Fisica
Relatività generale (RG) (sintesi introduttiva)
- 01 - Principio di equivalenza.
Completata la teoria della relatività ristretta (RR) che riguardava essenzialmente
i sistemi di riferimento inerziali ed il campo elettromagnetico, Einstein si dedicò
allo studio del campo gravitazionale, l'altra interazione nota a quei tempi.
La teoria della gravitazione ancora "in voga" era la vecchia e ben collaudata teoria
di Newton riassunta dalla formula :
La teoria della gravitazione universale di Newton descriveva i fenomeni gravitazionali
con un ottimo grado di precisione ed aveva permesso enormi progressi in astronomia.
Ancora oggi la teoria di Newton, grazie anche alla sua semplicità, viene usata per
descrivere i fenomeni astronomici nel nostro sistema solare (a parte una eccezione
di cui parleremo in seguito) e molto oltre. Tutta l'astronautica poi ne è una continua
applicazione.
Newton formulò anche un modello di universo che rappresenta il primo modello
cosmologico su basi scientifiche della storia dell'umanità. L'universo di Newton è
infinito ed eterno, popolato di stelle in esso distribuite uniformemente, immerso in
uno spazio assoluto e dotato di un tempo assoluto.
Dal punto di vista teorico, però, la teoria gravitazionale di Newton ed il relativo
modello cosmologico presentavano alcuni problemi di fondo :
- a - il modello cosmologico di Newton porta ad alcuni paradossi fra cui il più
eclatante è che la notte non potrebbe essere buia, ma dovrebbe essere
illuminata (addirittura di luminosità infinita), essendo le stelle in numero
infinito ed esistenti da un tempo infinito.
- b - nella teoria di Newton la forza gravitazionale agisce istantaneamente (nella
formula di Newton non vi è traccia del tempo) anche a distanze astronomiche.
- c - essendo la teoria di Newton universale, da essa si dovrebbe in qualche modo
dedurre il principio d'inerzia in quanto la distribuzione di tutti i corpi nell'universo
dovrebbe influenzare il moto di un singolo corpo.
- d - all'interno della teoria della gravitazione di Newton non vi è alcuna considerazione
del fatto assolutamente singolare che i corpi soggetti a gravità cadono tutti con
la stessa accelerazione indipendentemente dalla massa. Un caso così singolare
non può essere una pura casualità e dovrebbe avere un ruolo importante nella
. teoria della gravitazione.
Di questi punti il quarto risulta il più problematico e, di conseguenza, stimolante per
il fisico teorico.
Già Galileo aveva notato che i corpi cadono con uguale accelerazione e aveva
effettuato una serie di misure ed esperimenti a riguardo. Newton stesso aveva
poi studiato il fenomeno col suo famoso tubo sotto vuoto in cui "incredibilmente"
(questo fatto stupisce i non "addetti ai lavori" anche oggi) corpi di massa diversa
cadevano nello stesso modo.
Matematicamente il fenomeno si spiega assumendo che la massa gravitazionale
è uguale alla massa inerziale. La massa gravitazionale è la massa con la quale
i corpi si attraggono gravitazionalmente, come descritto nella formula di Newtorn.
La massa inerziale è il coefficiente di proporzionalità fra la forza che agisce su un
corpo e l'accelerazione che esso subisce.
Infatti, considerando due corpi di massa gravitazionale M ed m posti ad una
distanza R :
fra essi agisce la forza gravitazionale F = GMm/R2. Se la massa gravitazionale m è
uguale alla massa inerziale del corpo medesimo, su di esso la forza F imprime una
accelerazione a = F/m. Sostituendo F e semplificando, si ottiene l'accelerazione :
L'accelerazione di m in un punto dato, quindi, dipende solo da G, da M e dalla distanza
fra i due corpi al quadrato. Essendo G, M costanti ed R dato, qualunque valore abbia la
massa m, l'accelerazione non cambia.
Sulla superficie terrestre (M è la massa della terra, m la massa di un corpo qualunque
che cade, R il raggio terrestre (lo spazio percorso dal corpo che cade è trascurabile
se piccolo rispetto ad R (R è circa 6300 km ))), l'accelerazione gravitazionale con cui
tutti i corpi cadono è pari a g = 9,8 m/sec2 (indipendentemente dalla massa del corpo
che cade).
Effettivamente su di un corpo che cade sulla superficie terrestre agiscono altre forze
oltre la forza peso (forza gravitazionale). Per esempio l'attrito dell'aria è quella che agisce
maggiormente e dipendo dalla forma del corpo e dalla sua velocità (dopo un certo tempo,
la velocità di un corpo che cade nell'atmosfera terrestre diventa addirittura costante (legge
di Stokes)). Altre forze dipendono dal fatto che la terra non è un sistema inerziale, in quanto
ruotante (forze centrifughe e di Coriolis). Queste forze "di disturbo", comunque, possono
essere rese piccole con opportuni accorgimenti o possono essere eliminate con considerazioni
matematiche per cui è possibile verificare sperimentalmente con altissima precisione quanto
precedentemente affermato.
L'uguaglianza fra massa inerziale e massa gravitazionale va sotto il nome di principio
di equivalenza ed è un dato di fatto verificato da moltissimi esperimenti e tuttoggi
considerato valido.
Questo fenomeno è tipico solo della forza gravitazionale. Le altre forze
conosciute contengono una distinzione netta fra massa inerziale e massa
"interazionale". Per esempio una carica elettrica con massa m e carica q, se
immersa in un campo elettrico, subisce in un punto dato un'accelerazione
proporzionale a q/m (secondo la legge di Coulomb combinata con la 2' legge
della dinamica). Cambiando q oppure m l'accelerazione cambia di conseguenza.
La gravità, grazie al principio di equivalenza, è una forza "diversa" dalle altre
e per questo sembra avere un ruolo proprio assolutamente particolare nella
natura.
- 02 - Principio di relatività generale (RG).
