E-school  di  Arrigo Amadori

Algebra I

Spazi euclidei

01 – Introduzione.

Lo spazio euclideo è lo spazio della nostra esperienza quotidiana, lo spazio descritto dalla 
geometria elementare. Fu Euclide, nel terzo secolo a.c., ad esporne le proprietà in forma 
ipotetico-deduttiva.

In questo capitolo lo spazio euclideo viene descritto come uno spazio vettoriale dotato di 
metrica, la metrica corrispondente al teorema di Pitagora.

02 – Forma lineare su uno spazio vettoriale complesso.

Sia    V(C)  uno spazio vettoriale di dimensione finita   n  sul campo complesso.

L’applicazione   f : V à C   si chiama forma lineare di prima specie su   V(C)  se si 
verificano le seguenti condizioni :

        - 1 -         f(x + y) = f(x) + f(y)   per ogni   x  ed   y   appartenenti a  V

        - 2 -         f(kx) = kf(x)               per ogni   x   appartenente a  V  e per ogni   k  
                                                          appartenente a  C

L’applicazione   f : V à C   si chiama forma lineare di seconda specie su   V(C)  se si 
verificano le seguenti condizioni :

        - 1 -         f(x + y) = f(x) + f(y)   per ogni   x  ed   y   appartenenti a  V

        - 2 -         f(kx) =  f(x)            (dove     è il coniugato complesso di  k )

                                                          per ogni   x   appartenente a  V  e per ogni   k  
                                                          appartenente a  C

Se    è una base di   V(C) ,  il vettore   x   può essere espresso come   
 , dove le  ξ  sono le coordinate del vettore   x   rispetto alla 
base suddetta.

Se   f   è una forma lineare di prima specie allora, grazie alle condizioni di linearità sopra 
elencate, si ottiene :

        

Se   f   è una forma lineare di seconda specie allora, grazie alle condizioni di linearità sopra 
elencate, si ottiene :

        

03 – Forma bilineare su uno spazio vettoriale complesso.

Sia    V(C)  uno spazio vettoriale di dimensione finita   n  sul campo complesso.

L’applicazione   g : V x Và C   si chiama forma bilineare su   V(C)  se si verificano le 
seguenti condizioni :

        - 1 -         g(x ; y)   è lineare di prima    specie rispetto ad   x  (per ogni   y  fissato)

        - 2 -         g(x ; y)   è lineare di seconda specie rispetto ad   y  (per ogni   x  fissato)

Se    è una base di   V(C)   si ha   e    
da cui si ottiene :

        

Posto     diremo che la matrice    è la matrice 
della forma bilineare rispetto alla base    .

04 – Forma bilineare simmetrica ed hermitiana. Forma quadratica su uno spazio 
        vettoriale complesso.

Sia    V(C)  uno spazio vettoriale di dimensione finita   n  sul campo complesso e sia   g(x ; y)  
una forma bilineare su  V(C) .

La forma bilineare  g(x ; y)  si dice forma bilineare simmetrica se :

        

La forma bilineare  g(x ; y)  si dice forma bilineare hermitiana (di Hermite) se :

        

La funzione   g(x ; x)  si chiama forma quadratica.

Se     è la matrice della forma bilineare   g(x ; y)  rispetto alla base     
e   g(x ; y)  è hermitiana allora      e   .

Per le forme bilineari hermitiane vale l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :

        -              sia  V(C)  uno spazio vettoriale di dimensione finita   n  sul campo complesso 
                        e   g(x ; y)  una forma bilineare su  V(C) . Allora   g(x ; y)   è hermitiana se e 
                        solo se   g(x ; x) appartiene ad   R  per ogni   x  appartenente a  V .

05 – Forma quadratica definita positiva.

Sia    V(C)  uno spazio vettoriale di dimensione finita   n  sul campo complesso e   g(x ; x)  
sia una forma quadratica. Essa si dice definita positiva se   g(x ; x) > 0  per ogni vettore   
x  appartenente a   V  e diverso da   0 .

06 – Spazio euclideo sul campo complesso.

Uno spazio vettoriale  V(C)  di dimensione finita   n  sul campo complesso dotato di una 
forma quadratica definita positiva si chiama spazio euclideo complesso. Quanto qui 
affermato è valido anche se il campo su cui è definito lo spazio vettoriale è   R . In questo 
caso lo spazio si chiama spazio euclideo reale.

La forma bilineare   g(x ; y)  associata allo spazio euclideo si chiama anche prodotto interno  
fra   x   e   y   e si indica con   .

