Algebra I
Spazi euclidei
01 – Introduzione.
Lo spazio euclideo è lo spazio della nostra esperienza quotidiana, lo spazio descritto dalla
geometria elementare. Fu Euclide, nel terzo secolo a.c., ad esporne le proprietà in forma
ipotetico-deduttiva.
In questo capitolo lo spazio euclideo viene descritto come uno spazio vettoriale dotato di
metrica, la metrica corrispondente al teorema di Pitagora.
02 – Forma lineare su uno spazio vettoriale complesso.
Sia V(C) uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo complesso.
L’applicazione f : V à C si chiama forma lineare di prima specie su V(C) se si
verificano le seguenti condizioni :
- 1 - f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x ed y appartenenti a V
- 2 - f(kx) = kf(x) per ogni x appartenente a V e per ogni k
appartenente a C
L’applicazione f : V à C si chiama forma lineare di seconda specie su V(C) se si
verificano le seguenti condizioni :
- 1 - f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x ed y appartenenti a V
- 2 - f(kx) =
f(x)
(dove 
è il coniugato complesso di
k )
per ogni x appartenente a V e per ogni k
appartenente a C
Se
è una base di
V(C) , il vettore
x può essere espresso
come
, dove le
ξ sono le coordinate
del vettore x
rispetto alla
base suddetta.
Se f è una forma lineare di prima specie allora, grazie alle condizioni di linearità sopra
elencate, si ottiene :
Se f è una forma lineare di seconda specie allora, grazie alle condizioni di linearità sopra
elencate, si ottiene :
03 – Forma bilineare su uno spazio vettoriale complesso.
Sia V(C) uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo complesso.
L’applicazione g : V x Và C si chiama forma bilineare su V(C) se si verificano le
seguenti condizioni :
- 1 - g(x ; y) è lineare di prima specie rispetto ad x (per ogni y fissato)
- 2 - g(x ; y) è lineare di seconda specie rispetto ad y (per ogni x fissato)
Se
è una base di
V(C) si ha 
e
da cui si ottiene :
Posto
diremo che la matrice 
è la matrice
della forma bilineare rispetto alla base
.
04 – Forma bilineare simmetrica ed hermitiana. Forma quadratica su uno spazio
vettoriale complesso.
Sia V(C) uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo complesso e sia g(x ; y)
una forma bilineare su V(C) .
La forma bilineare g(x ; y) si dice forma bilineare simmetrica se :
La forma bilineare g(x ; y) si dice forma bilineare hermitiana (di Hermite) se :
La funzione g(x ; x) si chiama forma quadratica.
Se
è la matrice della forma
bilineare g(x ; y)
rispetto alla base 
e g(x ; y) è hermitiana allora
e
.
Per le forme bilineari hermitiane vale l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- sia V(C) uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo complesso
e g(x ; y) una forma bilineare su V(C) . Allora g(x ; y) è hermitiana se e
solo se g(x ; x) appartiene ad R per ogni x appartenente a V .
05 – Forma quadratica definita positiva.
Sia V(C) uno spazio vettoriale di dimensione finita n sul campo complesso e g(x ; x)
sia una forma quadratica. Essa si dice definita positiva se g(x ; x) > 0 per ogni vettore
x appartenente a V e diverso da 0 .
06 – Spazio euclideo sul campo complesso.
Uno spazio vettoriale V(C) di dimensione finita n sul campo complesso dotato di una
forma quadratica definita positiva si chiama spazio euclideo complesso. Quanto qui
affermato è valido anche se il campo su cui è definito lo spazio vettoriale è R . In questo
caso lo spazio si chiama spazio euclideo reale.
La forma bilineare g(x ; y) associata allo spazio euclideo si chiama anche prodotto interno
fra x e y e si indica con
.
Esempi :
- 1 - consideriamo
, lo spazio dei 3-vettori su
R , dotato della forma
bilineare
la cui matrice
rispetto alla base
è
I (matrice unità). Si
tratta di una forma bilineare
simmetrica la cui corrispondente forma quadratica è
che è definita positiva. Allora
è un prodotto
interno. Quindi
, se dotato del
suddetto prodotto
interno, è uno
spazio euclideo reale.