Fra tutti i sistemi di riferimento, quelli accelerati (non in moto rettilineo uniforme
oppure ruotanti rispetto ad un sistema inerziale (quindi essi stessi non inerziali))
hanno una particolarità fondamentale. In essi i corpi non soggetti a forze reali (che
per il principio d'inerzia si muoverebbero di moto rettilineo uniforme se il sistema di
riferimento fosse inerziale) vengono visti accelerare e quindi, siccome per il secondo
principio della dinamica l'accelerazione è proporzionale alla forza, sembra che su
di essi agiscano delle forze. Siccome queste forze non sono reali (prodotte da una
qualche interazione), esse vengono chiamate forze apparenti. Dette forze non sono
quindi prodotte da una qualche interazione, ma sono prodotte dal semplice fatto che il
sistema di riferimento è accelerato.
Fra i sistemi di riferimento accelerati, quelli ruotanti e quelli uniformemente accelerati
(rispetto ad un sistema di riferimento inerziale) sono particolarmente interessanti.
- a - sistema ruotante : rispetto ad un sistema ruotante (uniformemente) i corpi
non soggetti a forze reali vengono visti ruotare di moto circolare uniforme
con direzione opposta a quella della rotazione del sistema. Per verificare ciò,
basta ruotare su sè stessi stando in piedi e si vedranno gli oggetti attorno a sè
ruotare in senso opposto. Se poi i corpi sono già dotati di moto, o subiscono
l'azione di forze reali, essi saranno visti muoversi in modo assai complicato.
Per esempio, ritornando al caso dell'uomo che ruota su sè stesso, i corpi
che cadono, se la rotazione è abbastanza veloce, verranno visti compiere
complicate spirali. Un altro esempio è quello della giostra. Da essa il mondo
appare veramente complicato !
- b- sistema uniformemente accelerato : rispetto ad esso, i corpi non soggetti a
forze reali vengono visti accelerare di accelerazione costante, la stessa del
sistema di riferimento, ma con verso opposto.
La caratteristica principale delle forze apparenti è che le accelerazioni prodotte da queste
forze sono indipendenti dalle masse dei corpi che le subiscono. Questo è un fatto di estrema
importanza. Analizzando questa proprietà dei sistemi di riferimento accelerati Einstein ebbe
l'intuizione fondamentale che è alla base della RG, per molti la più bella, elegante e potente
teoria che mai l'uomo abbia creato.
Consideriamo ora un esperimento ideale della massima importanza. Supponiamo
che degli astronauti stiano navigando nello spazio in una navicella spaziale particolare :
essi hanno solo la possibilità di fare esperimenti di fisica sugli oggetti al suo interno e
non hanno alcuna percezione di ciò che avviene all'esterno.
Supponiamo che ad un certo momento essi notino che tutti i corpi all'interno della
navicella subiscano una medesima accelerazione costante in valore e direzione,
diciamo verso il pavimento dell'astronave.
Orbene, essi non potranno mai affermare con nessun esperimento fatto all'interno
della navicella che le accelerazioni che misurano siano causate dai razzi della
navicella che la stanno facendo accelerare oppure da un campo gravitazionale
esterno. Essi non potranno mai affermare, quindi, di essere in un sistema di riferimento
accelerato oppure di essere immersi in un campo gravitazionale uniforme (come sulla
superficie terrestre).
Questo perchè, per il principio di equivalenza, in un campo gravitazionale tutti i corpi
subiscono la stessa accelerazione e la stessa cosa accade anche in un sistema di riferimento
accelerato in cui i corpi non soggetti a forze reali subiscono la stessa accelerazione.
La conseguenza di questo esperimento ideale è la base della RG ed è riassumibile
nell'affermazione :
un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale
(almeno localmente).
Ciò è una conseguenza diretta del principio di equivalenza fra massa inerziale e massa
gravitazionale. E' un altro modo di esprimere il principio di equivalenza.
Se un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale,
potremmo descrivere il campo stesso come uno spazio-tempo modificato, incurvato,
dalle masse che generano il campo. Questo perchè in un sistema accelerato i corpi
vengono tutti accelerati allo stesso modo per cui lo spazio-tempo relativo al detto
sistema sembra in qualche modo modificato rispetto allo spazio-tempo dei sistemi
inerziali (lo spazio piatto di Minkowski). I corpi vengono visti percorrere traiettorie
indipendenti dalla loro massa (supponendo la loro massa piccola, in modo da non
perturbare le masse che creano il campo gravitazionale, e quindi il campo stesso).
Questo è il concetto che sta alla base della RG e ne costituisce l'impianto matematico.
Le masse generano un campo gravitazionale incurvando lo spazio-tempo. I fenomeni
avverranno di conseguenza in quello spazio-tempo curvo. Lo spazio-tempo incurvato
dalle masse che creano il campo gravitazionale rappresenta lo scenario, il "palcoscenico"
in cui avvengono i fenomeni fisici. Il campo gravitazionale determina la geometria in cui
avvengono i fenomeni.
In uno spazio-tempo incurvato si possono scegliere infiniti sistemi di riferimento che
seguono la curvatura dello spazio-tempo rappresentati dalle corrispondenti coordinate
curvilinee. Ciascun sistema di riferimento (se ha significato fisico, per esempio se in esso
è soddisfatto il principio di consequenzialità fra causa ed effetto, ovvero il tempo scorre in
avanti) avrà la stessa "dignità" fisica. In essi le leggi della fisica debbono essere le stesse.
Le leggi della fisica devono essere, di conseguenza, invarianti rispetto ad ogni possibile
trasformazione di coordinate spaziotemporali (non solo quelle di Lorentz che valgono
solo per i sistemi di riferimento inerziali) all'interno di quello spazio-tempo.
Quanto affermato è la logica estensione del principio di RR in presenza di campi gravitazionali
e va sotto il nome di principio di Relatività Generale RG (1916).
- 03 - Spazio-tempo curvo.
