Fisica
Relatività ristretta (RR) (sintesi introduttiva)
- 01 - Campo elettromagnetico.
Maxwell, circa a metà '800, sintetizzò la descrizione dei fenomeni elettromagnetici in sole
4 equazioni. Da esse si deducono alcuni fatti estremamente importanti :
- a - I fenomeni elettrici e quelli magnetici sono le manifestazioni apparentemente diverse di una
unica forza: la forza elettromagnetica che si distribuisce nello spazio come un campo
elettromagnetico.
- b - Un campo elettromagnetico si propaga nello spazio con velocità finita, c = 300.000 km/sec
circa, la velocità della luce. Se nel punto A una carica elettrica subisce una accelerazione,
"l'informazione" di quella modificazione viene percepita nel punto B (distante s da A)
dopo un tempo finito, t = s/c. Questo avviene perchè un'onda elettromagnetica parte
da A ed arriva in B nel tempo t = s/c.
- c - Il campo elettromagnetico, quindi, si propaga attraverso onde elettromagnetiche di diversa
frequenza (o lunghezza d'onda (frequenza * lunghezza d'onda = c)).
- d - Lo spettro elettromagnetico (in ordine crescente di frequenza od in ordine decrescente
di lunghezza d'onda) è composto da : onde radio lunghe, medie, corte, ultracorte, raggi
infrarossi, luce (dal rosso al violetto), raggi ultravioletti, raggi X, raggi gamma.
- 02 - Etere.
Le equazioni di Maxwell portano alla conclusione che il campo elettromagnetico si propaga
attraverso onde con velocità c. Ma rispetto a quale sistema di riferimento esso si propaga
con tale velocità ? Pensando che un'onda elettromagnetica per oscillare avesse bisogno di
una sorta di mezzo (così come le onde acustiche hanno bisogno per esempio dell'aria), si
ipotizzò l'esistenza di una "sostanza" particolare permeante l'universo rispetto alla quale le
onde si propagassero con velocità c.
Tale sostanza fu chiamata etere e, in quiete rispetto ad esso, fu ipotizzata l'esistenza di un
sistema di riferimento inerziale assoluto, privilegiato, rispetto al quale riferire ogni altro
sistema di riferimento.
A causa del principio di relatività galileiana (RGal), allora, la luce (d'ora in poi spesso
chiameremo così ogni tipo di campo elettromagnetico) dovrebbe essere vista arrivare in
ogni sistema di riferimento inerziale con una velocità pari a c più (o meno) la velocità del
detto sistema di riferimento inerziale rispetto all'etere.
Furono fatti diversi esperimenti molto accurati per rilevare queste differenze di velocità
della luce (fra tutti menzioniamo quello di Michelson e Morley del 1881) ma tutti non
rilevarono alcuna differenza.
- 03 - Principio di costanza della velocità della luce.
I risultati sperimentali portavano ad un assurdo dal punto di vista della RGal perchè
contraddicevano la regola di sommabilità delle velocità.
Per risolvere il problema si ipotizzò che la velocità della luce fosse la stessa in ogni
sistema di riferimento inerziale (così come mostravano tutti gli esperimenti) e che la
RGal fosse valida solo per velocità piccole rispetto a c, come sono del resto le velocità
rilevabili nell'esperienza quotidiana.
Si abbandonò quindi il concetto di etere e nessun fisico se ne occupò più, anche se nel
linguaggio comune la parola è rimasta legata al gergo delle telecomunicazioni.
Si cercarono allora nuove trasformate per esprimere le relazioni fra le coordinate ed i
tempi in due diversi sistema di riferimento inerziali che soddisfacessero il principio di
costanza di c ed avessero come caso limite, per velocità piccole rispetto a c, le
trasformate di Galileo.
- 03 - Trasformate di Lorentz.
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali (K e K') di cui K' si muove di velocità
costante V rispetto a K, gli stessi utilizzati nella RGal :
Dovendo essere c = costante, le leggi di trasformazione di spazio e tempo non
potranno più seguire le regole dettate dall'esperienza quotidiana. Dobbiamo
abbandonare i concetti di spazio e tempo come di entità assolute, separate.
Dobbiamo addirittura modificare il concetto stesso di simultaneità.
Le trasformate che soddisfano le condizioni suddette furono trovate fra '800 e
'900 da Poincarè e da Lorentz (ma vengono universalmente attribuite a Lorentz)
e formano la base matematica della teoria della relatività ristretta (RR).
Esse legano matematicamente le misure di spazio e tempo relativi a due
sistemi di riferimento inerziali partendo dal presupposto che la velocità della
luce sia costante nei due sistemi.
