E-school  di  Arrigo Amadori

Algebra I

Spazi vettoriali

01 – Introduzione.

Gli spazi vettoriali sono alla base di alcuni fra i più proficui capitoli dell’intera matematica. 
Lo spazio euclideo è uno spazio vettoriale così come gli importanti spazi di Banach e di 
Hilbert.

Gli spazi vettoriali sono di fondamentale importanza anche in fisica in quanto molte grandezze 
fisiche (posizione, velocità, accelerazione, forza ecc.) sono vettori.

La funzione d’onda   Ψ  che sta alla base della meccanica quantistica è un vettore dello 
spazio   che è un particolare spazio di Hilbert. 

Il calcolo tensoriale (il cui tensore fondamentale è il tensore metrico     ) che sta alla 
base della teoria della relatività è una estensione del calcolo vettoriale.

Risulta chiaro allora che il concetto di vettore è una delle chiavi di volta dell’intera scienza.

02 – Moltiplicazione scalare.

Siano   A   e  B  due insiemi qualunque. Sia   f : A x B à B   una funzione dal prodotto 
cartesiano di   A   per   B   a  B .

La funzione   f   così definita è detta moltiplicazione scalare di   B  per   A  . Se   a  
appartiene ad  A   ed  x   appartiene a   B   l’elemento corrispondente ad   (a , x)   si 
indica con   ax   e si chiama prodotto scalare di   x  per   a .

Esempi :

        - 1-          sia   A  =  R  (l’insieme dei numeri reali) e  B =  (l’insieme delle 
                        funzioni numeriche reali di dominio  R). Una moltiplicazione scalare fra  
                         ed   R   è per esempio la moltiplicazione fra un numero reale   k  ed 
                        una funzione numerica reale   f . Quindi   (k , f) à kf   è una moltiplicazione 
                        scalare

        - 2 -         nelle condizioni definite sopra, un altro esempio di moltiplicazione scalare 
                        è evidentemente anche        (k , f) à k + f  

03 – Spazio vettoriale.

Sia   (A ; + , *)  un campo e   V   un insieme munito di una operazione di addizione  (+) 
di moltiplicazione scalare per  A  . L’insieme   V   dotato delle operazioni di somma e 
moltiplicazione scalare si dice che è uno spazio vettoriale su   A   e si indica con  V(A)  
se si verificano le seguenti condizioni :

        - 1 -         (V ; +)   è un gruppo commutativo

        - 2 -         la moltiplicazione scalare gode delle proprietà :

                        -                      a(x + y) = ax + ay

                        -                      (a + b)x = ax + bx

                        -                      a(bx) = (ab)x

                        -                      1x = x

                        per ogni   a  e  b  appartenente ad   A   e  x  ed   y   appartenenti a   V .

Gli elementi di   V   si chiamano vettori o punti e gli elementi di   A  si chiamano scalari.

Si noti che abbiamo indicato con lo stesso simbolo  (+)  sia l’addizione fra gli elementi di  A  
che fra gli elementi di  V  così come utilizziamo lo   0   per indicare l’elemento neutro additivo 
sia di  A  che di   V (l’elemento neutro additivo di   V  si chiama vettore nullo). Ciò non 
comporta confusione come apparirà più chiaro in seguito negli esempi di spazi vettoriali.

Circa la moltiplicazione scalare valgono le seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -         a0 = 0

        - 2 -         0x = 0

        - 3 -         (-a)x = a(-x) = -(ax)

Esempi :

        - 1 -         , spazio degli n-vettori su   A  

                        sia   (A ; + , *)   un campo e   V =   (prodotto cartesiano  A x A x A x …x A   
                        n volte, con  n  naturale). Un elemento  x  appartenente a  V  è la n-pla ordinata  
                         con le   appartenenti ad   A .

                        Definiamo l’addizione in   V  con :

                                x + y =

                        Definiamo il vettore nullo :

                                0=

                        e l’opposto con :

                               

                        Allora   (V ; +)   è un gruppo commutativo.

                        Definiamo la moltiplicazione scalare di  V  per   A  con :

                               

                        Le condizioni riguardo alla moltiplicazione scalare sono tutte soddisfatte 
                        quindi   V(A)  è uno spazio vettoriale, detto lo spazio degli n-vettori su  A , 
                        che indicheremo con    .