In assenza di campo gravitazionale, lo spazio-tempo non è curvo (è lo spazio piatto-tempo
di Minkowski), in esso possono essere scelti infiniti sistemi di riferimento inerziali e fra di
essi valgono la RR e le trasformate di Lorentz.
Un generico spazio curvo ha una proprietà molto importante che lo raccorda, per così
dire, al più familiare spazio piatto euclideo. Per quanto esso possa essere incurvato, è
sempre possibile considerarne una porzione nella quale esso sia praticamente piatto.
Si può capire meglio il concetto considerando la superficie terrestre. Essa è uno spazio
(varietà) bidimensionale curvo in cui sono definibili coordinate curvilineee quali la latitudine
e la longitudine. In grande scala la curvatura della superficie terrestre è ineliminabile e gli
effetti di ciò sono ben visibili a tutti. Per un muratore che sta costruendo una casa, invece,
la superficie terrestre è piatta ed egli non si pone neppure il problema.
In ogni spazio-tempo curvo è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee
rispetto alle quali lo spazio-tempo è localmente piatto ed inerziale (spazio-tempo di Minkowski).
Per fare questo è sufficiente immaginare un corpo che cade liberamente in un campo gravitazionale.
Rispetto a questo corpo, gli altri corpi liberi che cadono con lui, per un tempo limitato, appaiono
soddisfare la legge d'inerzia. Quelli fermi permangono fermi, quelli in moto uniforme permangono
in tale moto. Rispetto a quel sistema di riferimento in caduta per un breve tempo, lo spazio-tempo
è quello piatto di Minkowski della RR. Hanno esperienza di ciò gli astronauti quando sono
parcheggiati in orbite terrestri stazionarie (in effetti è come se cadessero liberamente). All'interno
delle loro navicelle essi esperimentano la gravità zero. Qui sulla terra è possibile verificare quanto
detto per breve tempo quando, per esempio, un aereo prende un vuoto d'aria o in certi giochi
al lunapark.
Il fatto che lo spazio-tempo sia incurvato dalle masse che vi creano il campo gravitazionale
è un concetto al di fuori dell'esperienza comune. In uno spazio-tempo curvo non valgono le
regole e le proprietà della geometria euclidea, che è la geometria della nostra vita quotidiana.
Per chiarire meglio questo concetto consideriamo un sistema di riferimento inerziale K
ed un sistema di riferimento K' non inerziale in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo
anche una circonferenza solidale con K :
Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è pigreco. Rispetto
a K' che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni
piccolo segmento della circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità v.
In un certo istante ogni piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto
contrarsi rispetto a K' secondo la legge della contrazione di Lorentz per cui il rapporto
fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da pigreco (il diametro non subisce
la contrazione di Lorentz perchè non si muove rispetto a K' nel senso della sua lunghezza).
Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento
accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea.
Poichè un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento accelerato, lo
spazio-tempo viene incurvato da un campo gravitazionale.
I presupposti su cui si basa la RG ci costringono ad impostare ogni problema relativo al
campo gravitazionale come fosse un problema di geometria non euclidea. Il moto dei
corpi in un campo gravitazionale, quindi, si riduce ad un problema di geometria. Il campo
gravitazionale stesso induce nello spazio-tempo euclideo una deformazione trasformandolo
in uno spazio-tempo non euclideo.
L'apparato matematico della RG è molto complesso e si basa sul calcolo differenziale
assoluto (detto anche calcolo tensoriale) iniziato a partire dall' 800 dal grande
matematico Gauss, sviluppato da Riemann e portato a compimento dal romagnolo
Ricci-curbastro e dal suo discepolo Levi-civita fra '800 e '900.
Il calcolo tensoriale descrive le proprietà delle varietà (spazi) curve non euclidee
ed è interessante notare che questo calcolo fu sviluppato ben prima della RG a
dimostrazione che spesso la pura ricerca teorico-astratta precede le applicazioni
fisiche delle stesse.
Il calcolo tensoriale si basa sul principio scoperto da Gauss (geometria intrinseca) che
per studiare le proprietà di una varietà n-dimensionale basta definire in essa un sistema
di coordinate curvilinee e riferire ad esse ogni "ragionamento", ogni considerazione sulla
varietà stessa. Non occorre quindi vedere la varietà "da fuori", come immersa in
uno spazio euclideo ad un numero maggiore di dimensioni (matematicamente, una
varietà n-dimensionale può sempre essere considerata immersa in uno spazio euclideo a
n(n + 1)/2 dimensioni, per cui, per esempio, lo spazio-tempo 4-dimensionale può essere
immerso in uno spazio euclideo a 10 dimensioni).
Il concetto si comprende meglio con l'esempio della superficie sferica (varietà a 2
dimensioni) immersa nello spazio euclideo ordinario (a 3 dimensioni). Le proprietà della
superficie sferica possono essere studiate guardandole dallo spazio ordinario, ma possono
essere ugualmente descritte a partire dall'usuale sistema di coordinate curvilinee definite in
essa (latitudine e longitudine). Le persone che tracciano le rotte aeree e navali conoscono
bene questo principio. L'unico problema di questa impostazione è la difficoltà matematica.
Per descrivere le proprietà di una varietà non euclidea dal suo interno occorre una matematica
molto complessa.
Descriviamo ora l'impostazione matematica della RG senza nessuna pretesa di completezza,
enunciandone le formule principali e limitandoci solo a spiegarne concettualmente il
significato. Allo scopo di capire le basi fisiche della RG ciò è sufficiente. Il lettore può
approfondire il calcolo tensoriale alla pagina di Matematica, Calcolo differenziale assoluto.
Consideriamo la varietà 4-dimensionale che descrive lo spazio-tempo in cui
è presente un campo gravitazionale. In essa sia definito un sistema di coordinate
curvilinee. Ad ogni punto della varietà si associano 4 numeri :
che ne rappresentano le coordinate. Si noti che le coordinate vengono indicate
con gli indici in alto che non significano assolutamente elevamento a potenza.
x0 rappresenta la coordinata temporale, x1, x2, x3 le coordinate spaziali. Essendo
il sistema di coordinate prescelto del tutto arbitrario, il tempo viene misurato da un
orologio arbitrario e lo spazio da coordinate spaziali arbitrarie (angoli, curve ecc.).
