E-school  di  Arrigo Amadori

Fisica

Relatività generale (RG) (sintesi introduttiva)


 - 01 - Principio di equivalenza.

           Completata la teoria della relatività ristretta (RR) che riguardava essenzialmente
           i sistemi di riferimento inerziali ed il campo elettromagnetico, Einstein si dedicò
           allo studio del campo gravitazionale, l'altra interazione nota a quei tempi.

           La teoria della gravitazione ancora "in voga" era la vecchia e ben collaudata teoria 
           di Newton riassunta dalla formula :

                           

           La teoria della gravitazione universale di Newton descriveva i fenomeni gravitazionali 
           con un ottimo grado di precisione ed aveva permesso enormi progressi in astronomia. 
           Ancora oggi la teoria di Newton, grazie anche alla sua semplicità, viene usata per  
           descrivere i fenomeni astronomici nel nostro sistema solare (a parte una eccezione 
           di  cui parleremo in seguito) e molto oltre. Tutta l'astronautica poi ne è una continua 
           applicazione.

           Newton formulò anche un modello di universo che rappresenta il primo modello 
           cosmologico su basi scientifiche della storia dell'umanità. L'universo di Newton è
           infinito ed eterno, popolato di stelle in esso distribuite uniformemente, immerso in
           uno spazio assoluto e dotato di un tempo assoluto. 

           Dal punto di vista teorico, però, la teoria gravitazionale di Newton ed il relativo
           modello cosmologico presentavano alcuni problemi di fondo :

              - a - il modello cosmologico di Newton  porta ad alcuni paradossi fra cui il più 
                      eclatante è che la notte non potrebbe essere buia, ma dovrebbe essere  
                      illuminata (addirittura di luminosità infinita), essendo le stelle in numero 
                      infinito ed esistenti da un tempo infinito.              
              - b - nella teoria di Newton la forza gravitazionale agisce istantaneamente (nella 
                      formula di Newton non vi è traccia del tempo) anche a distanze astronomiche.
              - c - essendo la teoria di Newton universale, da essa si dovrebbe in qualche modo 
                      dedurre il principio d'inerzia in quanto la distribuzione di tutti i corpi nell'universo 
                      dovrebbe influenzare il moto di un singolo corpo.
              - d - all'interno della teoria della gravitazione di Newton non vi è alcuna considerazione
                      del fatto assolutamente singolare che i corpi soggetti a gravità cadono tutti con 
                      la stessa accelerazione indipendentemente dalla massa. Un caso così singolare  
                      non può essere una pura casualità e dovrebbe avere un ruolo importante nella
.                     teoria della gravitazione.

           Di questi punti il quarto risulta il più problematico e, di conseguenza, stimolante per
           il fisico teorico.

           Già Galileo aveva notato che i corpi cadono con uguale accelerazione e aveva 
           effettuato una serie di misure ed esperimenti a riguardo. Newton stesso aveva
           poi studiato il fenomeno col suo famoso tubo sotto vuoto in cui "incredibilmente" 
           (questo fatto stupisce i non "addetti ai lavori" anche oggi) corpi di massa diversa 
           cadevano nello stesso modo.

           Matematicamente il fenomeno si spiega assumendo che la massa gravitazionale
           è uguale alla massa inerziale. La massa gravitazionale è la massa con la quale
           i corpi si attraggono gravitazionalmente, come descritto nella formula di Newtorn.
           La massa inerziale è il coefficiente di proporzionalità fra la forza che agisce su un 
           corpo e l'accelerazione che esso subisce.

           Infatti, considerando due corpi di massa gravitazionale M ed m posti ad una 
           distanza R :



           fra essi agisce la forza gravitazionale F = GMm/R2. Se la massa gravitazionale m è
           uguale alla massa inerziale del corpo medesimo, su di esso la forza F imprime una 
           accelerazione a = F/m. Sostituendo F e semplificando, si ottiene l'accelerazione :

                         

           L'accelerazione di m in un punto dato, quindi, dipende solo da G, da M e dalla distanza
           fra i due corpi al quadrato. Essendo G, M costanti ed R dato, qualunque valore abbia la 
           massa m, l'accelerazione non cambia. 

           Sulla superficie terrestre (M è la massa della terra, m la massa di un corpo qualunque 
           che cade, R il raggio terrestre (lo spazio percorso dal corpo che cade è trascurabile 
           se piccolo rispetto ad R (R è circa 6300 km ))),  l'accelerazione gravitazionale con cui
           tutti i corpi cadono è pari a g = 9,8 m/sec2 (indipendentemente dalla massa del corpo 
           che cade).