        - 2 -           , spazio vettoriale dei polinomi di grado   ≤ n   su   C

                        l’insieme dei polinomi di grado   n  definiti sul campo complesso (il 
                        concetto non cambia se si considera un campo qualunque) formano  
                        uno spazio vettoriale se la somma fra polinomi è la usuale somma e la 
                        moltiplicazione scalare è definita semplicemente moltiplicando un numero 
                        complesso per un polinomio (omettiamo la dimostrazione). Tale spazio 
                        vettoriale verrà indicato con  .

        - 3 -         , spazio vettoriale delle matrici   n x n  su   C

                        l’insieme   delle matrici quadrate  n x n  con elementi appartenenti al 
                        campo complesso (il concetto non cambia se si considera un campo  
                        qualunque) è uno spazio vettoriale se la somma fra matrici e la moltiplicazione  
                        scalare sono quelle usuali (omettiamo la dimostrazione). Tale spazio vettoriale 
                        verrà indicato con  .

04 – Dipendenza lineare.

Sia   V(A)   uno spazio vettoriale. Siano dati   n  vettori    appartenenti a   V  ed   n   
scalari    appartenenti ad  A .

Il vettore   si chiama combinazione lineare dei vettori   .

Consideriamo i seguenti casi :

        - 1 -         esistono degli   non tutti nulli  tali che   .

                        In questo caso si dice che gli   n   vettori sono linearmente dipendenti

        - 2 -           à  tutti nulli.

                        In questo caso si dice che gli   n   vettori sono linearmente indipendenti

Esempio :

        consideriamo in    i due vettori  (1 , 2)  e  (2 , 3) . Essi sono linearmente indipendenti 
        perché il vettore combinazione lineare dei suddetti è  :

               

        che è nullo solo quando :

               

        ovvero quando  .

05 – Sottospazio vettoriale.

Sia  V(A)   uno spazio vettoriale e  W  un sottoinsieme di  V . Se   W(A)  è anch’esso uno 
spazio vettoriale esso si dice che è un sottospazio di  V(A) .

Per i sottospazi vettoriali valgono gli importanti teoremi (omettiamo la dimostrazione) :

        - 1 -         condizione necessaria e sufficiente perché   W(A)  sia un sottospazio di  V(A)  
                        (essendo   W   sottoinsieme di V ) è che   W  sia chiuso rispetto alla somma 
                        ed alla moltiplicazione scalare, ovvero che il risultato della  somma di due 
                        elementi di   W  sia ancora un elemento di  W  e che il prodotto scalare di 
                        un elemento di  W  per uno scalare sia ancora un elemento di   W

        - 2 -         sia   V(A)  uno spazio vettoriale e siano      n   suoi vettori. Consideriamo 
                        l’insieme :

                                

                        ovvero l’insieme di tutti i vettori combinazioni lineari di     ottenibili 
                        dando agli scalari     tutti i possibili valori.         Allora   W(A)   è 
                        un sottospazio vettoriale di  V(A)  che si chiama sottospazio generato dai 
                        vettori    

06 – Base.

Sia   V(A)  uno spazio vettoriale. Se esiste un numero naturale  n  ed un insieme di   n  vettori   
  linearmente indipendenti e tali che lo spazio vettoriale generato da    
coincide con  V(A)   allora si dice che       è una base di   V(A) .

Esempi :

        - 1 -         nello spazio vettoriale dei 2-vettori sul campo reale,    , i vettori :

                               

                        costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti (omettiamo la 
                        dimostrazione) ed ogni vettore   x   di      è esprimibile come:

                               

                        per cui    costituisce una base di 

        - 2 -         nello spazio vettoriale dei polinomi di grado  ≤ 2  sul campo complesso,   ,  
                        i polinomi  :

                               

                        costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti (omettiamo la 
                        dimostrazione) ed ogni polinomio   p(x)  di grado  ≤ 2   è esprimibile come :

                               

        - 3 -         nello spazio vettoriale delle matrici   2 x 2   sul campo complesso,    
                        le matrici :

                               

                        costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti (omettiamo la 
                        dimostrazione) ed ogni matrice   2 x 2  è esprimibile come :

                               

Riguardo al concetto di base occorre sottolineare che uno spazio vettoriale può non avere 
nessuna base. Consideriamo a questo proposito l’insieme di tutti i polinomi di ogni grado su  C 
Questo insieme è uno spazio vettoriale ma non possiede nessuna base finita, ovvero non esiste 
nessun numero naturale   n   per cui esista un insieme     di vettori linearmente 
indipendenti  che generino lo spazio vettoriale stesso.