Qualunque modo è accettabile purchè le coordinate ottenute determinino univocamente
il punto sulla varietà e siano linee continue e senza "spigoli" . La figura seguente
mostra un esempio per il caso di una varietà 2-dimensionale (superficie ordinaria)
immersa nello spazio euclideo ordinario. Un punto sulla varietà è identificato dalle
due coordinate curvilinee che lo intercettano :
Le varietà 4-dimensionali, purtroppo, non possono essere visualizzate ma
le loro proprietà sono le stesse delle varietà 2-dimensionali per cui, qualora
necessario, faremo ricorso a queste ultime come modello esplicativo.
Consideriamo 2 punti vicinissimi sulla varietà. La definizione della loro distanza
è alla base di tutto il calcolo tensoriale e tramite essa si possono dedurre tutte le
proprietà metriche della varietà. Sempre nell'esempio bidimensionale :
La distanza fra i due punti viene indicata con ds ed il suo valore è dato da una
formula che diventa il teorema di Pitagora se lo spazio è piatto e le coordinate
sono quelle cartesiane. La formula della distanza (al quadrato) di due punti
vicinissimi sulla varietà è :
ds è la distanza fra i due punti vicinissimi. g(i,k) (lo indicheremo così nel testo)
è il cosiddetto tensore metrico fondamentale. dxi e dxk sono le differenze
fra i valori delle coordinate dei due punti in questione (i e k stanno per 0, 1,
2, 3 rispettivamente). Nelle formule del calcolo tensoriale si utilizza la
convenzione di Einstein secondo la quale si devono fare le somme sugli
indici ripetuti senza che ciò sia indicato esplicitamente. La formula estesa
sarebbe allora :
Il tensore metrico fondamentale g(i,k) è alla base del calcolo tensoriale. Quando
esso è conosciuto, sono conosciute tutte le proprietà metriche della varietà. Lo
scopo della RG è quindi quello di determinare g(i,k) date la masse che generano
il campo gravitazionale. Il tensore g(i,k) può essere considerato come il campo
gravitazionale stesso (d'ora in poi g(i,k) e campo gravitazionale verranno considerati
sinonimi). Una volta conosciuto g(i,k) si possono anche determinare le equazioni del
moto dei corpi che si muovono nella varietà .
g(i,k) può essere rappresentato sotto forma di matrice :
ed ha la proprietà di essere un tensore simmetrico, ovvero g(i,k) = g(k,i). Per questa
proprietà gli elementi diversi del tensore sono 10 su 16.
Nel caso di una varietà 4-dimensionale di Minkowski (assenza di campo gravitazionale,
ovvero spazio-tempo piatto), la distanza fra due punti si riduce a :
ed il tensore metrico g(i,k) prende la forma :
Ricordiamo che in questo caso dx0 = cdt.
- 03 - Distanze ed intervalli di tempo.
In una varietà possiamo scegliere un sistema di coordinate curvilinee del tutto arbitrario.
E' il tensore metrico g(i,k) che conterrà, si può dire, l' "informazione" della scelta fatta
e, contemporaneamente, delle caratteristiche metriche della varietà che non dipendono
dal sistema di coordinate, come ad esempio la curvatura.
Quanto detto spiega la ragione della grande complessità del calcolo tensoriale.
Quando si applica il calcolo tensoriale alla fisica, sorge un altro grosso problema. Come sono
legate le grandezze fisiche osservabili (intervalli di spazio e tempo) alla scelta arbitraria di un
sistema di coordinate dentro lo spazio-tempo curvo ?
Il problema si riduce alla definizione di un intervallo di tempo, una lunghezza e la possibilità di
sincronizzare gli orologi :
- 1 - tempo proprio : considerando che localmente si può sempre scegliere un sistema
di riferimento inerziale, chiamiamo tempo proprio quello visto scorrere in un tale
sistema di riferimento. Rispetto alla coordinata temporale x0, chiamiamo il tempo
proprio con tau. Consideriamo un punto fisso dello spazio ed un intervallo infinitesimo
di tempo proprio che scorre in esso. Esso è legato al corrispondente intervallo di tempo
rispetto alla coordinata temporale x0 dalla formula :
Le durate di tempo proprio, quindi, cambiano punto per punto e anche nel tempo,
essendo in funzione di g00, che dipende in generale da tutte le coordinate, anche
quella temporale. Se g00 fosse uguale ad 1, il tempo proprio sarebbe identico al
tempo come visto rispetto alla coordinata temporale x0. Nello spazio-tempo piatto
ciò è, ovviamente, sempre vero. Il tempo proprio è misurabile fisicamente da un
orologio che non risenta del campo gravitazionale, per esempio un orologio atomico.
- 2 - intervallo spaziale : se lo spazio-tempo fosse piatto, si potrebbe calcolare la lunghezza
di un intervallo spaziale semplicemente considerando la distanza fra due punti spaziali
diversi allo stesso istante. Ciò in RG non è possibile perchè in due punti spaziali diversi
il tempo proprio scorre diversamente, come abbiamo precedentemente mostrato. Non
potremmo considerare il tempo visto dalla coordinata x0, perchè è del tutto arbitrario.
Il problema si risolve immaginando di mandare un raggio di luce da un punto ad un altro
e rifletterlo sul primo punto. Considerando il tempo proprio intercorso, si può calcolare
l'intervallo reale dl (naturalmente a livello infinitesimale). La formula, a conti fatti, é :
- 3 - sincronizzazione : la definizione della coordinata temporale, come già più volte affermato,
è arbitraria. Qualunque modo di misurare il tempo è accettabile. In questa situazione
generalizzata sorge il problema di definire quando due eventi che avvengono in punti
spaziali diversi sono contemporanei (rispetto a x0). Lanciando un raggio di luce da un
punto fino a colpire un altro punto infinitamente vicino al precedente, e facendolo riflettere
sul primo, si può pensare che a metà del tempo di andata e ritorno si abbia la sincronizzazione.