Esempi :

        - 1 -         consideriamo   , lo spazio dei 3-vettori su  R  , dotato della forma 
                        bilineare    la cui matrice rispetto alla base  
                        è  I  (matrice unità). Si tratta di una forma bilineare 
                        simmetrica la cui corrispondente forma quadratica è    
                        che è definita positiva.  Allora    è un prodotto 
                        interno. Quindi   , se dotato del suddetto prodotto interno, è uno 
                        spazio euclideo reale.

        - 2 -         consideriamo    , lo spazio dei 3-vettori su  C  , dotato della forma 
                        bilineare    la cui matrice rispetto alla base  
                        è  I  (matrice unità). Si tratta di una forma bilineare 
                        hermitiana la cui corrispondente forma quadratica è  
                         che è definita positiva.  
                        Allora    è un prodotto interno. Quindi   
                        se dotato del suddetto prodotto interno, è uno spazio euclideo complesso.

07 – Modulo di un vettore, distanza fra due vettori, ortogonalità.

Qui vengono presentate le proprietà metriche ed angolari (riguardo all’ortogonalità fra vettori) 
degli spazi euclidei in modo che uno spazio euclideo è sia uno spazio vettoriale che uno spazio 
metrico.

Sia    V(C)  uno spazio euclideo complesso di dimensione finita   n  e  x   un suo vettore. Il 
numero reale non negativo :

        

si chiama modulo del vettore   x .

Se   x  e  y   appartengono a   V  si definisce la distanza fra   x  e  y  come :

        

ovvero come modulo della differenza dei due vettori.

Se   x  e  y   appartengono a   V  e    si dice che i due vettori sono ortogonali.

Sulle proprietà metriche degli spazi euclidei valgono i seguenti fondamentali teoremi 
(omettiamo le dimostrazioni).

Sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso di dimensione finita   n  . Per ogni  x  e  y  
appartenente a  V  e per ogni   a  appartenente a  C  si ha :

        - 1 -         

        - 2 -            , teorema di Pitagora

        - 3  -         , disuguaglianza di Schwarz

        - 4 -          , disuguaglianza triangolare o di Minkowski

i teoremi qui esporti valgono anche, ovviamente, se lo spazio euclideo è reale.

08 – Base ortonormale.

Sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso di dimensione finita   n  . Una sua base    
  si dice ortonormale se valgono le seguenti condizioni :

        - 1 -            per   i ≠ j ,   i = 1, …, n  ,   j = 1, …, n

        - 2 -              per              i = 1, …, n 

La definizione qui data vale anche per gli spazi euclidei reali.

Naturalmente (omettiamo la dimostrazione), i vettori di una base ortonormale sono 
linearmente indipendenti.

Circa il concetto di base ortonormale valgono i seguenti importanti teoremi (omettiamo 
le dimostrazioni) :

        - 1 -         uno spazio euclideo complesso di dimensione   n  possiede basi ortonormali

        - 2 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso di dimensione finita   n  e   
                          una sua base ortonormale.

                        Se    x   appartiene a  V  si ha     . Allora :

                                

                        Se    x  ed   y   appartengono a  V  si ha    e   
                        . Allora :

                                

        - 3 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso di dimensione finita   n  ed   
                        a  un suo vettore non nullo. Sia     l’insieme 
                        dei vettori di  V  ortogonali al vettore  a . Allora   W(C)  è un sottospazio 
                        di  V(C)   di dimensione  n – 1  che si chiama sottospazio ortogonale ad  a

        - 4 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso di dimensione finita   n  e  W(C)  
                        un suo sottospazio. Se   a  è un vettore non nullo di  V  ed  a  non appartiene 
                        a  W  , allora esiste uno ed un solo vettore  b  appartenente a  W  tale che     
                        a – b  è ortogonale ad  a . Il vettore   b  si chiama proiezione ortogonale  
                        di  a  su  W(C) .  Il vettore   b  è il vettore di  W  che ha distanza minima da  a

Quanto affermato è ovviamente valido anche per gli spazi euclidei reali. 

09 – Isomorfismo fra spazi euclidei.

Due spazi euclidei ,  V(C)   e   W(C) , sono isomorfi se esiste una applicazione   α : V à W  
tale che :

        - 1 -         α  è biunivoca

        - 2 -         α(x + y) = α(x) + α(y)

        - 3 -         α(kx) = k α(x)        

        - 4 -         < α(x) , α(y)> = <x , y>

per ogni  x  e   y  appartenenti a  V  e  per ogni   k  appartenente a  C .

Circa l’isomorfismo fra spazi euclidei vale l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :

        -          due spazi euclidei complessi di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la 
               stessa dimensione

Quanto affermato è ovviamente valido anche per gli spazi euclidei reali.

Fine.

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