Algebra I
Spazi vettoriali
01 – Introduzione.
Gli spazi vettoriali sono alla base di alcuni fra i più proficui capitoli dell’intera matematica.
Lo spazio euclideo è uno spazio vettoriale così come gli importanti spazi di Banach e di
Hilbert.
Gli spazi vettoriali sono di fondamentale importanza anche in fisica in quanto molte grandezze
fisiche (posizione, velocità, accelerazione, forza ecc.) sono vettori.
La funzione d’onda Ψ che sta alla base della meccanica quantistica è un vettore dello
spazio
che
è un particolare spazio di Hilbert.
Il calcolo tensoriale (il cui tensore fondamentale è il tensore metrico
)
che sta alla
base della teoria della relatività è una estensione del calcolo vettoriale.
Risulta chiaro allora che il concetto di vettore è una delle chiavi di volta dell’intera scienza.
02 – Moltiplicazione scalare.
Siano A e B due insiemi qualunque. Sia f : A x B à B una funzione dal prodotto
cartesiano di A per B a B .
La funzione f così definita è detta moltiplicazione scalare di B per A . Se a
appartiene ad A ed x appartiene a B l’elemento corrispondente ad (a , x) si
indica con ax e si chiama prodotto scalare di x per a .
Esempi :
- 1- sia A = R (l’insieme dei numeri reali) e B =
(l’insieme
delle
funzioni numeriche reali di dominio R). Una moltiplicazione scalare fra
ed
R è per esempio la
moltiplicazione fra un numero reale k
ed
una funzione numerica reale f . Quindi (k , f) à kf è una moltiplicazione
scalare
- 2 - nelle condizioni definite sopra, un altro esempio di moltiplicazione scalare
è evidentemente anche (k , f) à k + f
03 – Spazio vettoriale.
Sia (A ; + , *) un campo e V un insieme munito di una operazione di addizione (+) e
di moltiplicazione scalare per A . L’insieme V dotato delle operazioni di somma e
moltiplicazione scalare si dice che è uno spazio vettoriale su A e si indica con V(A)
se si verificano le seguenti condizioni :
- 1 - (V ; +) è un gruppo commutativo
- 2 - la moltiplicazione scalare gode delle proprietà :
- a(x + y) = ax + ay
- (a + b)x = ax + bx
- a(bx) = (ab)x
- 1x = x
per ogni a e b appartenente ad A e x ed y appartenenti a V .
Gli elementi di V si chiamano vettori o punti e gli elementi di A si chiamano scalari.
Si noti che abbiamo indicato con lo stesso simbolo (+) sia l’addizione fra gli elementi di A
che fra gli elementi di V così come utilizziamo lo 0 per indicare l’elemento neutro additivo
sia di A che di V (l’elemento neutro additivo di V si chiama vettore nullo). Ciò non
comporta confusione come apparirà più chiaro in seguito negli esempi di spazi vettoriali.
Circa la moltiplicazione scalare valgono le seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - a0 = 0
- 2 - 0x = 0
- 3 - (-a)x = a(-x) = -(ax)
Esempi :
- 1 -
, spazio degli n-vettori su A
sia (A ; + , *) un campo e V =
(prodotto
cartesiano A x A x A x …x A
n volte, con n naturale). Un elemento x appartenente a V è la n-pla ordinata
con
le 
appartenenti
ad A .
Definiamo l’addizione in V con :
x + y =
Definiamo il vettore nullo :
0=
e l’opposto con :
Allora (V ; +) è un gruppo commutativo.
Definiamo la moltiplicazione scalare di V per A con :
Le condizioni riguardo alla moltiplicazione scalare sono tutte soddisfatte
quindi V(A) è uno spazio vettoriale, detto lo spazio degli n-vettori su A ,
che indicheremo con
.
- 2 -
, spazio vettoriale dei polinomi di grado
≤ n su
C
l’insieme dei polinomi di grado ≤ n definiti sul campo complesso (il
concetto non cambia se si considera un campo qualunque) formano
uno spazio vettoriale se la somma fra polinomi è la usuale somma e la
moltiplicazione scalare è definita semplicemente moltiplicando un numero
complesso per un polinomio (omettiamo la dimostrazione). Tale spazio
vettoriale verrà indicato con
.
- 3 -
, spazio vettoriale delle matrici
n x n su
C
l’insieme
delle
matrici quadrate n x n
con elementi appartenenti al
campo complesso (il concetto non cambia se si considera un campo
qualunque) è uno spazio vettoriale se la somma fra matrici e la moltiplicazione
scalare sono quelle usuali (omettiamo la dimostrazione). Tale spazio vettoriale
verrà indicato con
.
04 – Dipendenza lineare.
Sia V(A) uno spazio vettoriale. Siano dati n vettori
appartenenti
a V
ed n
scalari
appartenenti
ad A .
Il vettore
si
chiama combinazione lineare dei vettori
.
Consideriamo i seguenti casi :
- 1 - esistono degli
non
tutti nulli tali che
.
In questo caso si dice che gli n vettori sono linearmente dipendenti
- 2 -
à
tutti
nulli.