- 2 - consideriamo
, lo spazio dei 3-vettori su
C , dotato della forma
bilineare
la cui matrice rispetto alla base
è
I (matrice unità). Si
tratta di una forma bilineare
hermitiana la cui corrispondente forma quadratica è
che è definita
positiva.
Allora
è un prodotto interno.
Quindi 
,
se dotato del suddetto prodotto interno, è uno spazio euclideo complesso.
07 – Modulo di un vettore, distanza fra due vettori, ortogonalità.
Qui vengono presentate le proprietà metriche ed angolari (riguardo all’ortogonalità fra vettori)
degli spazi euclidei in modo che uno spazio euclideo è sia uno spazio vettoriale che uno spazio
metrico.
Sia V(C) uno spazio euclideo complesso di dimensione finita n e x un suo vettore. Il
numero reale non negativo :
si chiama modulo del vettore x .
Se x e y appartengono a V si definisce la distanza fra x e y come :
ovvero come modulo della differenza dei due vettori.
Se x e y appartengono a V e
si dice che i due vettori
sono ortogonali.
Sulle proprietà metriche degli spazi euclidei valgono i seguenti fondamentali teoremi
(omettiamo le dimostrazioni).
Sia V(C) uno spazio euclideo complesso di dimensione finita n . Per ogni x e y
appartenente a V e per ogni a appartenente a C si ha :
- 1 -
- 2 -
, teorema di Pitagora
- 3 -
, disuguaglianza di Schwarz
- 4 -
, disuguaglianza triangolare o di Minkowski
i teoremi qui esporti valgono anche, ovviamente, se lo spazio euclideo è reale.
08 – Base ortonormale.
Sia V(C) uno spazio euclideo complesso di dimensione finita n . Una sua base
si dice ortonormale se
valgono le seguenti condizioni :
- 1 -
per
i ≠ j , i = 1,
…, n ,
j = 1, …, n
- 2 -
per
i = 1, …, n
La definizione qui data vale anche per gli spazi euclidei reali.
Naturalmente (omettiamo la dimostrazione), i vettori di una base ortonormale sono
linearmente indipendenti.
Circa il concetto di base ortonormale valgono i seguenti importanti teoremi (omettiamo
le dimostrazioni) :
- 1 - uno spazio euclideo complesso di dimensione n possiede basi ortonormali
- 2 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso di dimensione finita n e
una sua base
ortonormale.
Se x appartiene a V si ha
. Allora :
Se x ed y appartengono a V si ha
e
. Allora :
- 3 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso di dimensione finita n ed
a un suo vettore non nullo. Sia
l’insieme
dei vettori di V ortogonali al vettore a . Allora W(C) è un sottospazio
di V(C) di dimensione n – 1 che si chiama sottospazio ortogonale ad a
- 4 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso di dimensione finita n e W(C)
un suo sottospazio. Se a è un vettore non nullo di V ed a non appartiene
a W , allora esiste uno ed un solo vettore b appartenente a W tale che
a – b è ortogonale ad a . Il vettore b si chiama proiezione ortogonale
di a su W(C) . Il vettore b è il vettore di W che ha distanza minima da a
Quanto affermato è ovviamente valido anche per gli spazi euclidei reali.
09 – Isomorfismo fra spazi euclidei.
Due spazi euclidei , V(C) e W(C) , sono isomorfi se esiste una applicazione α : V à W
tale che :
- 1 - α è biunivoca
- 2 - α(x + y) = α(x) + α(y)
- 3 - α(kx) = k α(x)
- 4 - < α(x) , α(y)> = <x , y>
per ogni x e y appartenenti a V e per ogni k appartenente a C .
Circa l’isomorfismo fra spazi euclidei vale l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- due spazi euclidei complessi di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la
stessa dimensione
Quanto affermato è ovviamente valido anche per gli spazi euclidei reali.
Fine.
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