Il valore deltax0 che permette di sincronizzare i due orologi posti nei due punti, è dato
dalla formula :
dove alfa indica l'indice spaziale che può valere 1, 2, 3. L'indice temporale è 0.
Si può dimostrare che è sempre possibile, in ogni varietà curva, scegliere un sistema
di coordinate tali per cui deltax0 è nullo in ogni punto della varietà. Si può anche
sempre fare in modo che g00 sia uguale ad 1. Tali sistemi si chiamano sincroni.
La sincronizzazione degli orologi ha una importanza fondamentale perchè permette
di immaginare di posizionare in tutto il campo gravitazionale infiniti orologi in sincronia
con quello scelto per misurare il tempo x0. Così possiamo immaginare di avere in ogni
punto un orologio che segna il tempo proprio ed uno che segna il tempo x0.
- 04 - Geodetiche.
Consideriamo un campo gravitazionale g(i,k) generato da una certa distribuzione di masse
(il campo è dato a priori, ci occuperemo successivamente di come esso è determinato dalle
masse che lo creano) ed un corpo di massa m piccola, ovvero non in grado di perturbare
il campo stesso. Chiamiamo questo corpo "particella di prova", o "particella esploratrice".
Come si muoverà la particella di prova nello spazio-tempo 4-dimansionale curvo generato
dal campo gravitazionale ?
Per capire come si muove la particella di prova nel campo può essere utile ricorrere
all'esempio 2-dimensionale. Supponiamo, quindi, che la particella si possa muovere
sulla varietà 2-dimensionale senza poterne uscire. Ovviamente, se vista dallo spazio
3-dimensionale esterno, essa compierà in ogni caso una linea curva (essendo la varietà
curva) :
Supponiamo che la particella debba andare da A a B (sulla varietà). Fra le infinite possibili
linee che congiungono A con B essa sceglierà la più breve (se non vi sono forze a disturbarla).
La linea più breve fra due punti si chiama geodetica.
In 4 dimensioni avviene la stessa cosa. Una particella esploratrice descrive nel suo moto
una geodetica. Il fatto che nessuna altra traiettoria è "scelta" dalla particella, dipende da un
principio fisico molto importante, il principio di minima azione, che si può intuitivamente
enunciare affermando che in natura i corpi si muovono scegliendo traiettorie per le quali
si compie il "minor sforzo" (la natura non ha "fantasia", sceglie sempre la soluzione più
"economica").
Matematicamente l'equazione di una geodetica su una varietà è :
dove xi sono le coordinate, le d sono le derivate seconda e prime (in successione) delle x
rispetto ad s e gamma(i,k,l) sono i cosiddetti coefficienti di Christoffel. La sommatoria va
fatta rispetto agli indici k ed l. I simboli di Christoffel sono di fondamentale importanza
nel calcolo tensoriale. Nello spazio 4-dimensionale essi sono 64 funzioni delle coordinate
secondo la formula :
dove g(i,m) con gli indici in alto è il tensore metrico fondamentale controvariante
(l'altro, quello definito precedentemente con gli indici in basso, si dice covariante),
e le delta sono le derivate parziali di g rispetto alle coordinate. La sommatoria
va fatta sull'indice m. Il tensore metrico covariante g(i,k) è legato al corrispondente
g(k,l) controvariante dalla formula :
dove la sommatoria va fatta rispetto a k e delta è la cosiddetta delta di Kronecker
che è rappresentata dalla matrice :
La grande complessità delle formule che determinano le geodetiche in una varietà
4-dimensionale fà sì che anche nei casi più semplici una soluzione analitica sia
impossibile. Assumono, quindi, fondamentale importanza le tecniche di
approssimazione e fra queste quelle numeriche al calcolatore. La formula della
geodetica può essere approssimata con risultati ottimi data la sua particolare
forma (una volta conosciuto g(i,k)). Il risultato è la determinazione delle equazioni
parametriche x0=x0(s), x1=x1(s), x2=x2(s), x3=x3(s), della traiettoria
compiuta dalla particella esploratrice che si muove nel campo.
Se lo spazio-tempo è piatto i simboli si Christoffel sono tutti nulli per cui l'equazione
della geodetica viene risolta da una retta generica. Ciò significa che in assenza del
campo gravitazionale un corpo si muove di moto rettilineo uniforme (o rimane in
quiete). Ritroviamo così il 1' principio della dinamica come caso limite di una teoria
più vasta che si basa sul principio di equivalenza. Il 2' principio della dinamica (per
quanto riguarda le forze gravitazionali), è inscrivibile anch'esso all'interno della
descrizione dei moti in termini di geodetiche. L'eliminazione di principi non più
essenziali è una delle conseguenze di quando si passa ad una teoria più generale.
- 05 - Equazione di Einstein.
Ora siamo in grado di calcolare le geodetiche che le particelle compiono dentro
un campo g(i,k) dato. Manca solo di conoscere come g(i,k) è determinato dalle masse
che creano il campo e la descrizione fisica del campo gravitazionale è completa.
Einstein pervenne a questo risultato partendo dal principio di minima azione applicato
sia alle masse che al campo, per cui l'equazione che ne dedusse è in grado di prevedere
i movimenti delle masse e la struttura del campo, simultaneamente. L'equazione, che prende
il suo nome, in effetti è formata da 16 equazioni di cui 10 sono indipendenti. Si tratta di
una equazione estremamente complessa di cui ci limiteremo solo a descriverne la
struttura. L'equazione di Einstein è :
dove R(i,k) è il tensore di Ricci, g(i,k) il noto tensore metrico covariante, R è la curvatura
scalare della varietà, k è qui la costante di gravitazione universale di Newton, c la
velocità della luce ed infine T(i,k) è il tensore di energia-impulso che esprime come
le masse e l'energia di un eventuale campo elettromagnetico sono distribuite nello
spazio.