Le trasformate di Lorentz sono :
Sviluppando le trasformate di Lorentz in serie di potenze di Taylor per velocità
v << c (v/c piccole) esse diventano identiche alle trasformate di Galileo così
come previsto.
Analizzando le trasformate di Lorentz si deduce immediatamente un risultato
fisico fondamentale. Se V = c, i denominatori si annullano. Ciò significa che
la velocità della luce non è fisicamente raggiungibile da nessun sistema di
riferimento inerziale rispetto ad un altro. Nessun corpo può raggiungere
la velocità della luce che rappresenta quindi un limite naturale invalicabile.
Un altro fatto fondamentale balza all'evidenza ed esprime matematicamente
quanto sopra affermato concettualmente riguardo al tempo. t è diverso da t',
ovvero il tempo viene visto scorrere nell'altro sistema in modo diverso dal proprio.
Questa conseguenza rivoluzionaria determina una totale diversità "filosofica" fra la
RGal e la RR.
- 04 - Spazio-tempo 4-dimensionale.
Come risulta dalle trasformate di Lorentz lo spazio ed il tempo sono
legati matematicamente fra loro e possono essere considerati come
facenti parte di una unica entità fisica, lo spazio-tempo.
Si può allora definire lo spazio-tempo come una varietà geometrica a 4
dimensioni. Un evento è in esso rappresentato dalle 4 coordinate x, y, z, t
prese rispetto ad un sistema di riferimento inerziale scelto a priori. Un corpo
che si muove nello spazio-tempo descrive in esso una linea che è chiamata
linea di universo.
Due eventi diversi corrispondono a due punti diversi dello spazio-tempo
4-dimensionale. Fra di essi si può definire un concetto di distanza in modo
che, se due eventi sono collegati fra loro da un raggio di luce, questa distanza
sia nulla.
Lo spazio-tempo 4-dimensionale (detto anche spazio-tempo di Minkowski)
possiede quindi una struttura metrica. E' uno spazio metrico. La metrica è
definita dalla formula :
dove ds rappresenta la distanza fra i due eventi molto vicini P1(x1,y1,z1,t1) e
P2(x2,y2,z2,t2) relativi ad un dato sistema di riferimento inerziale. dt rappresenta
l'intervallo di tempo fra i due eventi, ovvero t2 - t1. dx, dy, dz rappresentano le
differenze fra le coordinate spaziali di P1 e P2 come illustrato di seguito :
.A1(x1,y1,z1) ed A2(x2,y2,z2) sono i corrispondenti spaziali (dello spazio
ordinario 3-dimensionale) dei punti P1(x1,y1,z1,t1) e P2(x2,y2,z2,t2) dello
spazio-tempo 4-dimensionale..
La distanza spaziale ordinaria dl (al quadrato) fra i due eventi si ricava applicando
il teorema di Pitagora ed è :
Se i due eventi sono collegati da un raggio di luce (il raggio parte da A1 al tempo t1
e giunge in A2 al tempo t2) allora ds2 = 0.
Se ds2 >0 l'intervallo si dice di tipo tempo. Se ds2 < 0 l'intervallo si dice di tipo spazio.
La formula della metrica può essere scritta in un modo da ricordare direttamente il
teorema di Pitagora (a parte i segni meno) :
La metrica così definita è una metrica euclidea e rappresenta uno spazio-tempo
piatto (cioè con le usuali proprietà dello spazio euclideo della nostra esperienza
quotidiana). Il fatto che lo spazio fisico reale non sia a metrica euclidea (piatta),
bensì sia curvo, è il principale risultato della teoria della relatività generale.
- 05 - Principio di relatività ristretta (RR).
Nel 1905 Einstein pubblicò un articolo che rappresenta una delle pietre miliari
della fisica moderna. In esso egli espose ed ordinò tutte le idee riguardo a
spazio e tempo alla luce delle caratteristiche del campo elettromagnetico
organizzando tutta la vasta materia in una teoria completa, semplice e dalle
implicazioni assolutamente innovative.
Egli enunciò in quell'articolo il principio di RR estendendo di fatto la RGal ai
fenomeni elettromagnetici.
La RR, quindi, non è altro che la RGal con l'aggiunta del principio di costanza
della velocità della luce (che per Galileo era infinita) riformulata matematicamente
in uno scenario quadridimensionale con il tempo assurto a dimensione propria.
La RR si può riassumere nel fatto che le leggi della fisica devono essere
le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale cioè, matematicamente,
devono essere invarianti rispetto alle trasformate di Lorentz.
