E-school  di  Arrigo Amadori

Fisica

Relatività ristretta (RR) (sintesi introduttiva)


 - 01 - Campo elettromagnetico.

          Maxwell, circa a metà '800, sintetizzò la descrizione dei fenomeni elettromagnetici in sole
          4 equazioni. Da esse si deducono alcuni fatti estremamente importanti : 

            - a - I fenomeni elettrici e quelli magnetici sono le manifestazioni apparentemente diverse di una 
                    unica forza: la forza elettromagnetica che si distribuisce nello spazio come un campo
                    elettromagnetico. 
            - b - Un campo elettromagnetico si propaga nello spazio con velocità finita, c = 300.000 km/sec 
                    circa, la velocità della luce. Se nel punto A una carica elettrica subisce una accelerazione, 
                    "l'informazione" di quella modificazione viene percepita nel punto B (distante s da A) 
                    dopo un tempo finito, t = s/c. Questo avviene perchè un'onda elettromagnetica parte 
                    da A ed arriva in B nel tempo t = s/c.
            - c - Il campo elettromagnetico, quindi, si propaga attraverso onde elettromagnetiche di diversa 
                    frequenza (o lunghezza d'onda (frequenza * lunghezza d'onda = c)). 
            - d - Lo spettro elettromagnetico (in ordine crescente di frequenza od in ordine decrescente
                    di lunghezza d'onda) è composto da : onde radio lunghe, medie, corte, ultracorte, raggi 
                    infrarossi, luce (dal rosso al violetto), raggi ultravioletti, raggi X, raggi gamma. 

- 02 - Etere.

          Le equazioni di Maxwell portano alla conclusione che il campo elettromagnetico si propaga  
          attraverso onde con velocità c. Ma rispetto a quale sistema di riferimento esso si propaga 
          con tale velocità ? Pensando che un'onda elettromagnetica per oscillare avesse bisogno di 
          una sorta di mezzo (così come le onde acustiche hanno bisogno per esempio dell'aria), si 
          ipotizzò l'esistenza di una "sostanza" particolare permeante l'universo rispetto alla quale le 
          onde si propagassero con velocità c.

          Tale sostanza fu chiamata etere e, in quiete rispetto ad esso, fu ipotizzata l'esistenza di un
          sistema di riferimento inerziale assoluto, privilegiato, rispetto al quale riferire ogni altro
          sistema di riferimento.

          A causa del principio di relatività galileiana (RGal), allora, la luce (d'ora in poi spesso 
          chiameremo così ogni tipo di campo elettromagnetico) dovrebbe essere vista arrivare in
          ogni sistema di riferimento inerziale con una velocità pari a c più (o meno) la velocità del
          detto sistema di riferimento inerziale rispetto all'etere.

          Furono fatti diversi esperimenti molto accurati per rilevare queste differenze di velocità 
          della luce (fra tutti menzioniamo quello di Michelson e Morley del 1881) ma tutti non 
          rilevarono alcuna differenza.

 - 03 - Principio di costanza della velocità della luce.

           I risultati sperimentali portavano ad un assurdo dal punto di vista della RGal perchè 
           contraddicevano la regola di sommabilità delle velocità.

           Per risolvere il problema si ipotizzò che la velocità della luce fosse la stessa in ogni 
           sistema di riferimento inerziale (così come mostravano tutti gli esperimenti) e che la 
           RGal fosse valida solo per velocità piccole rispetto a c, come sono del resto le velocità 
           rilevabili nell'esperienza quotidiana.

           Si abbandonò quindi il concetto di etere e nessun fisico se ne occupò più, anche se nel
           linguaggio comune la parola è rimasta legata al gergo delle telecomunicazioni.

           Si cercarono allora nuove trasformate per esprimere le relazioni fra le coordinate ed i 
           tempi in due diversi sistema di riferimento inerziali che soddisfacessero il principio di 
           costanza di c ed avessero come caso limite, per velocità piccole rispetto a c, le 
           trasformate di Galileo.

