Sintesi
Derivate
Una funzione y = f(x) è rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è
un tipo particolare di curva : è una curva a "pendenza" costante.
Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.
01 Pendenza.
Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la
pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.
La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una
pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :
La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo
così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.
Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 100 %,
ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45° :
Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio,
una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa :
Si noti che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 90°.
Quando l'angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita
La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.
Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima
tracciando la tangente alla curva nel punto specificato :
Nel grafico, la curva rappresenta la funzione y = f(x). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza
della retta tangente alla curva tracciata nel medesimo punto P.
Punto per punto, la pendenza in generale è diversa :
Nell' esempio, in P è positiva, in Q è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in R è negativa.
02 - Derivata.
La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.
Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le
derivate si può studiare l'andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite
non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.
La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della x.
La derivata della funzione y = f(x) è quindi una funzione della x e si indica con la scrittura y = f ' (x). Essa si chiama
anche derivata prima.
Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda y = f '' (x).
Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.
03 - Studio di funzione.
Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima
che la derivata seconda.
Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :
La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo
caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo
raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata
seconda. Essa è rappresentata in blu ed è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale,
ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.
Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile :
Nell'origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell'origine, la pendenza
è positiva e cresce via via che ci si allontana dall'origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e
cresce in valore assoluto più ci si allontana dall'origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre
in blu è rappresentata la derivata seconda.
Infine consideriamo la funzione y = x³ - 3x² +2x :
Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.
E' molto interessante notare che nei punti A e B del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi
punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di A la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In B
avviene il contrario. Il punto A si chiama punto di massimo relativo ed il punto B si chiama punto di minimo
relativo.
Come si vede dall'esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè
per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.
Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se
la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.
Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune
formule utilizzabili a questo scopo :
