E-school  di  Arrigo Amadori

Sintesi

Funzioni


I numeri reali possono essere posti su di una retta orientata (su cui è stato definito un verso indicato
da una freccia) :



In questo modo abbiamo definito una relazione fra i numeri ed i punti della retta. Ad ogni numero 
reale corrisponde un punto sulla retta ed ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale.

Questa corrispondenza fra numeri e punti è di importanza capitale per il pensiero scientifico e può
essere estesa anche al piano ed allo spazio.

01 - Assi cartesiani.

Su di un piano possiamo tracciare due rette orientate perpendicolari. In questo modo ogni punto  
del piano può essere messo in relazione con una coppia di numeri, chiamate coordinate del punto :



Nell'esempio, al punto P corrisponde la coppia di numeri (2 , 1) che sono le sue coordinate (esse
sono prese mandando da P le perpendicolari elle rette x ed y e misurando rispetto ad una apposita
unità di misura le distanze delle proiezioni rispetto all'origine 0).

La prima coordinata, la x, si chiama ascissa mentre la seconda coordinata, la y, si chiama ordinata. 

Dobbiamo questa straordinaria invenzione a Cartesio (prima metà del '600) per cui gli assi così
disegnati vengono chiamati assi cartesiani e le coordinate dei punti, coordinate cartesiane. Il piano
dotato di un sistema di assi cartesiani si può chiamare semplicemente piano cartesiano.

A questo punto siamo in grado di introdurre il concetto di funzione e di darne una rappresentazione
geometrica rispetto ad un sistema di assi cartesiani.

02 - Funzioni ad una variabile.

Un caso molto semplice di funzione si ha quando c'è una corrispondenza fra due grandezze (variabili)
numeriche differenti (in verità devono valere anche altre condizioni che ometteremo per semplicità).

Una variabile, di solito indicata con x, si chiama variabile indipendente e l'altra, indicata con y, si chiama
variabile dipendente. Al variare della variabile indipendente x, la variabile dipendente y varia di conseguenza
in un modo definito dalla funzione stessa.

Simbolicamente, una funzione viene indicata con la scrittura :

      y = f(x)

dove il simbolo f(...) significa "una qualche espressione matematica contenete la variabile indipendente x".

Una funzione y = f(x) significa quindi che, dando un valore numerico qualsiasi alla variabile indipendente x e
facendo i calcoli indicati dalla f(...), si ottiene come risultato un valore della variabile dipendente y.

Facciamo alcuni esempi.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Secondo quanto detto sopra, se diamo dei valori alla x otteniamo
dei corrispondenti valori della y. Per esempio :

      .....
      con   x = -2   si ottiene   y =  -2 + 1 = -1
      con   x = -1   si ottiene   y =  -1 + 1 =  0
      con   x =  0   si ottiene   y =    0 + 1 =  1
      con   x =  1   si ottiene   y =    1 + 1 =  2
      con   x =  2   si ottiene   y =    2 + 1 =  3
      .....

Naturalmente alla x si possono dare numeri reali qualunque, anche frazioni e numeri irrazionali.

I numeri così ottenuti possono essere posti sul piano cartesiano, ponendo cioè i valori di x 
sull'asse delle ascisse ed i corrispondenti valori delle y sull'asse delle ordinate :



Quello che balza subito all'attenzione è che i punti così ottenuti formano una retta. La retta così 
ottenuta è la rappresentazione grafica della funzione y = x + 1.

Questo fatto è di fondamentale importanza e si può generalizzare nella seguente affermazione : 

      ogni funzione y = f(x) è rappresentabile sul piano cartesiano da una curva.

Come altro esempio studiamo la funzione y = x² :

      .....
      con   x = -2   si ottiene   y =  4
      con   x = -1   si ottiene   y =  1
      con   x =  0   si ottiene   y =  0
      con   x =  1   si ottiene   y =  1
      con   x =  2   si ottiene   y =  4 
      .....

per cui :



Si ottiene così una parabola.

Un altro esempio di funzione è y = x³ - 3x² +2x  il cui grafico è il seguente :



03 - Funzioni a più variabili.

Il concetto di funzione può essere esteso a più variabili indipendenti. Si possono allora costruire funzioni
z = f(x , y) dove le variabili indipendenti sono la x e la y, mentre la variabile dipendente è la z.

Il grafico di una funzione di questo tipo sarà una superficie dello spazio tridimensionale dotato di un sistema 
di assi cartesiani x, y, z. In questo modo si vengono ad associare alle funzioni a due variabili indipendenti le
superficie dello spazio.

Come esempio consideriamo la funzione z = x² + y² :



Sulla superficie che la rappresenta abbiamo indicato il punto P che si ottiene ponendo x = 1/2, y = 1/2,
e, sostituendo nella funzione, z = (1/2)² + (1/2)² = 1/4 + 1/4 = 1/2.

04 - Conclusione.

Le funzioni sono lo strumento fondamentale del lavoro dello scienziato perché le grandezze caratteristiche
dei fenomeni naturali sono legate fra loro da legami di interdipendenza. Questi legami si possono esprimere
in termini di funzioni e lo studio delle medesime ci permette di capire le leggi che regolano l'universo e tutto 
ciò che esso contiene.

Fine. 

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