E-school  di  Arrigo Amadori 

Sintesi

Integrali 

Consideriamo la funzione  . Essa è rappresentata nel piano cartesiano da una curva.

01 - Superficie.

Come calcolare l'area S della parte di piano compresa fra la curva e l'asse delle ascisse ?

       

Immaginiamo di scomporre il segmento ab, per esempio, in tre parti e di considerare i rettangoli che se ne ricavano:

       

La somma delle aree dei tre rettangoli ottenuti in questo modo non eguaglia l'area cercata ma ne firnisce un valore approssimato.

Se si scompone l'intervallo ab in un numero maggiore di parti, si otterrà una approssimazione migliore. Proviamo a scomporlo in nove parti :

       

Come si vede dal grafico, questa volta l'approssimazione è molto migliore della precedente.

Immaginiamo allora di scomporre l'intervallo ab in un numero infinito di parti e fare la somma delle aree degli infiniti rettangoli infinitamente sottili che si ottengono. Il risultato alla fine eguaglierà l'area cercata.

02 - Integrale definito.

L'area compresa fra la curva e l'asse delle x si chiama integrale definito (o semplicemente integrale) della funzione che rappresenta la curva, calcolato fra i due punti a e b in cui l'area risulta delimitata e si scrive :

     

E' interessante notare che il simbolo di integrale non è altro che la stilizzazione della lettera greca sigma che in matematica ha il significato usuale di sommatoria. Ciò ad indicare appunto che l'integrale è una sommatoria.

Il calcolo di un integrale utilizzando il metodo sopra esposto è molto complesso e spesso ci si deve accontentare di risultati approssimati relativi alla somma di un numero di termini non infinito. Con l'uso del computer, però, si possono raggiungere precisioni altissime in tempi di elaborazione molto piccoli.

03 - Integrale indefinito.

In certi casi, per calcolare un integrale definito, è possibile utilizzare un particolare oggetto matematico che mette in relazione la derivata con l'integrale. Questo oggetto si chiama integrale indefinito (oppure primitiva) ed è, per così  dire, l'operazione inversa della derivata.

Se f(x) è una funzione, indichiamo con g(x) quella funzione la cui derivata prima eguaglia f(x), cioè tale che g ' (x) = f(x). La funzione g(x) si chiama integrale indefinito di f(x) e si indica con :

     

Si noti che il simbolo dell'integrale indefinito è lo stesso dell'integrale definito ma senza gli estremi di integrazione.

Come semplici esempi di integrali indefiniti diamo i seguenti :

 funzione  integrale indefinito
 y = k   (dove k è un numero qualunque)  y = k x
 y = k x  y = k / 2
 y = k  y = k / 3
 ...  ...

Orbene, se si conosce l'integrale indefinito di  f(x) si può calcolare facilmente ed in maniera esatta l'integrale definito. Basta fare la semplice sostituzione :

     

dove naturalmente g(a) e g(b) indicano i valori che si ottengono sostituendo alla x dell'integrale indefinito g(x) rispettivamente a e b. 

Come esempio, calcoliamo l'integrale della parabola y =   fra 0 ed 1, ovvero calcoliamo l'area indicata nel grafico in maniera esatta (non con il metodo della scomposizione dell'area in rettangoli, ma con l'uso dell'integrale indefinito) :

       

L'integrale indefinito di risulta / 3 (come indicato nella precedente tabella ponendo k = 1). Per questo si ottiene facilmente :

     

ovvero l'area indicata in figura vale esattamente 1/3.

Purtroppo, data una funzione qualunque, non è sempre possibile disporre del suo integrale indefinito per cui il calcolo dell'integrale è per lo più problematico. A volte un integrale definito è risolubile esattamente tramite l'integrale indefinito, a volte si può solo ottenete un risultato approssimato col metodo della suddivisione in rettangoli.

Con gli integrali si possono calcolare anche le lunghezze delle linee curve nel piano e nello spazio ed i volumi.

Gli integrali, assieme alle derivate, sono fra gli oggetti più importanti di tutta la matematica e costituiscono gli strumenti di lavoro più comuni e potenti a disposizione dello scienziato.

Fine. 

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