07 – Coordinate.

Sia   V(A)  uno spazio vettoriale e     una sua base . Lo spazio generato dalla base 
coincide con lo spazio vettoriale per cui ogni vettore   x   di   V(A)  è esprimibile dalla 
combinazione lineare     dove i coefficienti    appartengono ad  A .

Poiché per ogni vettore   x   di  V  esiste una ed una sola n-pla    corrispondente 
(omettiamo la dimostrazione), i valori     si chiamano coordinate del vettore   x  
rispetto alla base    .

08 – Dimensione.

Sia   V(A)  uno spazio vettoriale su cui è definita una base di   n  vettori. Poiché ogni altra base 
di  V(A)   è composta anch’essa da  n  vettori (omettiamo la dimostrazione), si dice che   V(A)   
ha dimensione   n   e si scrive  dimV(A) =  n .

Esempi :

        - 1 -         lo spazio     ha dimensione   n

        - 2 -         lo spazio     ha dimensione   n + 1

        - 3 -         lo spazio   ha dimensione   n ²

09 – Cambiamento di base.

Sia   V(A)   uno spazio vettoriale di dimensione   n . Siano    ed    due 
sue basi. Sia   x  un vettore di  V(A)  e siano    e    le coordinate di  x  
rispetto alla prima ed alla seconda base per cui :

       

D’altra parte ogni vettore della base     può essere espresso in funzione dei vettori 
della base     per cui :

       

ovvero, sinteticamente :

       

dove i coefficienti     sono opportuni elementi del campo   A .

Sostituendo, si ottiene :

       

Semplificando e confrontando, si ottiene :

       

Questa formula fornisce le coordinate di  x  rispetto alla base    note le coordinate 
rispetto alla base    .

La matrice    si chiama matrice del cambiamento di base.

Se esprimiamo un vettore di uno spazio vettoriale di dimensione  n  come una matrice colonna 
(vettore colonna) formata dalle sue coordinate rispetto ad una base :

       

La formula del cambiamento di base si esprime sinteticamente del seguente modo :

       

 Dove      indica la moltiplicazione fra la matrice  A   e la matrice  ξ .

10 – Isomorfismo.

Siano   U(A)  e  V(A)  due spazi vettoriali sullo stesso campo  (A ; + , *)  . Gli spazi si dice 
che sono isomorfi se esiste una applicazione   α : U(A) à V(A)   che soddisfa le seguenti 
condizioni :

        - 1 -         α   è biunivoca  da  U(A)  su  V(A)

        - 2 -         f(x + y) = f(x) + f(y)

        - 3 -         f(ax) = af(x)

per ogni   x  e  y  appartenenti a  U(A)  e per ogni  a   appartenente ad  A .

L’applicazione   α   si chiama isomorfismo e l’isomorfismo fra i due spazi si indica con  
 .

Si hanno gli importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -         siano   U(A)  e  V(A)  due spazi vettoriali sullo stesso campo e di dimensione  
                        finita. Sia    e sia     una base di    U(A) . Allora   
                         è una base di   V(A)

        - 2 -         due spazi vettoriali  U(A)  e   V(A)  sullo stesso campo e di dimensione finita 
                        sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione

Il concetto di isomorfismo fra spazi vettoriali è molto importante ed utile perché, se si verifica 
l’isomorfismo fra due spazi, i due spazi sono assolutamente equivalenti dal punto di vista delle 
loro proprietà vettoriali.

11 – Spazio intersezione ed unione.

Sia   U(A)  uno spazio vettoriale e siano   V(A)  e  W(A)   due suoi sottospazi.

L’insieme dei vettori comuni a  V  ed a  W  munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione 
scalare è uno spazio vettoriale che si chiama spazio intersezione e si denota con   (V∩W)(A)  .

L’insieme di tutti i vettori che si ottengono sommando tutti i vettori di  V(A)  e di   W(A)   (a due 
a  due) munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione scalare è uno spazio vettoriale che 
si chiama spazio unione e si denota con   (V+W)(A)  .

Le definizioni sono ben poste in quanto sia   (V∩W)(A)  che   (V+W)(A)  sono spazi vettoriali 
(omettiamo le dimostrazioni).