           Effettivamente su di un corpo che cade sulla superficie terrestre agiscono altre forze
           oltre la forza peso (forza gravitazionale). Per esempio l'attrito dell'aria è quella che agisce 
           maggiormente e dipendo dalla forma del corpo e dalla sua velocità (dopo un certo tempo,
           la velocità di un corpo che cade nell'atmosfera terrestre diventa addirittura costante (legge 
           di Stokes)). Altre forze dipendono dal fatto che la terra non è un sistema inerziale, in quanto
           ruotante (forze centrifughe e di Coriolis). Queste forze "di disturbo", comunque, possono
           essere rese piccole con opportuni accorgimenti o possono essere eliminate con considerazioni
           matematiche per cui è possibile verificare sperimentalmente con altissima precisione quanto
           precedentemente affermato.         

           L'uguaglianza fra massa inerziale e massa gravitazionale va sotto il nome di principio 
           di equivalenza ed è un dato di fatto verificato da moltissimi esperimenti e tuttoggi 
           considerato valido.

           Questo fenomeno è tipico solo della forza gravitazionale. Le altre forze
           conosciute contengono una distinzione netta fra massa inerziale e massa 
           "interazionale". Per esempio una carica elettrica con massa m e carica q, se
           immersa in un campo elettrico, subisce in un punto dato un'accelerazione 
           proporzionale a q/m (secondo la legge di Coulomb combinata con la 2' legge 
           della dinamica). Cambiando q oppure m l'accelerazione cambia di conseguenza.

           La gravità, grazie al principio di equivalenza, è una forza "diversa" dalle altre
           e per questo sembra avere un ruolo proprio assolutamente particolare nella
           natura.

 - 02 - Principio di relatività generale (RG).

           Fra tutti i sistemi di riferimento, quelli accelerati (non in moto rettilineo uniforme 
           oppure ruotanti rispetto ad un sistema inerziale (quindi essi stessi non inerziali))  
           hanno una particolarità fondamentale. In essi i corpi non soggetti a forze reali (che
           per il principio d'inerzia si muoverebbero di moto rettilineo uniforme se il sistema di 
           riferimento fosse inerziale) vengono visti accelerare e quindi, siccome per il secondo 
           principio della dinamica l'accelerazione è proporzionale alla forza, sembra che su
           di essi agiscano delle forze. Siccome queste forze non sono reali (prodotte da una 
           qualche interazione), esse vengono chiamate forze apparenti. Dette forze non sono 
           quindi prodotte da una qualche interazione, ma sono prodotte dal semplice fatto che il 
           sistema di riferimento è accelerato.

           Fra i sistemi di riferimento accelerati, quelli ruotanti e quelli uniformemente accelerati
           (rispetto ad un sistema di riferimento inerziale) sono particolarmente interessanti.

              - a - sistema ruotante : rispetto ad un sistema ruotante (uniformemente) i corpi
                      non soggetti a forze reali vengono visti ruotare di moto circolare uniforme
                      con direzione opposta a quella della rotazione del sistema. Per verificare ciò, 
                      basta ruotare su sè stessi stando in piedi e si vedranno gli oggetti attorno a sè 
                      ruotare in senso opposto. Se poi i corpi sono già dotati di moto, o subiscono
                      l'azione di forze reali, essi saranno visti muoversi in modo assai complicato. 
                      Per esempio, ritornando al caso dell'uomo che ruota su sè stesso, i corpi 
                      che cadono, se la rotazione è abbastanza veloce, verranno visti compiere 
                      complicate spirali. Un altro esempio è quello della giostra. Da essa il mondo
                      appare veramente complicato !
               - b- sistema uniformemente accelerato : rispetto ad esso, i corpi non soggetti a
                      forze reali vengono visti accelerare di accelerazione costante, la stessa del 
                      sistema di riferimento, ma con verso opposto.

           La caratteristica principale delle forze apparenti è che le accelerazioni prodotte da queste
           forze sono indipendenti dalle masse dei corpi che le subiscono. Questo è un fatto di estrema 
           importanza. Analizzando questa proprietà dei sistemi di riferimento accelerati Einstein ebbe 
           l'intuizione fondamentale che è alla base della RG, per molti la più bella, elegante e potente 
           teoria che mai l'uomo abbia creato.

           Consideriamo ora un esperimento ideale della massima importanza. Supponiamo
           che degli astronauti stiano navigando nello spazio in una navicella spaziale particolare : 
           essi hanno solo la possibilità di fare esperimenti di  fisica sugli oggetti al suo interno e
           non hanno alcuna percezione di ciò che avviene all'esterno.

           Supponiamo che ad un certo momento essi  notino che tutti i corpi all'interno della 
           navicella subiscano una medesima accelerazione costante in valore e direzione, 
           diciamo verso il pavimento dell'astronave.

           Orbene, essi non potranno mai affermare con nessun esperimento fatto all'interno
           della navicella che le accelerazioni che misurano siano causate dai razzi della 
           navicella che la stanno facendo accelerare oppure da un campo gravitazionale
           esterno. Essi non potranno mai affermare, quindi, di essere in un sistema di riferimento
           accelerato oppure di essere immersi in un campo  gravitazionale uniforme (come sulla 
           superficie terrestre).