Il tensore di Ricci R(i,k) è definito come il prodotto fra il tensore metrico controvariante
ed il tensore di Riemann il quale esprime la curvatura della varietà punto per punto. Il tensore
di Riemann è un insieme di 4 ^4 (256) componenti mentre il tensore di Ricci è formato
da sole 16 componenti. Se il tensore di Riemann è nullo in ogni sua componente, lo spazio
è piatto (euclideo). Se il tensore di Ricci è nullo in tutte le sue componenti non è detto che
lo spazio sia piatto. La formula che definisce il tensore di Ricci è :
Tornando all'equazione di Einstein, R è la cosiddetta curvatura scalare ed è un indice della
curvatura della varietà. Essa è definita dalla formula :
Il tensore di Rieman è un tensore molto complesso ed è definito dalla formula :
Le gamma sono i simboli di Christoffel e le delta sono le derivate seconde del tensore
metrico fondamentale.
Le incognite della equazione di Einstein sono le g(i,k) e le T(i,k), ovvero il campo e
la distribuzione di massa ed energia. A causa della sua complessità l'equazione di Einstein
è risolubile esattamente solo in pochissimi semplici casi .
L'equazione di Einstein è in forma tensoriale e può essere riscritta, portando a sinistra
tutti gli addendi, come : Tensore(i,k) = 0. Una proprietà fondamentale dei tensori è
che se un tensore è nullo rispetto ad un sistema di riferimento (sistema di coordinate),
lo è anche per ogni altro. Da ciò si deduce che l'equazione di Einstein è invariante
rispetto ad ogni trasformazione di coordinate. Cambiando le coordinate, l'equazione
rimane la stessa. Così è soddisfatto il principio di RG.
- 06 - Buchi neri.
Come esempio di soluzione esatta dell'equazione di Einstein, riportiamo il caso del
campo gravitazionale creato nel vuoto da una massa puntiforme. Questo caso è di
fondamentale importanza perchè vale anche per distribuzioni di massa a simmetria
centrale (per esempio stelle e pianeti, che in prima approssimazione possono essere
considerati corpi sferici) e quindi rappresenta un modello matematico di riferimento
insostituibile.
Questa soluzione è dovuta a Schwarzschild (1916). La massa m che crea il campo è posta
nell'origine del sistema di riferimento. Il punto P, in cui calcoliamo il campo, dista r dal centro.
Teta e fi sono gli angoli che definiscono la latitudine e la longitudine del punto P (coordinate
sferiche). La formula della metrica del campo creato da una massa puntiforme è :
dove rg è il cosiddetto raggio gravitazionale (k la costante di gravitazione di Newton) :
Le coordinate r, teta, fi e t sono coordinate curvilinee in uno spazio-tempo curvo e sono definite
in questa metrica in modo che :
-1- la circonferenza con nel centro la massa che crea il campo e raggio r sia 2 pigreco r
(ciò non è scontato, perchè lo spazio, in questo caso, non è euclideo.
-2- essendo il campo a simmetria centrale, teta e fi sono gli usuali angoli che determinano
la latitudine e la longitudine.
-3- il tempo t è misurato da un orologio posto all'infinito dove il campo è nullo. (in conformità
con il fatto che g00 tende ad 1 per r tendente all'infinito, ovvero che all'infinito x0 è uguale
al tempo proprio). Si noti che valgono le condizioni per cui gli orologi possono essere
sincronizzati in tutto il campo.
Osservando la formula si nota subito che per r = rg (cioè per tutti i punti di una superficie sferica
di raggio pari al raggio gravitazionale) il coefficiente di dt2 si annulla e quello di dr2 va all'infinito.
Inversamente, per r = 0, cioè dove è posizionata la massa che crea il campo, il primo coefficiente
va all'infinto e l'altro va a zero.
Un comportamento divergente nell'origine è nelle aspettative, in quanto, a distanza nulla dalla
sorgente del campo (che è puntiforme) la forza gravitazionale deve essere infinita (come nella
formula di Newton), così come all'infinito deve essere nulla. Il comportamento divergente per
r = rg, invece, risultò del tutto inatteso e rimase inspiegato fino agli anni 40.
La metrica di Schwarzschild proponeva un caso inatteso ed apparentemente inspiegabile.
Nelle teorie scientifiche spesso succedono questi casi. Una teoria, se è ben posta, spiega i
fenomeni conosciuti e ne prospetta dei nuovi che poi devono essere compresi e verificati
dall'esperienza.
Inizialmente si pensò che una particella, venendo dall'esterno, non potesse entrare nella sfera di
raggio rg. Questa sfera, detta la sfera di Schwarzschild, fu ipotizzato essere un limite invalicabile
per una particella che cadesse verso il centro. Fu solo negli anni 40 che si trovò una interpretazione
più esatta a questo fatto apparentemente strano e che portò all'ipotesi dei buchi neri.
In effetti, si comprese che una particella cadendo verso il centro, entra di fatto nella sfera di
Schwarzschild, ma poi, non ne può più uscire.
Se la massa di una certa distribuzione di materia è sufficientemente grande e gli atomi possono
avvicinarsi liberamente, si ha il fenomeno del collasso gravitazionale. Ciò può accadere in una
stella che sta esaurendo il combustibile nucleare che la tiene in vita (l'idrogeno). Raffreddandosi,
la stella, se la massa è sufficientemente grande, comincia a contrarsi e a ridursi di volume fino a
densità enormi (col raffreddamento progressivo, la gravità, che è sempre centripeta, vince la
repulsione elettrica fra i protoni i quali vengono compattati sempre più e combinati con gli
elettroni fino a che la stella diventa composta da soli neutroni).
Quando (se ciò è possibile) tutta la materia di un corpo che collassa entra dentro la sfera di
Schwarzschild di quel corpo (per la terra rg = 0,9 cm, per il sole rg = 3 km), si crea un fenomeno
del tutto nuovo. Il campo gravitazionale diviene così intenso da curvare talmente lo spazio-tempo
a tal punto che nulla può più uscire da quella sfera, neanche la luce. Si ha così la nascita di un buco
nero.