In questo caso si dice che gli n vettori sono linearmente indipendenti
Esempio :
consideriamo in
i
due vettori (1 , 2)
e (2 , 3) . Essi sono
linearmente indipendenti
perché il vettore combinazione lineare dei suddetti è :
che è nullo solo quando :
ovvero quando
.
05 – Sottospazio vettoriale.
Sia V(A) uno spazio vettoriale e W un sottoinsieme di V . Se W(A) è anch’esso uno
spazio vettoriale esso si dice che è un sottospazio di V(A) .
Per i sottospazi vettoriali valgono gli importanti teoremi (omettiamo la dimostrazione) :
- 1 - condizione necessaria e sufficiente perché W(A) sia un sottospazio di V(A)
(essendo W sottoinsieme di V ) è che W sia chiuso rispetto alla somma
ed alla moltiplicazione scalare, ovvero che il risultato della somma di due
elementi di W sia ancora un elemento di W e che il prodotto scalare di
un elemento di W per uno scalare sia ancora un elemento di W
- 2 - sia V(A) uno spazio vettoriale e siano
n
suoi vettori. Consideriamo l’insieme :
ovvero l’insieme di tutti i vettori combinazioni lineari di
ottenibili dando agli scalari
tutti i possibili valori.
Allora W(A)
è un sottospazio vettoriale di V(A) che si chiama sottospazio generato dai
vettori
06 – Base.
Sia V(A) uno spazio vettoriale. Se esiste un numero naturale n ed un insieme di n vettori
linearmente indipendenti e
tali che lo spazio vettoriale generato da
coincide con V(A) allora si dice che
è una base di
V(A) .Esempi :
- 1 - nello spazio vettoriale dei 2-vettori sul campo reale,
, i vettori :
costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti (omettiamo la
dimostrazione) ed ogni vettore x di
è esprimibile come:
per cui
costituisce una base di
- 2 - nello spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ 2 sul campo complesso,
, i polinomi :
costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti (omettiamo la
dimostrazione) ed ogni polinomio p(x) di grado ≤ 2 è esprimibile come :
- 3 - nello spazio vettoriale delle matrici 2 x 2 sul campo complesso,
, le matrici :
costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti (omettiamo la
dimostrazione) ed ogni matrice 2 x 2 è esprimibile come :
Riguardo al concetto di base occorre sottolineare che uno spazio vettoriale può non avere
nessuna base. Consideriamo a questo proposito l’insieme di tutti i polinomi di ogni grado su C .
Questo insieme è uno spazio vettoriale ma non possiede nessuna base finita, ovvero non esiste
nessun numero naturale n per cui esista un insieme
di vettori linearmente indipendenti che generino lo spazio vettoriale stesso.
07 – Coordinate.
Sia V(A) uno spazio vettoriale e
una sua base . Lo
spazio generato dalla base coincide con lo spazio vettoriale per cui ogni vettore x di V(A) è esprimibile dalla
combinazione lineare
dove i coefficienti
appartengono ad
A .Poiché per ogni vettore x di V esiste una ed una sola n-pla
corrispondente (omettiamo la dimostrazione), i valori
si chiamano coordinate
del vettore x rispetto alla base
.08 – Dimensione.
Sia V(A) uno spazio vettoriale su cui è definita una base di n vettori. Poiché ogni altra base
di V(A) è composta anch’essa da n vettori (omettiamo la dimostrazione), si dice che V(A)
ha dimensione n e si scrive dimV(A) = n .
Esempi :
- 1 - lo spazio
ha dimensione
n- 2 - lo spazio
ha dimensione
n + 1- 3 - lo spazio
ha dimensione
n ²09 – Cambiamento di base.
Sia V(A) uno spazio vettoriale di dimensione n . Siano
ed
due sue basi. Sia x un vettore di V(A) e siano
e
le coordinate di
x rispetto alla prima ed alla seconda base per cui :
D’altra parte ogni vettore della base
può essere espresso in
funzione dei vettori della base
per cui :
ovvero, sinteticamente :
dove i coefficienti
sono opportuni elementi del
campo A .Sostituendo, si ottiene :
Semplificando e confrontando, si ottiene :
Questa formula fornisce le coordinate di x rispetto alla base
note le coordinate rispetto alla base
.La matrice
si chiama matrice del
cambiamento di base.Se esprimiamo un vettore di uno spazio vettoriale di dimensione n come una matrice colonna
(vettore colonna) formata dalle sue coordinate rispetto ad una base :
La formula del cambiamento di base si esprime sinteticamente del seguente modo :
Dove Aξ indica la moltiplicazione fra la matrice A e la matrice ξ .
10 – Isomorfismo.
Siano U(A) e V(A) due spazi vettoriali sullo stesso campo (A ; + , *) . Gli spazi si dice
che sono isomorfi se esiste una applicazione α : U(A) à V(A) che soddisfa le seguenti
condizioni :
- 1 - α è biunivoca da U(A) su V(A)
- 2 - f(x + y) = f(x) + f(y)
- 3 - f(ax) = af(x)
per ogni x e y appartenenti a U(A) e per ogni a appartenente ad A .