Riguardo agli spazi intersezione ed unione vale l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :

        -              nelle condizioni di cui sopra si ha  dim(V+W)(A) = dimV(A) + dimW(A) - 
                       dim(V∩W)(A) 

12 – Trasformazione di uno spazio vettoriale in sé.

Sia   V(A)  uno spazio vettoriale. Una applicazione  f : V à V   si chiama trasformazione di 
uno spazio vettoriale in sé.

Esempio :

        -              sia  V(A)   uno spazio vettoriale ed  a   un suo vettore. La trasformazione     
                        per cui si abbia     si chiama traslazione ed è una applicazione 
                        biunivoca di  V  su  V  ovvero una particolare permutazione di  V

13 – Trasformazione lineare.

Sia   V(A)   uno spazio vettoriale e  T : V à V  una trasformazione di   V(A)  in sé. Essa si 
dice lineare se valgono le seguenti proprietà :

        - 1 -         T(x + y) = T(x) + T(y)    per ogni   x  ed  y   appartenenti a  V

        - 2 -         T(ax) = aT(x)                  per ogni   x   appartenente a  V  ed  a   appartenente 
                                                               ad  A

Esempi :

        - 1 -         consideriamo    , lo spazio degli n-vettori su  A  . Sia   una matrice   
                        n x n  su  A . Se      è un vettore di     l’applicazione  
                        , espressa dalla moltiplicazione della matrice per il vettore colonna, è 
                        una trasformazione lineare di     in sé (omettiamo la dimostrazione)

        - 2 -         la trasformazione  I : V à V  tale che   I(x) = x  per ogni  x  di   V  si chiama 
                         trasformazione identica ed è una trasformazione lineare (omettiamo la 
                        dimostrazione)

        - 3 -         la trasformazione  O : V à V  tale che   O(x) = 0  per ogni  x  di   V  si chiama 
                         trasformazione nulla ed è una trasformazione lineare (omettiamo la dimostrazione)

Per le trasformazioni lineari sussistono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -         sia  V(A)  uno spazio vettoriale ed  U(A)  un suo sottospazio di dimensione  m . 
                        Sia   T   una trasformazione lineare di  V(A)  in sé. Allora il trasformato di   U(A)  
                        che indicheremo con  (T(U))(A)   è un sottospazio di   V(A)  di dimensione   ≤ m

        - 2 -         sia  V(A)  uno spazio vettoriale di dimensione  n . Sia    una 
                        sua base e    un insieme qualunque di   n  vettori di  V . Allora  
                        esiste una ed una sola trasformazione lineare   T  tale che     

14 – Caratteristica o rango di una trasformazione lineare.

Sia  V(A)  uno spazio vettoriale di dimensione finita e  T   una sua trasformazione lineare. 
Si chiama caratteristica o rango della trasformazione lineare   T   la dimensione del 
sottospazio trasformato di  T , ovvero :

        rango di  T  = dim(T(V))(A)  .

Se la dimensione di  V(A)  è uguale       al rango di   T   si dice che   T   è non singolare.

Se la dimensione di  V(A)  è maggiore del rango di   T   si dice che   T   è singolare.

Riguardo al rango di una trasformazione lineare valgono i seguenti teoremi (omettiamo le 
dimostrazioni) :

        - 1 -         sia   V(A)   uno spazio vettoriale di dimensione  finita e  T  una sua 
                        trasformazione lineare. Allora   T   è singolare se e solo se  esiste un 
                        vettore  x  diverso da  0  tale che   T(x) = 0

        - 2 -         sia   V(A)    uno spazio vettoriale di dimensione  finita e  T  una sua 
                        trasformazione lineare non singolare. L’applicazione inversa di  T   è  
                        anch’essa una trasformazione lineare che si chiama trasformazione 
                        inversa di  T  e si indica con  

L’insieme delle trasformazioni lineari non singolari su  V(A)  di dimensione finita dotato 
dell’operazione di moltiplicazione (composizione di due trasformazioni, es.   
risulta un gruppo non commutativo (omettiamo la dimostrazione) che indicheremo con   .

15 – Affinità.

Sia   V(A)  uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sia   a   un vettore di   V(A)   e  T   
una trasformazione lineare in  V(A)  . Allora l’applicazione lineare   S : x à T(x) + a   si 
chiama trasformazione affine od affinità.

Fine.

Pagina precedente