           Questo perchè, per il principio di equivalenza, in un campo gravitazionale tutti i corpi
           subiscono la stessa accelerazione e la stessa cosa accade anche in un sistema di riferimento 
           accelerato in cui i corpi non soggetti a forze reali subiscono la stessa accelerazione.

           La conseguenza di questo esperimento ideale è la base della RG ed è riassumibile
           nell'affermazione :

           un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale 
           (almeno localmente).

           Ciò è una conseguenza diretta del principio di equivalenza fra massa inerziale e massa
           gravitazionale. E' un altro modo di esprimere il principio di equivalenza.

           Se un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale, 
           potremmo descrivere il campo stesso come uno spazio-tempo modificato, incurvato,
           dalle masse che generano il campo. Questo perchè in un sistema accelerato i corpi 
           vengono tutti accelerati allo stesso modo per cui lo spazio-tempo relativo al detto  
           sistema sembra in qualche modo modificato rispetto allo spazio-tempo dei sistemi 
           inerziali (lo spazio piatto di Minkowski). I corpi vengono visti percorrere traiettorie
           indipendenti dalla loro massa (supponendo la loro massa piccola, in modo da non
           perturbare le masse che creano il campo gravitazionale, e quindi il campo stesso).

           Questo è il concetto che sta alla base della RG e ne costituisce l'impianto matematico.

           Le masse generano un campo gravitazionale incurvando lo spazio-tempo. I fenomeni
           avverranno di conseguenza in quello spazio-tempo curvo. Lo spazio-tempo incurvato 
           dalle masse che creano il campo gravitazionale rappresenta lo scenario, il "palcoscenico"
           in cui avvengono i fenomeni fisici. Il campo gravitazionale determina la geometria in cui 
           avvengono i fenomeni. 

           In uno spazio-tempo incurvato si possono scegliere infiniti sistemi di riferimento che 
           seguono la curvatura dello spazio-tempo rappresentati dalle corrispondenti coordinate
           curvilinee. Ciascun sistema di riferimento (se ha significato fisico, per esempio se in esso
           è soddisfatto il principio di consequenzialità fra causa ed effetto, ovvero il tempo scorre in 
           avanti) avrà la stessa "dignità" fisica. In essi le leggi della fisica debbono essere le stesse. 
           Le leggi della fisica devono essere, di conseguenza, invarianti rispetto ad ogni possibile 
           trasformazione di coordinate spaziotemporali (non solo quelle di Lorentz che valgono 
           solo per i sistemi di riferimento inerziali) all'interno di quello spazio-tempo.

           Quanto affermato è la logica estensione del principio di RR in presenza di campi gravitazionali 
           e va sotto il nome di principio di Relatività Generale RG (1916).

 - 03 - Spazio-tempo curvo.

           In assenza di campo gravitazionale, lo spazio-tempo non è curvo (è lo spazio piatto-tempo 
           di Minkowski), in esso possono essere scelti infiniti sistemi di riferimento inerziali e fra di 
           essi valgono la RR e le trasformate di Lorentz.

           Un generico spazio curvo ha una proprietà molto importante che lo raccorda, per così
           dire, al più familiare spazio piatto euclideo. Per quanto esso possa essere incurvato, è 
           sempre possibile considerarne una porzione nella quale esso sia praticamente piatto. 
           Si può capire meglio il concetto considerando la superficie terrestre. Essa è uno spazio 
           (varietà) bidimensionale curvo in cui sono definibili coordinate curvilineee quali la latitudine 
           e la longitudine. In grande scala la curvatura della superficie terrestre è ineliminabile e gli 
           effetti di ciò sono ben visibili a tutti. Per un muratore che sta costruendo una casa, invece, 
           la superficie terrestre è piatta ed egli  non si pone neppure il problema.

           In ogni spazio-tempo curvo è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee
           rispetto alle quali lo spazio-tempo è localmente piatto ed inerziale (spazio-tempo di Minkowski). 
           Per fare questo è sufficiente immaginare un corpo che cade liberamente in un campo gravitazionale. 
           Rispetto a questo corpo, gli altri corpi liberi che cadono con lui, per un tempo limitato, appaiono
           soddisfare la legge d'inerzia. Quelli fermi permangono fermi, quelli in moto uniforme permangono
           in tale moto. Rispetto a quel sistema di riferimento in caduta per un breve tempo, lo spazio-tempo 
           è quello piatto di  Minkowski della RR. Hanno esperienza di ciò gli astronauti quando sono 
           parcheggiati in orbite terrestri stazionarie (in effetti è come se cadessero liberamente). All'interno 
           delle loro navicelle essi esperimentano la gravità zero. Qui sulla terra è possibile verificare quanto  
           detto per breve tempo quando, per esempio, un aereo prende un vuoto d'aria o in certi giochi 
           al lunapark. 