 - 03 - Trasformate di Lorentz.

           Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali (K e K') di cui K' si muove di velocità 
           costante V rispetto a K, gli stessi utilizzati nella RGal :



           Dovendo essere c = costante, le leggi di trasformazione di spazio e tempo non 
           potranno più seguire le regole dettate dall'esperienza quotidiana. Dobbiamo 
           abbandonare i concetti di spazio e tempo come di entità assolute, separate. 
           Dobbiamo addirittura modificare il concetto stesso di simultaneità. 

          Le trasformate che soddisfano le condizioni suddette furono trovate fra '800 e
          '900 da Poincarè e da Lorentz (ma vengono universalmente attribuite a Lorentz)
          e formano la base matematica della teoria della relatività ristretta (RR).
          Esse legano matematicamente le misure di spazio e tempo relativi  a due 
          sistemi di riferimento inerziali partendo dal presupposto che la velocità della
          luce sia costante nei due sistemi. 

          Le trasformate di Lorentz sono :

                                 

           Sviluppando le trasformate di Lorentz in serie di potenze di Taylor per velocità
           v << c (v/c piccole) esse diventano identiche alle trasformate di Galileo così 
           come previsto.

           Analizzando le trasformate di Lorentz si deduce immediatamente un risultato
           fisico fondamentale. Se V = c, i denominatori si annullano. Ciò significa che  
           la velocità della luce non è fisicamente raggiungibile da nessun sistema di 
           riferimento inerziale rispetto ad un altro. Nessun corpo può raggiungere 
           la velocità della luce che rappresenta quindi un limite naturale invalicabile.

           Un altro fatto fondamentale balza all'evidenza ed esprime matematicamente 
           quanto sopra affermato concettualmente riguardo al tempo. t è diverso da t',
           ovvero il tempo viene visto scorrere nell'altro sistema in modo diverso dal proprio. 
           Questa conseguenza rivoluzionaria determina una totale diversità "filosofica" fra la 
           RGal e la RR.

 - 04 - Spazio-tempo 4-dimensionale.

           Come risulta dalle trasformate di Lorentz lo spazio ed il tempo sono 
           legati matematicamente fra loro e possono essere considerati come 
           facenti parte di una unica entità fisica, lo spazio-tempo. 

           Si può allora definire lo spazio-tempo come una varietà geometrica a 4 
           dimensioni. Un evento è in esso rappresentato dalle 4 coordinate  x, y, z, t
           prese rispetto ad un sistema di riferimento inerziale scelto a priori. Un corpo 
           che si muove nello spazio-tempo descrive in esso una linea che è chiamata 
           linea di universo.

           Due eventi diversi corrispondono a due punti diversi dello spazio-tempo
           4-dimensionale. Fra di essi si può definire un concetto di distanza in modo
           che, se due eventi sono collegati fra loro da un raggio di luce, questa distanza
           sia nulla.

           Lo spazio-tempo 4-dimensionale (detto anche spazio-tempo di Minkowski) 
           possiede quindi una struttura metrica. E' uno spazio metrico. La metrica è 
           definita dalla formula :

                            

           dove ds rappresenta la distanza fra i due eventi molto vicini P1(x1,y1,z1,t1) e 
           P2(x2,y2,z2,t2) relativi ad un dato sistema di riferimento inerziale. dt rappresenta 
           l'intervallo di tempo fra i due eventi, ovvero t2 - t1. dx, dy, dz rappresentano le 
           differenze fra le coordinate spaziali di P1 e P2 come illustrato di seguito :

.

           A1(x1,y1,z1) ed A2(x2,y2,z2)  sono i corrispondenti spaziali (dello spazio 
           ordinario 3-dimensionale) dei punti P1(x1,y1,z1,t1)  e P2(x2,y2,z2,t2) dello
           spazio-tempo 4-dimensionale..