La 2' legge della dinamica F = ma non è invariante rispetto alle trasformate
di Lorentz (lo è rispetto alle trasformate di Galileo).
Le equazioni di Maxwell, ovviamente, lo sono.
- 06 - Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi.
Alcune conseguenze dalla RR sono del tutto contrarie al senso comune e
fin dalla loro scoperta furono sottoposte ad innumerevoli verifiche sperimentali.
Nonostante tale (giusto) "accanimento", a tuttoggi non vi è nessuna evidenza
sperimentale che rilevi una contraddizione al principio di RR ed alle trasformate
di Lorentz che ne sono la veste matematica. Anzi, ogni giorno esse vengono
verificate nel lavoro quotidiano del fisico.
Naturalmente, col progresso scientifico, aumentando di pari passo la precisione
degli strumenti di misura, verrà il giorno in cui anche la RR, così come ogni altra
teoria, dovrà essere corretta. In fisica non si può mai affermare che una teoria è
vera in assoluto, si può solo dire che è "vera" (verificata) entro i limiti di misura e la
verifica o il superamento di essa dipende dall'aumentare delle conoscenze teoriche
e delle realizzazioni tecnologiche.
Consideriamo i nostri soliti sistemi di riferimento inerziali (K e K'). Supponiamo
che in K' vi sia un segmento rigido immobile rispetto ad esso ed adagiato sull'asse
delle x. La sua lunghezza rispetto a K' sia l0. Quale sarà la lunghezza l dello stesso
segmento rispetto a K ? Secondo il senso comune e le trasformate di Galileo (che ne
sono la forma matematica) la risposta sarebbe l = l0, ovvero il segmento viene visto
della stessa lunghezza rispetto ad entrambi i sistemi di riferimento inerziali. Invece,
semplici calcoli applicati alle trasformate di Lorentz portano ad un risultato
sorprendente. l risulta minore di l0 secondo la relazione :
il cui grafico è :
Da questo si deduce che solo a velocità prossime a quella della luce si ha
una deviazione apprezzabile dal valore l0. Se la velocità di K' tende a c
il segmento viene visto da K con una lunghezza sempre minore, tendente a 0.
Se V = c, il segmento diventa (rispetto a K) di lunghezza nulla.
Consideriamo ora due eventi che avvengono in un punto fisso rispetto a K'
ma in due istanti diversi. Consideriamo che la distanza temporale fra questi
due eventi sia t0. Quanto dura il medesimo intervallo di tempo visto da K ?
Semplici calcoli a partire dalle trasformate di Lorentz portano al seguente
risultato:
Il grafico che visualizza la formula mostra chiaramente che a velocità
piccole rispetto a c le durate praticamente coincidono. A velocità
via via maggiori l'intervallo temporale viene visto da K durare sempre di più.
Per V = c la durata (sempre vista da K) diviene infinita.
Questi sorprendenti risultati ribadiscono il fatto che a velocità piccole rispetto
a c le trasformate di Lorentz coincidono con le trasformate di Galileo. Solo
a velocità altissime, prossime a quella dalla luce, avvengono le cosiddette
contrazioni e dilatazioni relativistiche.
Gli intervalli spaziali in movimento vengono visti dal sistema di riferimento inerziale
"fermo" accorciarsi. Gli intervalli temporali, invece, vengono visti allungarsi, cioè il
cosiddetto tempo proprio che si misura in un sistema di riferimento inerziale in moto
viene visto allungarsi dal sistema di riferimento inerziale "fermo", ovvero l'orologio
che misura il tempo proprio (solidale con il sistema in movimento) viene visto
rallentare.
- 07 - Paradosso dei gemelli.
Il rallentamento degli orologi è un fenomeno relativo. Il fenomeno si può riassumere
affermando che K vede l'orologio in quiete su K' rallentare mentre vede il proprio
orologio segnare il tempo normalmente. Analogamente K' vede rallentare l'orologio
solidale con K (e ciò nella stessa misura) e vede il proprio segnare il tempo normalmente.
Questo perchè K e K' sono assolutamente equivalenti.
Se con un esperimento si potesse verificare che K e K' non sono equivalenti cadrebbe
l'intera RR.
Consideriamo allora un semplice esperimento ideale. Ci sono due gemelli (li chiameremo
K e K'). Un giorno K' intraprende un viaggio spaziale a velocità prossima a quella della
luce. Supponiamo che per K' il viaggio duri un anno. Per K, invece, a causa della
dilatazione dei tempi (che per velocità vicine a c diventa sempre più elevata) il viaggio
di K' viene visto durare supponiamo dieci anni. Quando K' ritorna da K, lo vedrà
invecchiato di nove anni rispetto a sè stesso.