           Il fatto che lo spazio-tempo sia incurvato dalle masse che vi creano il campo gravitazionale
           è un concetto al di fuori dell'esperienza comune. In uno spazio-tempo curvo non valgono le 
           regole e le proprietà della geometria euclidea, che è la geometria della nostra vita quotidiana.

           Per chiarire meglio questo concetto consideriamo un sistema di riferimento inerziale K
           ed un sistema di riferimento K' non inerziale in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo 
           anche una circonferenza solidale con K :



           Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è pigreco. Rispetto
           a K' che ruota in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni 
           piccolo segmento della circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità v.  
           In un certo istante ogni  piccolo segmento di cui è formata la circonferenza viene visto 
           contrarsi rispetto a  K' secondo la legge della  contrazione di Lorentz per cui il rapporto 
           fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da pigreco (il diametro non subisce 
           la contrazione di Lorentz perchè non si muove rispetto a K' nel senso della sua lunghezza).

           Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento 
           accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria euclidea. 
           Poichè un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento accelerato, lo 
           spazio-tempo viene incurvato da un campo gravitazionale.

           I presupposti su cui si basa la RG ci costringono ad impostare ogni problema relativo al
           campo gravitazionale come fosse un problema di geometria non euclidea. Il moto dei 
           corpi in un campo gravitazionale, quindi, si riduce ad un problema di geometria. Il campo 
           gravitazionale stesso induce nello spazio-tempo euclideo una deformazione trasformandolo
           in uno spazio-tempo non euclideo.

           L'apparato matematico della RG è molto complesso e si basa sul calcolo differenziale 
           assoluto (detto anche calcolo tensoriale) iniziato a partire dall' 800 dal grande 
           matematico Gauss, sviluppato da Riemann e portato a compimento dal romagnolo
           Ricci-curbastro e dal suo discepolo Levi-civita fra '800 e '900.

           Il calcolo tensoriale descrive le proprietà delle varietà (spazi) curve non euclidee 
           ed è interessante notare che questo calcolo fu sviluppato ben prima della RG a
           dimostrazione che spesso la pura ricerca teorico-astratta precede le applicazioni
           fisiche delle stesse.

           Il calcolo tensoriale si basa sul principio scoperto da Gauss (geometria intrinseca) che
           per studiare le proprietà di una varietà n-dimensionale basta definire in essa un sistema 
           di coordinate curvilinee e riferire ad esse ogni "ragionamento", ogni considerazione sulla 
           varietà stessa. Non occorre quindi vedere la varietà "da fuori", come immersa in 
           uno spazio euclideo ad un numero maggiore di dimensioni (matematicamente, una
           varietà n-dimensionale può sempre essere considerata immersa in uno spazio euclideo a 
           n(n + 1)/2 dimensioni, per cui, per esempio, lo spazio-tempo 4-dimensionale può essere
           immerso in uno spazio euclideo a 10 dimensioni).

           Il concetto si comprende  meglio con l'esempio della superficie sferica (varietà a 2 
           dimensioni) immersa nello spazio euclideo ordinario (a 3 dimensioni). Le proprietà della
           superficie sferica possono essere studiate guardandole dallo spazio ordinario, ma possono
           essere ugualmente descritte a partire dall'usuale sistema di coordinate curvilinee definite in 
           essa (latitudine e longitudine). Le persone che tracciano le rotte aeree e navali conoscono 
           bene questo principio. L'unico problema di questa impostazione è la difficoltà matematica. 
           Per descrivere le proprietà di una varietà non euclidea dal suo interno occorre una matematica 
           molto complessa.

           Descriviamo ora l'impostazione matematica della RG senza nessuna pretesa di completezza, 
           enunciandone le formule principali  e limitandoci solo a spiegarne concettualmente il 
           significato. Allo scopo di capire le basi fisiche della RG ciò è sufficiente. Il lettore può 
           approfondire il calcolo tensoriale alla pagina di Matematica, Calcolo differenziale assoluto.    

           Consideriamo la varietà 4-dimensionale che descrive lo spazio-tempo in cui
           è presente un campo gravitazionale. In essa sia definito un sistema di coordinate
           curvilinee. Ad ogni punto della varietà si associano 4 numeri :

                        

           che ne rappresentano le coordinate. Si noti che le coordinate vengono indicate 
           con gli indici in alto che non significano assolutamente elevamento a potenza. 
           x0 rappresenta la coordinata temporale,  x1, x2, x3 le coordinate spaziali. Essendo
           il sistema di coordinate prescelto del tutto arbitrario, il tempo viene misurato da un
           orologio arbitrario e lo spazio da coordinate spaziali arbitrarie (angoli, curve ecc.). 
           Qualunque modo è accettabile purchè le coordinate ottenute determinino univocamente
           il punto sulla varietà e siano linee continue e senza "spigoli" . La figura seguente 
           mostra un esempio per il caso di una varietà 2-dimensionale (superficie ordinaria)
           immersa nello spazio euclideo ordinario. Un punto sulla varietà è identificato dalle 
           due coordinate curvilinee che lo intercettano :



           Le varietà 4-dimensionali, purtroppo, non possono essere visualizzate ma
           le loro proprietà sono le stesse delle varietà 2-dimensionali per cui, qualora
           necessario, faremo ricorso a queste ultime come modello esplicativo.

