E-school  di  Arrigo Amadori

Algebra I

Sistemi di equazioni lineari

01 – Introduzione.

Sono i sistemi di equazioni di primo grado in più incognite. Molti problemi di matematica e 
fisica portano alla soluzione di tali sistemi.

La teoria dei sistemi di equazioni lineari si ricollega alla teoria delle matrici e delle trasformazioni 
lineari sugli spazi vettoriali.

La trattazione che segue è riferita al campo complesso  C   ma può essere ovviamente 
riferita ad un campo qualunque.

02 – Rango o caratteristica per colonne di una matrice.

Sia  A  una matrice appartenente a    (l’insieme delle matrici    n x n   con elementi sul 
campo dei numeri complessi  C  ).

Sia    l’i-simo vettore colonna della matrice   A  , con  i = 1, …, n .

Si dice che la matrice   A   ha rango per colonne   r  se il numero massimo di vettori colonna 
linearmente indipendenti è  r .

Si ha l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :

        -              sia  V(C)  uno spazio vettoriale sul campo complesso di dimensione  n  e   T   
                        una sua trasformazione lineare la cui matrice rispetto ad una data base è   A . 
                        Allora il rango di  T  coincide col rango per colonne di  A .

Quanto affermato non cambia se si prendono, invece delle colonne, le righe di una matrice 
per cui si ha l’analoga definizione di rango per righe.

03 – Spazio nullo di una trasformazione lineare.

Sia  V(C)  uno spazio vettoriale sul campo complesso di dimensione  n  e  T  una sua 
trasformazione lineare. Allora l’insieme   si chiama spazio nullo  
di  T  e si indica con  .

Naturalmente   è un sottospazio di   V(C)  (omettiamo la dimostrazione).

E’ importante notare che lo spazio nullo di una trasformazione lineare è uguale allo spazio 
nullo (spazio che contiene il solo vettore  0) se solo se la trasformazione lineare è non 
singolare. In questo caso   .

Più precisamente vale il teorema (omettiamo la dimostrazione) :

        -              sia  V(C)  uno spazio vettoriale sul campo complesso di dimensione  n  e  T  
                        una sua trasformazione lineare. Allora si ha   .

04 – Matrici equivalenti.

Siano   A  e   B   due matrici  appartenenti a   . Sia dice che   B  è    equivalente ad   A  
se esistono due matrici invertibili   P  e  Q   appartenenti a   tali che   B = PAQ  e si scrive   
B ~ A .

Si dimostra che l’equivalenza fra matrici è una relazione di equivalenza per cui nell’insieme 
viene indotta una partizione in classi di equivalenza.

Per le matrici equivalenti vale il teorema (omettiamo la dimostrazione) :

        -              sia  A  una matrice appartenente a  e sia  appartenente a     la matrice 
                        che ha elementi uguali alla matrice unità fino alla riga e colonna m-sima e nulli 
                        altrove (es.  dove  ). Allora   A  ed    sono 
                        equivalenti se è solo se   A  ha rango per colonne uguale ad   m .

Il precedente teorema costituisce la base per dimostrare il seguente importante teorema 
(omettiamo la dimostrazione) :

        -              sia  A  una matrice appartenente a  e sia  T  la corrispondente trasformazione 
                        lineare in   . Allora il rango per colonne ed il rango per righe di  A  sono 
                        uguali e coincidono col rango di   T .

05 – Sistema di equazioni lineari.

Si chiama sistema di   m   equazioni lineari in  n  incognite la struttura :

        

formata da   m  equazioni lineari in   n   incognite.

Gli    si chiamano coefficienti del sistema, gli   si chiamano incognite del sistema ed i     
si chiamano termini noti. Sia gli   a  che gli  x   che i   b  appartengono a   C .

Se i termini noti sono tutti nulli il sistema si dice omogeneo, altrimenti si dice non omogeneo.

Una n-pla ordinata     di elementi di  C   si chiama soluzione del sistema se 
sostituendo i valori di   k  alle incognite  x  (rispettivamente) tutte le equazioni del sistema 
vengono soddisfatte. 

Ogni sistema di equazioni lineari  m x n  è equivalente (nel senso che hanno le stesse soluzioni) 
ad un sistema   n x n  .

Mostriamo questo con due esempi :

        - 1 -          

        - 2 -          

D’ora in poi considereremo solo sistemi di equazioni lineari  n x n  (quadrati) perché ad essi 
ci si può sempre ricondurre.

Un sistema di equazioni lineari può essere posto nella forma sintetica :

        

Dove   è la matrice   n x n  dei coefficienti del sistema,    
è l’ n-vettore delle incognite e   è l’ n-vettore dei termini noti.

Nel caso che   det A ≠ 0   sia ha l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :

                     se   A   è invertibile (det A ≠ 0)  il sistema   A x = b  ha la sola soluzione   
                         .