La sfera di raggio rg si chiama anche orizzonte degli eventi.
Un buco nero, per la sua caratteristica di non emettere alcunchè non è visibile e quindi non
può essere osservato direttamente. Una verifica dell'esattezza di questa teoria è assai problematica,
però, indirettamente, si possono notare stelle che ruotano velocemente attorno ad un punto e che
vengono risucchiate con emissioni di scie di materia e cose simili. Evidenze di fenomeni di questo
tipo cominciano ad essere numerose per cui si può dedurre che siano causati da ipotetici buchi neri.
Recentemente è stata fatta l'ipotesi che in effetti un buco nero non è poi così nero, esso emette
materia e radiazione anche se in misura minima. Questo avverrebbe per fenomeni legati alla
meccanica quantistica. In meccanica quantistica, una particella può superare, con una certa
probabilità (non nulla) anche una barriera di potenziale che secondo la meccanica classica
sarebbe insuperabile. Questo fenomeno, detto effetto tunnel, fa sì che io abbia una probabilità
non nulla, per esempio, di saltare 10 metri. E' chiaro che questa probabilità è pressochè
nulla, però, per la legge dei grandi numeri, se facessi infiniti tentativi, avrei una frequenza di risultati
positivi uguale alla probabilità teorica.
In una stella collassata vi è un numero grandissimo di particelle, per cui qualcuna esce di fatto
dal buco nero. Un buco nero evapora lentamente .
Consideriamo una particella che cade liberamente attratta dalla massa posta al centro. Il processo
può essere visto in due modi (le considerazioni che seguono sono ricavate analizzando matematicamente
la metrica di Schwarzschild ) :
-1- dal sistema di riferimento di Schwarzschild (sistema di riferimento all'infinito) : supponiamo
che la particella cada radialmente con velocità iniziale nulla. Essa verrà vista cadere verso
il centro fino a raggiungere l'orizzonte degli eventi. La particella verrà vista avvicinarsi a tale
superficie, senza mai superarla, in un tempo infinito e con velocità tendente a zero. Per il
sistema di riferimento all'infinito, quindi, la particella non oltrepassa l'orizzonte degli eventi
per poi cadere nel centro.
-2- dal sistema di riferimento solidale con la particella che cade : da questo sistema, la particella
viene vista cadere verso il centro, oltrepassare l'orizzonte degli eventi, e poi cadere nel centro
del campo che rappresenta una vera singolarità. Il tutto avviene in un tempo proprio (tempo
misurato dall'orologio solidale con la particella) finito. Quando la particella oltrepassa l'orizzonte
degli eventi la sua velocità "propria" diventa uguale alla velocità della luce.
Le due descrizioni dello stesso fenomeno potrebbero sembrare contradditorie. In effetti non lo sono. Sono
due scenari diversi visti da due sistemi di riferimento diversi.
Il processo di caduta di una particella verso il centro gravitazionale può essere preso come prototipo per
descrivere il fenomeno più complesso del collasso gravitazionale che avviene per un sistema formato da
moltissime particelle.
Se consideriamo le particelle non interagenti fra di loro, il collasso gravitazionale è descrivibile come sopra
(per una singola particella). Siccome la mutua interazione fra le particelle oltre una certa densità diviene
determinante, la formazione di un buco nero è un fenomeno molto più complesso di quanto descritto per
una singola particella e necessita della meccanica quantistica (che descrive appunto le interazioni fra le
particelle).
La ricerca di una teoria completa gravitazionale e quantistica rappresenta la frontiera della fisica contemporanea.
- 07 - Conseguenze della RG.
Analizzando l'equazione di Einstein si perviene all'individuazione di alcuni "effetti" non riscontrabili nella teoria
gravitazionale classica di Newton. Ne accenniamo alcuni :
-1- spostamento verso il rosso (red shift) gravitazionale : nella metrica di Schwarzschild notiamo che
il tempo proprio è legato al tempo x0 dalla relazione :
valida per r >= rg. Ciò significa che il tempo proprio viene visto scorrere più lentamente rispetto
all'orologio posto all'infinito. Consideriamo allora un orologio posto sulla superficie del sole.
Dall'infinito questo orologio viene visto marciare più lentamente per causa del campo gravitazionale
abbastanza intenso che è presente sulla superficie del sole. In effetti sul sole non potremmo mai
mettere un orologio, data l'enorme temperatura, però possiamo considerare gli orologi "naturali" che
già vi sono posizionati : gli atomi eccitati , che con le loro transazioni elettroniche emettono righe
spettrali ben definite. Consideriamo, per esempio, una riga dell'idrogeno eccitato ad una data
temperatura. A causa della deformazione spazio-temporale prodotta dal campo gravitazionale
del sole, noi dovremmo vedere questa riga con una frequenza minore di quella prodotta qui sulla
terra a parità di energia. Dovremmo vedere quella riga più rossa del normale. Questo fenomeno
si chiama red shift gravitazionale.
-2- spostamento del perielio di mercurio : mercurio è il pianeta più vicino alo sole e la sua orbita
deve risentire più di ogni altro pianeta dell'incurvamento spaziale generato dal campo
gravitazionale solare. Gia da metà '800 era nota una piccola variazione (43" per secolo) del
perielio di mercurio secondo la quale il pianeta non percorre una ellisse chiusa, bensì compie
un'orbita a "rosetta". Questa anomalia non trovava una spiegazione nell'ambito della teoria
newtoniana. All'interno della RG questo fenomeno trova una spiegazione nell'incurvamento
spaziale che in prossimità del sole è apprezzabile. Per comprendere meglio quanto il campo
incurvi lo spazio, supponiamo di misurare la distanza fra due punti posti su un raggio nella
metrica di Schwarzschild (che rappresenta un campo a simmetria radiale come quello del
sole) :
Un semplice calcolo porta alla formula :
Da essa si deduce che la lunghezza del segmento AB non è uguale alla differenza fra r2 e r1,
come accadrebbe se lo spazio fosse piatto, ma è maggiore. Solo all'infinito, lontano dalla
sorgente del campo, lo spazio diventa piatto ed il segmento AB misura r2 - r1.