           Consideriamo 2 punti vicinissimi sulla varietà. La definizione della loro distanza 
           è alla base di tutto il calcolo tensoriale e tramite essa si possono dedurre tutte le 
           proprietà metriche della varietà. Sempre nell'esempio bidimensionale :



           La distanza fra i due punti viene indicata con ds ed il suo valore è dato da una
           formula che diventa il teorema di Pitagora se lo spazio è piatto e le coordinate
           sono quelle cartesiane. La formula della distanza (al quadrato) di due punti
           vicinissimi sulla varietà è :

                       

           ds è la distanza fra i due punti vicinissimi. g(i,k) (lo indicheremo così nel testo)
           è il cosiddetto tensore metrico fondamentale. dxi e dxk sono le differenze
           fra i valori delle coordinate dei due punti in questione (i e k stanno per 0, 1, 
           2, 3 rispettivamente). Nelle formule del calcolo tensoriale si utilizza la 
           convenzione di Einstein secondo la quale si devono fare le somme sugli 
           indici ripetuti senza che ciò sia indicato esplicitamente. La formula estesa 
           sarebbe allora :

                      

           Il tensore metrico fondamentale g(i,k) è alla base del calcolo tensoriale. Quando
           esso è conosciuto, sono conosciute tutte le proprietà metriche della varietà. Lo
           scopo della RG è quindi quello di determinare g(i,k) date la masse che generano
           il campo gravitazionale. Il tensore g(i,k) può essere considerato come il campo
           gravitazionale stesso (d'ora in poi g(i,k) e campo gravitazionale verranno considerati
           sinonimi). Una volta conosciuto g(i,k) si possono anche determinare le equazioni del 
           moto dei corpi che si muovono nella varietà .

           g(i,k) può essere rappresentato sotto forma di matrice :

                      

           ed ha la proprietà di essere un tensore simmetrico, ovvero g(i,k) = g(k,i). Per questa 
           proprietà gli elementi diversi del tensore sono 10 su 16.

           Nel caso di una varietà 4-dimensionale di Minkowski (assenza di campo gravitazionale,
           ovvero spazio-tempo piatto), la distanza fra due punti si riduce a :

                       

           ed il tensore metrico g(i,k) prende la forma :

                        

           Ricordiamo che in questo caso dx0 = cdt.

 - 03 - Distanze ed intervalli di tempo.

           In una varietà possiamo scegliere un sistema di coordinate curvilinee del tutto arbitrario. 
           E' il tensore metrico g(i,k) che conterrà, si può dire, l' "informazione" della scelta fatta
           e, contemporaneamente, delle caratteristiche metriche della varietà che non dipendono 
           dal sistema di coordinate, come ad esempio la curvatura. 

           Quanto detto spiega la ragione della grande complessità del calcolo tensoriale.

           Quando si applica il calcolo tensoriale alla fisica, sorge un altro grosso problema. Come sono
           legate le grandezze fisiche osservabili (intervalli di spazio e tempo) alla scelta arbitraria di un 
           sistema di coordinate dentro lo spazio-tempo curvo ? 

           Il problema si riduce alla definizione di un intervallo di tempo, una lunghezza e la possibilità di 
           sincronizzare gli orologi :

              - 1 - tempo proprio : considerando che localmente si può sempre scegliere un sistema
                      di riferimento inerziale, chiamiamo tempo proprio quello visto scorrere in un tale
                      sistema di riferimento. Rispetto alla coordinata temporale x0, chiamiamo  il tempo
                      proprio con tau. Consideriamo un punto fisso dello spazio ed un intervallo infinitesimo 
                     di tempo proprio che scorre in esso. Esso è legato al corrispondente intervallo di tempo
                      rispetto alla coordinata temporale x0 dalla formula :
           
                         

                      Le durate di tempo proprio, quindi, cambiano punto per punto e anche nel tempo, 
                      essendo in funzione di g00, che dipende in generale da tutte le coordinate, anche 
                      quella temporale. Se g00 fosse uguale ad 1, il tempo proprio sarebbe identico al 
                      tempo come visto rispetto alla coordinata temporale x0. Nello spazio-tempo piatto 
                      ciò è, ovviamente, sempre vero. Il tempo proprio è misurabile fisicamente da un 
                      orologio che non risenta del campo gravitazionale, per esempio un orologio atomico.