L’applicazione α si chiama isomorfismo e l’isomorfismo fra i due spazi si indica con
.Si hanno gli importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - siano U(A) e V(A) due spazi vettoriali sullo stesso campo e di dimensione
finita. Sia
e sia
una base di
U(A) . Allora 
è una base di
V(A)- 2 - due spazi vettoriali U(A) e V(A) sullo stesso campo e di dimensione finita
sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione
Il concetto di isomorfismo fra spazi vettoriali è molto importante ed utile perché, se si verifica
l’isomorfismo fra due spazi, i due spazi sono assolutamente equivalenti dal punto di vista delle
loro proprietà vettoriali.
11 – Spazio intersezione ed unione.
Sia U(A) uno spazio vettoriale e siano V(A) e W(A) due suoi sottospazi.
L’insieme dei vettori comuni a V ed a W munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione
scalare è uno spazio vettoriale che si chiama spazio intersezione e si denota con (V∩W)(A) .
L’insieme di tutti i vettori che si ottengono sommando tutti i vettori di V(A) e di W(A) (a due
a due) munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione scalare è uno spazio vettoriale che
si chiama spazio unione e si denota con (V+W)(A) .
Le definizioni sono ben poste in quanto sia (V∩W)(A) che (V+W)(A) sono spazi vettoriali
(omettiamo le dimostrazioni).
Riguardo agli spazi intersezione ed unione vale l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- nelle condizioni di cui sopra si ha dim(V+W)(A) = dimV(A) + dimW(A) -
dim(V∩W)(A)
12 – Trasformazione di uno spazio vettoriale in sé.
Sia V(A) uno spazio vettoriale. Una applicazione f : V à V si chiama trasformazione di
uno spazio vettoriale in sé.
Esempio :
- sia V(A) uno spazio vettoriale ed a un suo vettore. La trasformazione
per cui si abbia
si chiama traslazione
ed è una applicazione biunivoca di V su V ovvero una particolare permutazione di V
13 – Trasformazione lineare.
Sia V(A) uno spazio vettoriale e T : V à V una trasformazione di V(A) in sé. Essa si
dice lineare se valgono le seguenti proprietà :
- 1 - T(x + y) = T(x) + T(y) per ogni x ed y appartenenti a V
- 2 - T(ax) = aT(x) per ogni x appartenente a V ed a appartenente
ad A
Esempi :
- 1 - consideriamo
, lo spazio degli n-vettori su
A . Sia
una matrice n x n su A . Se
è un vettore di
l’applicazione 
,
espressa dalla moltiplicazione della matrice per il vettore colonna, è una trasformazione lineare di
in sé (omettiamo la
dimostrazione)- 2 - la trasformazione I : V à V tale che I(x) = x per ogni x di V si chiama
trasformazione identica ed è una trasformazione lineare (omettiamo la
dimostrazione)
- 3 - la trasformazione O : V à V tale che O(x) = 0 per ogni x di V si chiama
trasformazione nulla ed è una trasformazione lineare (omettiamo la dimostrazione)
Per le trasformazioni lineari sussistono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - sia V(A) uno spazio vettoriale ed U(A) un suo sottospazio di dimensione m .
Sia T una trasformazione lineare di V(A) in sé. Allora il trasformato di U(A)
che indicheremo con (T(U))(A) è un sottospazio di V(A) di dimensione ≤ m
- 2 - sia V(A) uno spazio vettoriale di dimensione n . Sia
una sua base e
un insieme qualunque di
n vettori di
V . Allora esiste una ed una sola trasformazione lineare T tale che
14 – Caratteristica o rango di una trasformazione lineare.
Sia V(A) uno spazio vettoriale di dimensione finita e T una sua trasformazione lineare.
Si chiama caratteristica o rango della trasformazione lineare T la dimensione del
sottospazio trasformato di T , ovvero :
rango di T = dim(T(V))(A) .
Se la dimensione di V(A) è uguale al rango di T si dice che T è non singolare.
Se la dimensione di V(A) è maggiore del rango di T si dice che T è singolare.
Riguardo al rango di una trasformazione lineare valgono i seguenti teoremi (omettiamo le
dimostrazioni) :
- 1 - sia V(A) uno spazio vettoriale di dimensione finita e T una sua
trasformazione lineare. Allora T è singolare se e solo se esiste un
vettore x diverso da 0 tale che T(x) = 0
- 2 - sia V(A) uno spazio vettoriale di dimensione finita e T una sua
trasformazione lineare non singolare. L’applicazione inversa di T è
anch’essa una trasformazione lineare che si chiama trasformazione
inversa di T e si indica con
L’insieme delle trasformazioni lineari non singolari su V(A) di dimensione finita dotato
dell’operazione di moltiplicazione (composizione di due trasformazioni, es.
) risulta un gruppo non commutativo (omettiamo la dimostrazione) che indicheremo con
.15 – Affinità.
Sia V(A) uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sia a un vettore di V(A) e T
una trasformazione lineare in V(A) . Allora l’applicazione lineare S : x à T(x) + a si
chiama trasformazione affine od affinità.
Fine.
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