Algebra I
Sistemi di equazioni lineari
01 – Introduzione.
Sono i sistemi di equazioni di primo grado in più incognite. Molti problemi di matematica e
fisica portano alla soluzione di tali sistemi.
La teoria dei sistemi di equazioni lineari si ricollega alla teoria delle matrici e delle trasformazioni
lineari sugli spazi vettoriali.
La trattazione che segue è riferita al campo complesso C ma può essere ovviamente
riferita ad un campo qualunque.
02 – Rango o caratteristica per colonne di una matrice.
Sia A una matrice appartenente a
(l’insieme delle matrici
n x n con elementi sul
campo dei numeri complessi C ).
Sia
l’i-simo vettore colonna
della matrice A
, con i = 1, …, n .
Si dice che la matrice A ha rango per colonne r se il numero massimo di vettori colonna
linearmente indipendenti è r .
Si ha l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- sia V(C) uno spazio vettoriale sul campo complesso di dimensione n e T
una sua trasformazione lineare la cui matrice rispetto ad una data base è A .
Allora il rango di T coincide col rango per colonne di A .
Quanto affermato non cambia se si prendono, invece delle colonne, le righe di una matrice
per cui si ha l’analoga definizione di rango per righe.
03 – Spazio nullo di una trasformazione lineare.
Sia V(C) uno spazio vettoriale sul campo complesso di dimensione n e T una sua
trasformazione lineare. Allora l’insieme
si chiama spazio nullo
di T e si indica con
.
Naturalmente
è un sottospazio di
V(C) (omettiamo la dimostrazione).
E’ importante notare che lo spazio nullo di una trasformazione lineare è uguale allo spazio
nullo (spazio che contiene il solo vettore 0) se solo se la trasformazione lineare è non
singolare. In questo caso
.
Più precisamente vale il teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- sia V(C) uno spazio vettoriale sul campo complesso di dimensione n e T
una sua trasformazione lineare. Allora si ha
.
04 – Matrici equivalenti.
Siano A e B due matrici appartenenti a
. Sia dice che
B è
equivalente ad A
se esistono due matrici invertibili P e Q appartenenti a
tali che
B = PAQ e si scrive
B ~ A .
Si dimostra che l’equivalenza fra matrici è una relazione di equivalenza per cui nell’insieme
viene indotta una partizione in classi di equivalenza.
Per le matrici equivalenti vale il teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- sia A una matrice appartenente a
e sia
appartenente a
la matrice
che ha elementi uguali alla matrice unità fino alla riga e colonna m-sima e nulli
altrove (es.
dove
). Allora
A ed 
sono
equivalenti se è solo se A ha rango per colonne uguale ad m .
Il precedente teorema costituisce la base per dimostrare il seguente importante teorema
(omettiamo la dimostrazione) :
- sia A una matrice appartenente a
e sia
T la corrispondente
trasformazione
lineare in
. Allora il rango per colonne ed il
rango per righe di A
sono
uguali e coincidono col rango di T .
05 – Sistema di equazioni lineari.
Si chiama sistema di m equazioni lineari in n incognite la struttura :
formata da m equazioni lineari in n incognite.
Gli
si chiamano coefficienti del
sistema, gli
si chiamano incognite del
sistema ed i
si chiamano termini noti. Sia gli a che gli x che i b appartengono a C .
Se i termini noti sono tutti nulli il sistema si dice omogeneo, altrimenti si dice non omogeneo.
Una n-pla ordinata
di elementi di
C si chiama soluzione
del sistema se
sostituendo i valori di k alle incognite x (rispettivamente) tutte le equazioni del sistema
vengono soddisfatte.
Ogni sistema di equazioni lineari m x n è equivalente (nel senso che hanno le stesse soluzioni)
ad un sistema n x n .
Mostriamo questo con due esempi :
- 1 -
- 2 -
D’ora in poi considereremo solo sistemi di equazioni lineari n x n (quadrati) perché ad essi
ci si può sempre ricondurre.
Un sistema di equazioni lineari può essere posto nella forma sintetica :
Dove
è la matrice
n x n dei coefficienti del
sistema,
è l’ n-vettore delle incognite e
è l’ n-vettore dei termini
noti.