              - 2 - intervallo spaziale : se lo spazio-tempo fosse piatto, si potrebbe calcolare la lunghezza
                      di un intervallo spaziale semplicemente considerando la distanza fra due punti spaziali 
                      diversi allo stesso istante. Ciò in RG non è possibile perchè in due punti spaziali diversi 
                      il tempo proprio scorre diversamente, come abbiamo precedentemente mostrato. Non 
                      potremmo considerare il tempo visto dalla coordinata x0, perchè è del tutto arbitrario.
                      Il problema si risolve immaginando di mandare un raggio di luce da un punto ad un altro
                      e rifletterlo sul primo punto. Considerando il tempo proprio intercorso, si può calcolare
                      l'intervallo reale dl (naturalmente a livello infinitesimale). La formula, a conti fatti, é :

                         

              - 3 - sincronizzazione : la definizione della coordinata temporale, come già più volte affermato,
                      è arbitraria. Qualunque modo di misurare il tempo è accettabile. In questa situazione 
                      generalizzata sorge il problema di definire quando due eventi che avvengono in punti
                      spaziali diversi sono contemporanei (rispetto a x0). Lanciando un raggio di luce da un 
                      punto fino a colpire un altro punto infinitamente vicino al precedente, e facendolo riflettere 
                      sul primo, si può pensare che a metà del tempo di andata e ritorno si abbia la sincronizzazione.
                      Il valore deltax0 che permette di sincronizzare i due orologi posti nei due punti, è dato
                      dalla formula : 

                         

                       dove alfa indica l'indice spaziale che può valere 1, 2, 3. L'indice temporale è 0. 

                       Si può dimostrare che è sempre possibile, in ogni varietà curva, scegliere un sistema 
                       di coordinate tali per cui deltax0 è nullo in ogni punto della varietà. Si può anche 
                       sempre fare in modo che g00 sia uguale ad 1. Tali sistemi si chiamano sincroni.

                       La sincronizzazione degli orologi ha una importanza fondamentale perchè permette 
                       di immaginare di posizionare in tutto il campo gravitazionale infiniti orologi in sincronia 
                       con quello scelto per misurare il tempo x0. Così possiamo immaginare di avere in ogni 
                       punto un orologio che segna il tempo proprio ed uno che segna il tempo x0. 

 - 04 - Geodetiche.

           Consideriamo un campo gravitazionale g(i,k) generato da una certa distribuzione di masse 
           (il campo è dato a priori, ci occuperemo successivamente di come esso è determinato dalle
           masse che lo creano) ed un corpo di massa m piccola, ovvero non in grado di perturbare 
           il campo stesso. Chiamiamo questo corpo "particella di prova", o "particella esploratrice". 

           Come si muoverà la particella di prova nello spazio-tempo 4-dimansionale curvo generato 
           dal campo gravitazionale ? 

           Per capire come si muove la particella di prova nel campo può essere utile ricorrere 
           all'esempio 2-dimensionale. Supponiamo, quindi, che la particella si possa muovere 
           sulla varietà 2-dimensionale senza poterne uscire. Ovviamente, se vista dallo spazio 
           3-dimensionale esterno, essa compierà in ogni caso una linea curva (essendo la varietà
           curva) : 



           Supponiamo che la particella debba andare da A a B (sulla varietà). Fra le infinite possibili 
           linee che congiungono A con B essa sceglierà la più breve (se non vi sono forze a disturbarla).
           La linea più breve fra due punti si chiama geodetica.

           In 4 dimensioni avviene la stessa cosa. Una particella esploratrice descrive nel suo moto 
           una geodetica. Il fatto che nessuna altra traiettoria è "scelta" dalla particella, dipende da un 
           principio fisico molto importante, il principio di minima azione, che si può intuitivamente
           enunciare affermando che in natura i corpi si muovono scegliendo traiettorie per le quali
           si compie il "minor sforzo" (la natura non ha "fantasia", sceglie sempre la soluzione più 
           "economica").

           Matematicamente l'equazione di una geodetica su una varietà è :

                          

           dove xi sono le coordinate, le d sono le derivate seconda e prime (in successione) delle x 
           rispetto ad s e gamma(i,k,l) sono i cosiddetti coefficienti di Christoffel. La sommatoria va 
           fatta rispetto agli indici k ed l. I simboli di Christoffel sono di fondamentale importanza 
           nel calcolo tensoriale. Nello spazio 4-dimensionale essi sono 64 funzioni delle coordinate 
           secondo la formula :

                          

            dove g(i,m) con gli indici in alto è il tensore metrico fondamentale controvariante
            (l'altro, quello definito precedentemente con gli indici in basso, si dice covariante),
            e le delta sono le derivate parziali di g rispetto alle coordinate. La sommatoria
            va fatta sull'indice m. Il tensore metrico covariante g(i,k) è legato al corrispondente
            g(k,l) controvariante dalla formula :

                          

            dove la sommatoria va fatta rispetto a k e delta è la cosiddetta delta di Kronecker
            che è rappresentata dalla matrice :

                          

           La grande complessità delle formule che determinano le geodetiche in una varietà 
           4-dimensionale fà sì che anche nei casi più semplici una soluzione analitica sia
           impossibile. Assumono, quindi, fondamentale importanza le tecniche di 
           approssimazione e fra queste quelle numeriche al calcolatore. La formula della
           geodetica può essere approssimata con risultati ottimi data la sua particolare
           forma (una volta conosciuto g(i,k)). Il risultato è la determinazione delle equazioni
           parametriche x0=x0(s), x1=x1(s), x2=x2(s), x3=x3(s), della traiettoria 
           compiuta dalla particella esploratrice che si muove nel campo. 