                        Si ha allora :

                                

                        dove gli   sono i complementi algebrici degli   . Se   è 
                        la soluzione del sistema si ha quindi :

                                

                        che è la cosiddetta formula di Cramer.

                        La formula di Cramer permette in linea di principio di risolvere ogni sistema 
                        di equazioni lineari con determinante dei coefficienti non nullo. Nella pratica, 
                        quando   n   è abbastanza grande (> 3), però, si utilizzano altri metodi, perché 
                        la formula di Cramer si basa sulla risoluzione di determinati, problema in generale 
                        complesso.

Esempio :

        -                      si voglia risolvere il sistema :

                            

                    esso è esprimibile nella forma  Ax = b  ovvero   .

                    Si ha   per cui è applicabile la formula di Cramer.

                    Si ottiene allora :

                            

06 – Minore.

Sia   A   una matrice rettangolare   m x n  sul campo complesso. Da questa matrice è 
possibile “estrarre” delle matrici quadrate  p x p  dove   p ≤ min(m , n)  (vedi esempi). 
Il determinate di ciascuna di queste matrici si chiama minore di ordine  p  della matrice  A .

Esempio :

        -              data la matrice   3 x 3     il suo unico minore di ordine   3  
                        corrisponde al determinante della matrice stessa mentre sono suoi minori di 
                        ordine   2   i seguenti determinanti :

                                

                        il primo ed il quarto minore dell’elenco si dice che sono minori principali  
                        perché presi lungo la diagonale principale di   A .

Il concetto di minore è importante perché per suo tramite si può calcolare facilmente il rango 
di una matrice. Infatti si ha il teorema (omettiamo la dimostrazione) :

         -              una matrice   A  n x n  ha rango   m   se e solo se esiste un suo minore di ordine   
                         m  non nullo mentre sono nulli tutti i minori di ordine   m + 1  .

Se una matrice è completamente nulla, si dice che è di rango zero. Se una matrice   n x n  ha 
determinante diverso da zero,  il suo rango è   n .

Esempio :

        -              la matrice     ha determinante nullo ma il suo minore    
                        per esempio, ha determinante non nullo per cui il rango di   A   è   2 .

07 – Esistenza di soluzioni.

Il sistema di equazioni lineari    Ax = b   ha una ed una sola soluzione se la matrice  A   
è invertibile, ovvero se  det A ≠ 0 . Nei casi in cui la matrice   A   non è invertibile, cioè 
quando  det A = 0 , si può avere nessuna soluzione oppure infinite soluzioni (in funzione 
di uno o più parametri indipendenti).

Per stabilire se un sistema possiede soluzioni è di fondamentale importanza il teorema 
di Kronecker – Capelli (omettiamo la dimostrazione) :

        -              sia   A   una matrice   n x n  sul campo complesso e   Ax = b   il 
                        corrispondente sistema. Esso ha almeno una soluzione se e solo 
                        se le due matrici :

                                

                        hanno lo stesso rango.

Se  det A ≠ 0  il rango di  A   è  n  ed il rango di  A’  è anch’esso   n  (il determinante di  
A’  è nullo in quanto l’ultima riga è formata da zeri). In questo caso il sistema ha una sola 
soluzione perché si ricade nella regola di Cramer.

Se  det A = 0  , invece, si possono verificare due casi : nessuna soluzione od infinite soluzioni. 
Nel caso di infinite soluzioni possiamo determinarle estraendo dalla matrice   A   una matrice   
p x p  (essendo  p   il rango di  A  ovvero di  A’   (p < n))  tale da avere determinante non nullo. 
Estraendo questa matrice si può applicare la formula di Cramer ed ottenere così le soluzioni 
cercate.

Illustriamo quanto affermato nei seguenti esempi :

        - 1 -         si voglia risolvere il sistema :

                                

                        Le due matrici in questione sono    
                        La prima ha rango   2   ma la seconda ha rango   3  . Il sistema non ha soluzioni.

        - 2 -         si voglia risolvere il sistema :

                                

                        Le due matrici in questione sono   
                        Entrambe hanno rango 2 . Il sistema ha soluzioni. Per determinarle consideriamo 
                        il minore    di ordine   2   uguale al rango di  A  e di  A’  e riscriviamo il 
                        sistema nel seguente modo :

                                

                        con     e omettendo la terza equazione perché superflua in quanto la 
                        terza riga di  A’   è una combinazione lineare delle prime due.

                        Il sistema così ottenuto è risolubile con la formula di Cramer in funzione di  
                        Si ottiene così :

                                

                        per ogni   t  appartenente a  C . Si tratta di una infinità di soluzioni dipendenti 
                        dal parametro  t .


Fine.

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