Nel caso che det A ≠ 0 sia ha l’importante teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- se A è invertibile (det A ≠ 0) il sistema A x = b ha la sola soluzione
.
Si ha allora :
dove gli
sono i complementi algebrici
degli 
. Se
è
la soluzione del sistema si ha quindi :
che è la cosiddetta formula di Cramer.
La formula di Cramer permette in linea di principio di risolvere ogni sistema
di equazioni lineari con determinante dei coefficienti non nullo. Nella pratica,
quando n è abbastanza grande (> 3), però, si utilizzano altri metodi, perché
la formula di Cramer si basa sulla risoluzione di determinati, problema in generale
complesso.
Esempio :
- si voglia risolvere il sistema :
esso è esprimibile nella forma Ax = b ovvero
.
Si ha
per cui è applicabile la
formula di Cramer.
Si ottiene allora :
06 – Minore.
Sia A una matrice rettangolare m x n sul campo complesso. Da questa matrice è
possibile “estrarre” delle matrici quadrate p x p dove p ≤ min(m , n) (vedi esempi).
Il determinate di ciascuna di queste matrici si chiama minore di ordine p della matrice A .
Esempio :
- data la matrice 3 x 3
il suo unico minore di ordine
3
corrisponde al determinante della matrice stessa mentre sono suoi minori di
ordine 2 i seguenti determinanti :
il primo ed il quarto minore dell’elenco si dice che sono minori principali
perché presi lungo la diagonale principale di A .
Il concetto di minore è importante perché per suo tramite si può calcolare facilmente il rango
di una matrice. Infatti si ha il teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- una matrice A n x n ha rango m se e solo se esiste un suo minore di ordine
m non nullo mentre sono nulli tutti i minori di ordine m + 1 .
Se una matrice è completamente nulla, si dice che è di rango zero. Se una matrice n x n ha
determinante diverso da zero, il suo rango è n .
Esempio :
- la matrice
ha determinante nullo ma il
suo minore
,
per esempio, ha determinante non nullo per cui il rango di A è 2 .
07 – Esistenza di soluzioni.
Il sistema di equazioni lineari Ax = b ha una ed una sola soluzione se la matrice A
è invertibile, ovvero se det A ≠ 0 . Nei casi in cui la matrice A non è invertibile, cioè
quando det A = 0 , si può avere nessuna soluzione oppure infinite soluzioni (in funzione
di uno o più parametri indipendenti).
Per stabilire se un sistema possiede soluzioni è di fondamentale importanza il teorema
di Kronecker – Capelli (omettiamo la dimostrazione) :
- sia A una matrice n x n sul campo complesso e Ax = b il
corrispondente sistema. Esso ha almeno una soluzione se e solo
se le due matrici :
hanno lo stesso rango.
Se det A ≠ 0 il rango di A è n ed il rango di A’ è anch’esso n (il determinante di
A’ è nullo in quanto l’ultima riga è formata da zeri). In questo caso il sistema ha una sola
soluzione perché si ricade nella regola di Cramer.
Se det A = 0 , invece, si possono verificare due casi : nessuna soluzione od infinite soluzioni.
Nel caso di infinite soluzioni possiamo determinarle estraendo dalla matrice A una matrice
p x p (essendo p il rango di A ovvero di A’ (p < n)) tale da avere determinante non nullo.
Estraendo questa matrice si può applicare la formula di Cramer ed ottenere così le soluzioni
cercate.
Illustriamo quanto affermato nei seguenti esempi :
- 1 - si voglia risolvere il sistema :
Le due matrici in questione sono
.
La prima ha rango 2 ma la seconda ha rango 3 . Il sistema non ha soluzioni.
- 2 - si voglia risolvere il sistema :
Le due matrici in questione sono
.
Entrambe hanno rango 2 . Il sistema ha soluzioni. Per determinarle consideriamo
il minore
di ordine
2 uguale al rango di
A e di
A’ e riscriviamo il
sistema nel seguente modo :
con
e omettendo la terza
equazione perché superflua in quanto la
terza riga di A’ è una combinazione lineare delle prime due.
Il sistema così ottenuto è risolubile con la formula di Cramer in funzione di
.
Si ottiene così :
per ogni t appartenente a C . Si tratta di una infinità di soluzioni dipendenti
dal parametro t .