemente con 1
.
Un semigruppo (A ; O)
dotato di elemento neutro si chiama monoide.
L’elemento neutro, se esiste, è unico.
Esempi :
- 1 -
(N ; +) non è un monoide
- 2 -
(N ; *) ha elemento neutro 1 ed è un
monoide commutativo
- 3 -
(I ; +) ha elemento
neutro 0
ed è un monoide commutativo
Se (A ; O) è un
gruppoide dotato di elemento neutro e
se esiste un elemento
a’ di
A per cui
aOa’ = a’Oa = e per un dato a
di A
allora si dice che a’
è l’inverso di a
.
Se O si denota con
+ allora
a’ si chiama inverso
additivo (od opposto) e si indica comunemente
con -a
.
Se O si denota con
* allora
a’ si chiama inverso
moltiplicativo (o reciproco) e si indica comunemente
con a ¯¹ .
Se l’elemento inverso esiste esso è unico.
05 - Gruppo.
Sia (A ; O) un
monoide. Se per ogni elemento di
A esiste l’elemento inverso,
allora (A ; O)
si chiama
gruppo.
Ovvero, un gruppo è un gruppoide su cui :
- 1 -
è definita una operazione che gode della proprietà associativa (per cui
è un semigruppo)
- 2 -
esiste l’elemento neutro (per cui è un monoide)
- 3 -
esiste l’inverso di ogni elemento (per cui è un monoide i cui elementi
sono dotati di
inverso)
Esempi :
(I ; +)
, (Q ; +)
, (Q - {0} ; *) , (R ; +)
, (R - {0} ; *)
sono gruppi
06 - Anello.
Sia (A ; O1 , O2) un
sistema algebrico dotato di due operazioni. Esso si chiama anello se
sono
soddisfatte le seguenti condizioni :
- 1 -
(A ; O1) è un gruppo
commutativo
- 2 -
(A ; O2) è un semigruppo
- 3 -
l’operazione O2
è distributiva rispetto all’operazione O1 , ovvero per ogni
a , b , c di
A :
(a O1 b)O2 c = (a O2 c) O1 (b O2 c)
a O2 (b O1 c) = (a O2 b) O1 (a O2 c)
E’ uso comune di denominare O1
con + ed O2
con *
per cui l’anello viene indicato con
(A ; +,*) .
L’elemento neutro di (A ;+)
si indica di solito con 0
e si chiama zero dell’anello, l’inverso additivo
di a
si denota con -a .
La proprietà distributiva di O2
rispetto ad O1
si indica allora con :
(a+b)*c = a*c + b*c
a * (b+c) = a*b +a*c
Esempi :
(I ; +,*)
, (Q ; +,*) ,
(R ; +,*) sono anelli
Un anello (A ; +,*)
si dice commutativo se il semigruppo (A ; *) è
commutativo.
Un anello (A ; +,*)
si chiama anello con unità se
(A ; *) è un monoide.
L’elemento neutro di
(A ; *) si chiama unità
dell’anello e si indica comunemente con 1
. Gli esempi di anelli dati in
precedenza sono tutti di anelli commutativi con unità.
07 - Corpo.
Se (A ; +,*) è un
anello e (A - {0} ; *)
è un gruppo, allora (A ;
+,*) si chiama corpo.
08 - Campo.
Se (A ; +,*) è un
anello commutativo e (A - {0} ; *)
è un gruppo, allora (A ;
+,*) si chiama campo.
Esempi :
- 1 -
(Q ; +,*) e
(R ; +,*) sono campi
- 2 -
(C ; +,*) , dove
C indica l’insieme dei
numeri complessi, è un campo
Fine.
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