           La distanza spaziale ordinaria dl (al quadrato) fra i due eventi si ricava applicando 
           il teorema di Pitagora ed è : 

                                

           Se i due eventi sono collegati da un raggio di luce (il raggio parte da A1 al tempo t1 
           e giunge in A2 al tempo t2) allora ds2 = 0.

           Se ds2 >0 l'intervallo si dice di tipo tempo. Se ds2 < 0 l'intervallo si dice di tipo spazio.

           La formula della metrica può essere scritta in un modo da ricordare direttamente il
           teorema di Pitagora (a parte i segni meno) :

                                

           La metrica così definita è una metrica euclidea e rappresenta uno spazio-tempo
           piatto (cioè con le usuali proprietà dello spazio euclideo della nostra esperienza
           quotidiana). Il fatto che lo spazio fisico reale non sia a metrica euclidea (piatta),
           bensì sia curvo, è il principale risultato della teoria della relatività generale.

 - 05 - Principio di relatività ristretta (RR).

           Nel 1905 Einstein pubblicò un articolo che rappresenta una delle pietre miliari
           della fisica moderna. In esso egli espose ed ordinò tutte le idee riguardo a
           spazio e tempo alla luce delle caratteristiche del campo elettromagnetico 
           organizzando tutta la vasta materia in una teoria completa, semplice e dalle
           implicazioni assolutamente innovative.

           Egli enunciò in quell'articolo il principio di RR estendendo di fatto la RGal ai
           fenomeni elettromagnetici.

           La RR, quindi, non è altro che la RGal con l'aggiunta del principio di costanza 
           della velocità della luce (che per Galileo era infinita) riformulata matematicamente
           in uno scenario quadridimensionale con il tempo assurto a dimensione propria.

           La RR si può riassumere nel fatto che le leggi della fisica devono essere 
           le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale cioè, matematicamente, 
           devono essere invarianti rispetto alle trasformate di Lorentz.

           La 2' legge della dinamica F = ma non è invariante rispetto alle trasformate 
           di Lorentz (lo è rispetto alle trasformate di Galileo).

           Le equazioni di Maxwell, ovviamente, lo sono.

 - 06 - Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi.

           Alcune conseguenze dalla RR sono del tutto contrarie al senso comune e
           fin dalla loro scoperta furono sottoposte ad innumerevoli verifiche sperimentali.

           Nonostante tale (giusto) "accanimento", a tuttoggi non vi è nessuna evidenza 
           sperimentale che rilevi una contraddizione al principio di RR ed alle trasformate 
           di Lorentz che ne sono la veste matematica. Anzi, ogni giorno esse vengono 
           verificate nel lavoro quotidiano del fisico.

           Naturalmente, col progresso scientifico, aumentando di pari passo la precisione
           degli strumenti di misura, verrà il giorno in cui anche la RR, così come ogni altra 
           teoria, dovrà essere corretta. In fisica non si può mai affermare che una teoria è
           vera in assoluto, si può solo dire che è "vera" (verificata) entro i limiti di misura e la 
           verifica o il superamento di essa dipende dall'aumentare delle conoscenze teoriche 
           e delle realizzazioni tecnologiche.

           Consideriamo i nostri soliti sistemi di riferimento inerziali (K e K'). Supponiamo 
           che in K' vi sia un segmento  rigido immobile rispetto ad esso ed adagiato sull'asse 
           delle x. La sua lunghezza rispetto a K' sia l0. Quale sarà la lunghezza l dello stesso 
           segmento rispetto a K ? Secondo il senso comune e le trasformate di Galileo (che ne 
           sono la forma matematica) la risposta sarebbe l = l0, ovvero il segmento viene visto
           della stessa lunghezza rispetto ad entrambi i sistemi di riferimento inerziali. Invece,
           semplici  calcoli applicati alle trasformate di Lorentz  portano ad un risultato 
           sorprendente. l risulta  minore di l0 secondo la relazione :

                             
            il cui grafico è :

            Da questo si deduce che solo a velocità prossime a quella della luce si ha
            una deviazione apprezzabile dal valore l0. Se la velocità di K' tende a c
            il segmento viene visto da K con una lunghezza sempre minore, tendente a 0.
            Se V = c, il segmento diventa (rispetto a K) di lunghezza nulla.