           Se lo spazio-tempo è piatto i simboli si Christoffel sono tutti nulli per cui l'equazione
           della geodetica viene risolta da una retta generica. Ciò significa che in assenza del 
           campo gravitazionale un corpo si muove di moto rettilineo uniforme (o rimane in
           quiete). Ritroviamo così il 1' principio della dinamica come caso limite di una teoria
           più vasta che si basa sul principio di equivalenza. Il 2' principio della dinamica (per
           quanto riguarda le forze gravitazionali), è inscrivibile anch'esso all'interno della
           descrizione dei moti in termini di geodetiche. L'eliminazione di principi non più 
           essenziali è una delle conseguenze di quando si passa ad una teoria più generale. 

 - 05 - Equazione di Einstein.

           Ora siamo in grado di calcolare le geodetiche che le particelle compiono dentro 
           un campo g(i,k) dato. Manca solo di conoscere come g(i,k) è determinato dalle masse
           che creano il campo e la descrizione fisica del campo gravitazionale è completa.

           Einstein pervenne a questo risultato partendo dal principio di minima azione applicato
           sia alle masse che al campo, per cui l'equazione che ne dedusse è in grado di prevedere
           i movimenti delle masse e la struttura del campo, simultaneamente. L'equazione, che prende 
           il suo nome, in effetti è formata da 16 equazioni di cui 10 sono indipendenti. Si tratta di
           una equazione estremamente complessa di cui ci limiteremo solo a descriverne la
           struttura. L'equazione di Einstein è :

                        

            dove R(i,k) è il tensore di Ricci, g(i,k) il noto tensore metrico covariante, R è la curvatura
            scalare della varietà, k è qui la costante di gravitazione universale di Newton, c la 
            velocità della luce ed infine T(i,k) è il tensore di energia-impulso che esprime come
            le masse e l'energia di un eventuale campo elettromagnetico sono distribuite nello
            spazio.

            Il tensore di Ricci R(i,k) è definito come il prodotto fra il tensore metrico controvariante 
            ed il tensore di Riemann il quale esprime la curvatura della varietà punto per punto. Il tensore
            di Riemann è un insieme di 4 ^4 (256) componenti  mentre il tensore di Ricci è formato 
            da sole 16 componenti. Se il tensore di Riemann è nullo in ogni sua componente, lo spazio 
            è piatto (euclideo). Se il tensore di Ricci è nullo in tutte le sue componenti non è detto che 
            lo spazio sia piatto. La formula che definisce il tensore di Ricci è :

                        

            Tornando all'equazione di Einstein, R è la cosiddetta curvatura scalare ed è un indice della 
            curvatura della varietà. Essa è definita dalla formula :

                         

             Il tensore di Rieman è un tensore molto complesso ed è definito dalla formula :

                        

            Le gamma sono i simboli di Christoffel e le delta sono le derivate seconde del tensore
            metrico fondamentale.

            Le incognite della equazione di Einstein sono le g(i,k) e le T(i,k), ovvero il campo e
            la distribuzione di massa ed energia. A causa della sua complessità l'equazione di Einstein
            è risolubile esattamente solo in pochissimi semplici casi .

            L'equazione di Einstein è in forma tensoriale e può essere riscritta, portando a sinistra
            tutti gli addendi, come  : Tensore(i,k) = 0. Una proprietà fondamentale dei tensori è
            che se un tensore è nullo rispetto ad un sistema di riferimento (sistema di coordinate), 
            lo è anche per ogni altro. Da ciò si deduce che l'equazione di Einstein è invariante 
            rispetto ad ogni trasformazione di coordinate. Cambiando le coordinate, l'equazione
            rimane la stessa. Così è soddisfatto il principio di RG. 

 - 06 - Buchi neri.

            Come esempio di soluzione esatta dell'equazione di Einstein, riportiamo il caso del 
            campo gravitazionale creato nel vuoto da una massa puntiforme. Questo caso è di 
            fondamentale importanza perchè vale anche per distribuzioni di massa a simmetria 
            centrale (per esempio stelle e pianeti, che in prima approssimazione possono essere
            considerati corpi sferici) e quindi rappresenta un modello matematico di riferimento
            insostituibile.