Questo risultato potrebbe allora portare ad un paradosso, il cosiddetto paradosso dei
gemelli, perchè, come abbiamo affermato sopra, il ragionamento potrebbe essere
capovolto (K e K' sono equivalenti in quanto sistemi di riferimento inerziali) per cui,
alla fine del viaggio, K dovrebbe vedere K' invecchiato e nello stesso modo K'
dovrebbe vedere K invecchiato dello stesso numero di anni.
Il paradosso potrebbe essere usato (nella sua prima parte, cioè relativamente al viaggio
di K' rispetto a K) per constatare che K e K' non sono equivalenti, in quanto i due
gemelli non sono invecchiati nello stesso modo, per cui la RR verrebbe contraddetta.
Analizzando meglio questo esperimento ideale si vede però che esso è mal posto,
contiene un errore fondamentale di impostazione. K e K' non possono essere
entrambi sistemi di riferimento inerziali, dovendo K' subire forti accelerazioni per
partire e poi per tornare. Considerando K inerziale, K' non lo è.
Non avendo a che fare con sistemi di riferimento inerziali il paradosso dei gemelli
non può mettere in crisi la RR che si occupa esclusivamente di sistemi di riferimento
inerziali.
Questo esperimento ideale, invece, è di competenza della teoria della relatività
generale che si occupa appunto di sistemi di riferimento qualunque, in generale
accelerati.
- 08 - Composizione delle velocità.
Consideriamo i soliti sistemi di riferimento inerziali K e K' in moto rettilineo
uniforme con velocità relativa V. Supponiamo che un punto si muova rispetto
a K' con velocità v' e per semplicità parallela all'asse delle x. Secondo la RGal
il punto verrà visto da K muoversi con velocità v pari alla somma V + v'. Questo
risultato è ovviamente errato dal punto di vista della RR.
Con semplici calcoli sulle trasformate di Lorentz si perviene alla formula corretta :
Da essa si deduce che se v' è nulla, cioè il punto è in quiete rispetto a K', v
risulta uguale V come è ovvio che sia. Aumentando v' e tendendo a c, si nota,
invece, che v tende a c. Questo è una ulteriore conferma del fatto che c è una
velocità fisicamente insuperabile. Se un corpo raggiunge la velocità della luce
rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, sarà visto andare alla stessa
velocità c da qualunque altro sistema di riferimento inerziale in moto relativo
uniforme rispetto al primo.
- 09 - Equivalenza massa energia.
Secondo la meccanica classica (MC) un corpo di massa m che si muove
con velocità v rispetto ad un sistema di riferimento inerziale possiede una
energia cinetica E data dalla formula :
da cui si deduce che se il corpo è in quiete (v = 0) l'energia cinetica di
quel corpo è nulla.
Apportando le correzioni relativistiche alla MC si ottiene la cosiddetta
meccanica relativistica (MR) le cui leggi sono invarianti rispetto alle
trasformate di Lorentz (mentre quelle della MC lo sono rispetto alle
trasformate di Galileo).
L'energia di un corpo di massa m in moto con velocità v in un sistema
di riferimento inerziale assume in MR la forma :
Le conseguenze fisiche di questa formula sono rivoluzionarie rispetto
alla MC. Dalla formula si deduce che se v aumenta e diviene prossima
alla velocità della luce c allora l'energia del corpo tende all'infinito. Al
contrario, se v diventa nulla, ovvero il corpo è in quiete, l'energia
diventa :
Questa formula famosissima esprime un fatto fisico del tutto nuovo
rispetto alla MC e cioè afferma che un corpo in quiete possiede una
energia di riposo non nulla.
La formula esprime anche un concetto "filosofico" completamente nuovo e
ricco di conseguenze inaspettate (rispetto alla MC) : esso afferma la
totale equivalenza di massa ed energia (a meno della costante moltiplicativa
c2). Afferma cioè che massa ed energia sono due aspetti apparentemente
diversi di una medesima realtà. La massa può di conseguenza trasformarsi
in energia e viceversa e la quantità di energia che si produce trasformando
la massa è enorme perchè m viene moltiplicato per il numero grandissimo
90.000.000.000.000.000.
Simili energie si ottengono nelle reazioni atomiche di fissione (in cui nuclei
pesanti tipo l'uranio si rompono generando parti più leggere ed energia dal
difetto di massa (reattori nucleari, bombe atomiche)) e di fusione (in cui
nuclei leggeri come per esempio il deuterio si fondono formando elio con
trasformazione del difetto di massa in energia (stelle, bombe H)).
Fine.
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