            Consideriamo ora due eventi che avvengono in un punto fisso rispetto a K' 
            ma in due istanti diversi. Consideriamo che la distanza temporale fra questi 
            due eventi sia t0. Quanto dura il medesimo intervallo di tempo visto da K ?
            Semplici calcoli a partire dalle trasformate di Lorentz portano al seguente 
            risultato:

                            

             Il grafico che visualizza la formula mostra chiaramente che a velocità
             piccole rispetto a c le durate praticamente coincidono. A velocità
             via via maggiori l'intervallo temporale viene visto da K durare sempre di più.
             Per V = c la durata (sempre vista da K) diviene infinita.



           Questi sorprendenti risultati ribadiscono il fatto che a velocità piccole rispetto
           a c le trasformate di Lorentz coincidono con le trasformate di Galileo. Solo
           a velocità altissime, prossime a quella dalla luce, avvengono le cosiddette 
           contrazioni e dilatazioni relativistiche.

           Gli intervalli spaziali in movimento vengono visti dal sistema di riferimento inerziale
           "fermo" accorciarsi. Gli intervalli temporali, invece, vengono visti allungarsi, cioè il
           cosiddetto tempo proprio che si misura in un sistema di riferimento inerziale in moto 
           viene visto allungarsi dal sistema di riferimento inerziale "fermo", ovvero l'orologio 
           che misura il tempo proprio (solidale con il sistema in movimento) viene visto 
           rallentare.

 - 07 - Paradosso dei gemelli.

           Il rallentamento degli orologi è un fenomeno relativo. Il fenomeno si può riassumere 
           affermando che K vede l'orologio in quiete su K'  rallentare mentre vede il proprio
           orologio segnare il tempo normalmente. Analogamente K'  vede rallentare l'orologio
           solidale con K (e ciò nella stessa misura) e vede il proprio segnare il tempo normalmente. 
           Questo perchè K e K' sono assolutamente equivalenti.

           Se con un esperimento si potesse  verificare che K e K' non sono equivalenti cadrebbe
           l'intera RR.

           Consideriamo allora un semplice esperimento ideale. Ci sono due gemelli (li chiameremo
           K e K'). Un giorno K' intraprende un viaggio spaziale a velocità prossima a quella della  
           luce. Supponiamo che per K' il viaggio duri un anno. Per K, invece, a causa della 
           dilatazione dei tempi (che per velocità vicine a c diventa sempre più elevata) il viaggio 
           di K' viene visto durare supponiamo dieci anni. Quando K' ritorna da K, lo vedrà 
           invecchiato di nove anni rispetto a sè stesso.

           Questo risultato potrebbe allora portare ad un paradosso, il cosiddetto paradosso dei 
           gemelli, perchè, come abbiamo affermato sopra, il ragionamento potrebbe essere 
           capovolto (K e K' sono equivalenti in quanto sistemi di riferimento inerziali) per cui, 
           alla fine del viaggio, K dovrebbe vedere K' invecchiato e nello stesso modo K' 
           dovrebbe vedere K invecchiato dello stesso numero di anni. 

           Il paradosso potrebbe essere usato (nella sua prima parte, cioè relativamente al viaggio 
           di K' rispetto a K) per constatare che K e K' non sono equivalenti, in quanto i due 
           gemelli non sono invecchiati nello stesso modo, per cui la RR verrebbe contraddetta.

           Analizzando meglio questo esperimento ideale si vede però che esso è mal posto, 
           contiene un errore fondamentale di impostazione. K e K' non possono essere 
           entrambi sistemi di riferimento inerziali, dovendo K' subire forti accelerazioni  per 
           partire e poi per tornare. Considerando K inerziale, K' non lo è. 

