E-school  di  Arrigo Amadori

Sintesi

Vettori


I vettori sono gli oggetti matematici che costituiscono la base di tutte le teorie fisiche.

Esponiamo qui i concetti fondamentali della teoria dei vettori limitatamente al caso dei vettori dello 
spazio (tridimensionale) della nostra esperienza (ed in particolare del piano (bidimensionale)) 
tenendo presente che tali concetti possono essere estesi a spazi a più dimensioni ed addirittura a 
spazi astratti formati oggetti astratti quali le funzioni.

Tali estensioni vengono approfondite in altre pagine di questo sito.

Un vettore si può rappresentare come un segmento dotato di una freccia.

Un generico vettore  V  dello spazio ha  3  componenti rispetto ad un sistema di coordinate 
cartesiane ortogonali ed è indicato come 

       

Seguendo l'usuale formalismo degli indici, possiamo inoltre indicare il vettore  V  tramite le sue 
componenti, ovvero useremo indipendentemente  V  e    per esprimere il vettore stesso (l'indice  
i  assume i valori interi  1, 2 , 3 ).

Ribadiamo ulteriormente il significato di componente di un vettore rispetto ad un sistema di coordinate
cartesiane tramite il seguente esempio nel piano :

       

dove il vettore  V  può essere "applicato" in qualunque punto.

Un vettore possiede un modulo o intensità (o norma ) che ne rappresenta la lunghezza definibile 
tramite il teorema di Pitagora. Il modulo del vettore  V  è indicato con  |V|  e vale :

          nello spazio  

e :

          nel piano.

01 - Operazioni elementari.

Esiste il vettore nullo le cui componenti sono tutte nulle e che ha perciò modulo  0 . Esso coincide 
con l'origine  0 del sistema di assi cartesiani. Esso è : 

         0 = (0 , 0 , 0)  

e per ogni vettore  V  esiste il vettore inverso  -V  ottenuto moltiplicando per  -1  tutte le sue 
componenti per cui :

         .

Il vettore inverso di un vettore dato è quel vettore di uguale direzione, intensità ma di verso opposto.

Dati i due vettori  A  e  B , si definisce per addizione  l'operazione che fa ottenere come risultato il 
vettore  C  = A + B  le cui componenti sono date dalla somma delle corrispondenti componenti :

          dove  i  = 1, 2, 3 .

L'addizione fra due vettori ha una importante interpretazione grafica che va sotto il nome di regola 
del parallelogramma. Nel piano :



Questa regola corrisponde in fisica alla legge di composizione delle forze.

Dati uno scalare (numero reale)  k  ed un vettore  A , si definisce la moltiplicazione per uno scalare 
come l'operazione che fa ottenere per risultato il vettore  B = k A  le cui componenti sono date dal 
prodotto di   k  per le corrispondenti componenti di  A :

           dove  i = 1, 2, 3 .

Moltiplicando un vettore per   k  si ottiene un altro vettore di uguale direzione, intensità moltiplicata 
per  |k|  e stesso verso, se  k  è positivo, o verso opposto, se  k  è negativo.

Ovviamente, moltiplicando un vettore per  -1  si ottiene il vettore inverso e moltiplicando un vettore
per  0  si ottiene il vettore nullo.

02 - Prodotto scalare.

Fra due vettori  A  e  B  è possibile definire due tipi di moltiplicazione : quella scalare, che dà come
risultato uno scalare, e quella vettoriale, che dà come risultato un vettore.

Di queste presentiamo qui la prima, il cosiddetto prodotto scalare.

Il prodotto scalare (o prodotto interno) fra due vettori è definito come la somma dei prodotti delle 
componenti corrispondenti ed è indicato con il simbolo  ·  , ovvero :

          .

Sottolineiamo il fatto che il risultato  del prodotto scalare è uno scalare (cioè un numero).

Il prodotto scalare assume l'importante significato geometrico di essere uguale al prodotto del modulo 
del primo vettore per la proiezione dell'altro vettore sulla direzione su cui giace il primo.

Graficamente, nel piano :

       

Una tipica applicazione fisica del prodotto scalare è il lavoro. Quando una forza subisce uno
spostamento vi è lavoro ed il suo valore è appunto dato dal prodotto scalare fra il vettore
forza per il vettore spostamento.

Fine.

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