-3- deviazione della posizione apparente delle stelle nelle vicinanza della superficie solare : se lo
spazio è incurvato dal campo gravitazionale del sole, un raggio di luce che passa nelle sue
vicinanze (dove l'incurvamento è maggiore ed il fenomeno più rilevabile) non compie un cammino
rettilineo (come se lo spazio fosse euclideo). Le stelle posizionate (apparentemente) nei pressi
della superficie del sole devono allora avere la loro luce deviata dal campo gravitazionale solare.
Il sole fungerebbe allora da "lente gravitazionale" e le stelle apparirebbero spostate rispetto alla
posizione che avrebbero lontane (apparentemente) dal sole. Questo fenomeno è verificabile solo
durante le eclissi solari totali.
-4- onde gravitazionali : come ogni campo, anche il campo gravitazionale deve propagarsi nello
spazio con una velocità finita. Einstein stesso ipotizzò che anche il campo gravitazionale si
propagasse per onde gravitazionali dotate della velocità della luce. Le onde gravitazionali
possono essere immaginate come le "increspature" del campo gravitazionale ovvero del
tensore metrico che lo descrive. Le onde gravitazionali sono state anche quantizzate ed è
stata fatta l'ipotesi che esse viaggino sotto forma di particelle, i gravitoni, così come le
onde elettromagnetiche viaggiano sotto forma di fotoni. Le onde gravitazionali sono molto
deboli per cui a ancora oggi non sono state rivelate con esattezza.
- 08 - Cosmologia.
L'equazione di Einstein è in grado di descrivere l'evoluzione sia del campo gravitazionale (il tensore
g(i,k)) che del moto delle masse al suo interno. L'equazione di Einstein è in grado di descrivere,
quindi, anche la struttura dell'universo nel suo insieme (in larga scala, ovvero quando i fenomeni
quantistici sono ininfluenti). Questo fatto assolutamente nuovo (ricordiamo l'ineguatezza della
teoria newtoniana a tale scopo) fu subito messo in luce da Einstein stesso (1917).
Da quel momento la cosmologia è diventata una branca della fisica dinamica e vitale come non mai in
passato. Si iniziò a ipotizzare modelli di universo basati sui presupposti più svariati ma che sempre
dovessero soddisfare l'equazione di Einstein. Furono ipotizzati modelli omogenei o non, isotropi o non,
aperti, chiusi, statici o non.
Fu solo nel 1929 che con la scoperta (dovuta a Hubble) dello spostamento verso il rosso delle
galassie (red shift cosmologico) la cosmologia prese una direzione ben precisa : l'universo sembra
espandersi.
Osservando le galassie esse appaiono più rosse di quello che dovrebbero essere. Ciò si può spiegare
in base all'effetto Doppler. Questo effetto, che noi sperimentiamo comunemente nel campo delle
onde acustiche (il fischio del treno che ci viene incontro è più alto mentre è più basso quando si
allontana), afferma che la frequenza di un'onda di qualunque tipo (acustica, elettromagnetica) emessa
da una sorgente in moto relativo rispetto ad un osservatore appare maggiore se la sorgente si muove
in direzione dell'osservatore, minore se si allontana.
Ora, se le galassie appaiono più rosse, ciò potrebbe significare o che in esse vi è un campo gravitazionale
intensissimo (red shift gravitazionale) o che esse si stanno allontanando rispetto a noi (red shift cosmologico).
Siccome non vi è motivo di pensare che le galassie lontane abbiano campi gravitazionali particolarmente
intensi, si può affermare che esse appaiono più rosse perchè si allontanano da noi.
L'universo, quindi, si sta espandendo e, portando il processo all'indietro nel tempo, probabilmente in
un lontano passato esso doveva essere tutto concentrato in un volume limitato da cui, poi, è iniziata
l'espansione. Questa è l'ipotesi del big bang che oggi rappresenta l'ipotesi più avvalorata sulle origini
e l'evoluzione del cosmo.
Se l'universo si espande, ci possono essere due possibilità. O l'espansione dura per sempre e l'universo
è destinato a diventare sempre più rarefatto e freddo oppure, dopo l'espansione, se la massa totale è
sufficientemente grande, l'universo comincia ad implodere (big crunch) fino a tornare alla situazione
iniziale per poi, magari, riesplodere e ricominciare ad espandersi e questo all'infinito.
L'avverarsi di uno o l'altro dei modelli dipende dalla massa complessiva dell'universo. La misura della
massa totale è un problema assai complesso perchè la massa di cui ci perviene "informazione" è solo
quella che emette radiazione elettromagnetica (al momento noi "vediamo" l'universo attraverso
telescopi ottici, radiotelescopi, telescopi a raggi infrarossi, x ecc. ma tutti solo in grado di captare
radiazioni elettromagnetiche).
Nell'universo, però, c'è sicuramente anche della massa della quale non ci perviene informazione, la
cosiddetta massa oscura. E' formata almeno dai buchi neri che dovrebbero essere numerosi, dai
neutrini, nel caso essi abbiano massa non nulla (non è ancora chiara se la massa del neutrino è nulla
o no), e che sono numerosissimi.
Se consideriamo solo la massa visibile, sembra che essa sia troppo piccola per contrapporsi all'espansione
per cui l'universo dovrebbe espandersi per sempre. Il problema è aperto ma, mentre si stanno facendo
stime ed ipotesi sempre più approfondite sulla massa oscura, una scoperta recente (ancora in fase di
verifica) è destinata a rivoluzionare tutte le nostre idee riguardo al cosmo : sembra che l'espansione
dell'universo stia addirittura accelerando (in positivo).
Siamo forse alla vigilia della scoperta di una nuova forza ?
Fine.
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