           Non avendo a che fare con sistemi di riferimento inerziali il paradosso dei gemelli 
           non può mettere in crisi la RR che si occupa esclusivamente di sistemi di riferimento 
           inerziali.

           Questo esperimento ideale, invece, è di competenza della teoria della relatività
           generale che si occupa appunto di sistemi di riferimento qualunque, in generale 
           accelerati.

 - 08 - Composizione delle velocità.

           Consideriamo i soliti sistemi di riferimento inerziali K e K' in moto rettilineo 
           uniforme con velocità relativa V. Supponiamo che un punto si muova rispetto 
           a K' con velocità v' e per semplicità parallela all'asse delle x. Secondo la RGal
           il punto verrà visto da K muoversi con velocità v pari alla somma V + v'. Questo
           risultato è ovviamente errato dal punto di vista della RR. 

           Con semplici calcoli sulle trasformate di Lorentz si perviene alla formula corretta :

                             

           Da essa si deduce che se v' è nulla, cioè il punto è in quiete rispetto a K',  v 
           risulta uguale V come è ovvio che sia. Aumentando v' e tendendo a c, si nota,
           invece, che v tende a c. Questo è una ulteriore conferma del fatto che c è una 
           velocità fisicamente insuperabile. Se un corpo raggiunge la velocità della luce 
           rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, sarà visto andare alla stessa 
           velocità c da qualunque altro sistema di riferimento inerziale in moto relativo
           uniforme rispetto al primo.

 - 09 - Equivalenza massa energia.

           Secondo la meccanica classica (MC) un corpo di massa m che si muove 
           con velocità v rispetto ad un sistema di riferimento inerziale possiede una 
           energia cinetica E data dalla formula :

                             

            da cui si deduce che se il corpo è in quiete (v = 0) l'energia cinetica di 
            quel corpo è nulla.

            Apportando le correzioni relativistiche alla MC si ottiene la cosiddetta 
            meccanica relativistica (MR) le cui leggi sono invarianti rispetto alle 
            trasformate di Lorentz (mentre quelle della MC lo sono rispetto alle
            trasformate di Galileo).

            L'energia di un corpo di massa m in moto con velocità v in un sistema 
            di riferimento inerziale assume in MR la forma :

                             

             Le conseguenze fisiche di questa formula sono rivoluzionarie rispetto 
             alla MC. Dalla formula si deduce che se v aumenta e diviene prossima 
             alla velocità della luce c allora l'energia del corpo tende all'infinito. Al 
             contrario, se v diventa nulla, ovvero il corpo è in quiete, l'energia 
             diventa :

                             

             Questa formula famosissima esprime un fatto fisico del tutto nuovo
             rispetto alla MC e cioè afferma che un corpo in quiete possiede una
             energia di riposo non nulla.

             La formula esprime anche un concetto "filosofico" completamente nuovo e 
             ricco di conseguenze inaspettate (rispetto alla MC) : esso afferma la 
             totale equivalenza di massa ed energia (a meno della costante moltiplicativa 
             c2). Afferma cioè che massa ed energia sono due aspetti apparentemente 
             diversi di una medesima realtà. La massa può di conseguenza trasformarsi
             in energia e viceversa e la quantità di energia che si produce trasformando
             la massa è enorme perchè m viene moltiplicato per il  numero grandissimo 
             90.000.000.000.000.000.

             Simili energie si ottengono nelle reazioni atomiche di fissione (in cui nuclei
             pesanti tipo l'uranio si rompono generando parti più leggere ed energia dal
             difetto di massa (reattori nucleari, bombe atomiche)) e di fusione (in cui 
             nuclei leggeri come per esempio il deuterio si fondono formando elio con
             trasformazione del difetto di massa in energia (stelle, bombe H)).

Fine. 

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