            Questa soluzione è dovuta a Schwarzschild (1916). La massa m che crea il campo è posta
            nell'origine del sistema di riferimento. Il punto P, in cui calcoliamo il campo, dista r dal centro.
            Teta e fi sono gli angoli che definiscono la latitudine e la longitudine del punto P (coordinate 
            sferiche). La formula della metrica del campo creato da una massa puntiforme è :

                        

             dove rg è il cosiddetto raggio gravitazionale (k la costante di gravitazione di Newton) :

                        

           Le coordinate r, teta, fi e t sono coordinate curvilinee in uno spazio-tempo curvo e sono definite
           in questa metrica in modo che :

                 -1- la circonferenza con nel centro la massa che crea il campo e raggio r sia 2 pigreco r 
                       (ciò non è scontato, perchè lo spazio, in questo caso, non è euclideo.
                 -2- essendo il campo a simmetria centrale, teta e fi sono gli usuali angoli che determinano
                       la latitudine e la longitudine.
                 -3- il tempo t è misurato da un orologio posto all'infinito dove il campo è nullo. (in conformità
                       con il fatto che g00 tende ad 1 per r tendente all'infinito, ovvero che all'infinito x0 è uguale
                       al tempo proprio). Si noti che valgono le condizioni per cui gli orologi possono essere
                       sincronizzati in tutto il campo. 

           Osservando la formula si nota subito che per r = rg (cioè per tutti i punti di una superficie sferica
           di raggio pari al raggio gravitazionale) il coefficiente di dt2 si annulla e quello di dr2 va all'infinito.
           Inversamente, per r = 0, cioè dove è posizionata la massa che crea il campo, il primo coefficiente
           va all'infinto e l'altro va a zero.

           Un comportamento divergente nell'origine è nelle aspettative, in quanto, a distanza nulla dalla 
           sorgente del campo (che è puntiforme) la forza gravitazionale deve essere infinita (come nella  
           formula di Newton), così come all'infinito deve essere nulla. Il comportamento divergente per 
           r = rg, invece, risultò del tutto inatteso e rimase inspiegato fino agli anni 40.

           La metrica di Schwarzschild proponeva un caso inatteso ed apparentemente inspiegabile. 
           Nelle teorie scientifiche spesso succedono questi casi. Una teoria, se è ben posta, spiega i 
           fenomeni conosciuti e ne prospetta dei nuovi che poi devono essere compresi e verificati 
           dall'esperienza.

           Inizialmente si pensò che una particella, venendo dall'esterno, non potesse entrare nella sfera di
           raggio rg. Questa sfera, detta la sfera di Schwarzschild, fu ipotizzato essere un limite invalicabile 
           per una particella che cadesse verso il centro. Fu solo negli anni 40 che si trovò una  interpretazione 
           più esatta a questo fatto apparentemente strano e che portò all'ipotesi dei buchi neri.

           In effetti, si comprese che una particella cadendo verso il centro, entra di fatto nella sfera di 
           Schwarzschild, ma poi, non ne può più uscire.

           Se la massa di una certa distribuzione di materia è sufficientemente grande e gli atomi possono
           avvicinarsi liberamente, si ha il fenomeno del collasso gravitazionale. Ciò può accadere in una 
           stella che sta esaurendo il combustibile nucleare che la tiene in vita (l'idrogeno). Raffreddandosi,
           la stella, se la massa è sufficientemente grande, comincia a contrarsi e a ridursi di volume  fino a 
           densità enormi (col raffreddamento progressivo, la gravità, che è sempre centripeta, vince la   
           repulsione elettrica fra i protoni i quali vengono compattati sempre più e combinati con gli 
           elettroni fino a che la stella diventa composta da soli neutroni).

           Quando (se ciò è possibile) tutta la materia di un corpo che collassa entra dentro la sfera di 
           Schwarzschild di quel corpo (per la terra rg = 0,9 cm, per il sole rg = 3 km),  si crea un fenomeno  
           del tutto nuovo. Il campo gravitazionale diviene così intenso da curvare talmente lo spazio-tempo 
           a tal punto che nulla può più uscire da quella sfera, neanche la luce. Si ha così la nascita di un buco
           nero.

           La sfera di raggio rg si chiama anche orizzonte degli eventi.

           Un buco nero, per la sua caratteristica di non emettere alcunchè non è visibile e quindi non
           può essere osservato direttamente. Una verifica dell'esattezza di questa teoria è assai problematica,
           però, indirettamente, si possono notare stelle che ruotano velocemente attorno ad un punto e che 
           vengono risucchiate con emissioni di scie di materia e cose simili. Evidenze di fenomeni di questo 
           tipo cominciano ad essere numerose per cui si può dedurre che siano causati da ipotetici buchi neri.

           Recentemente è stata fatta l'ipotesi che in effetti un buco nero non è poi così nero, esso emette
           materia e radiazione anche se in misura minima. Questo avverrebbe per fenomeni legati alla 
           meccanica quantistica. In meccanica quantistica, una particella può superare, con una certa
           probabilità (non nulla) anche una barriera di potenziale che secondo la meccanica classica 
           sarebbe insuperabile. Questo fenomeno, detto effetto tunnel, fa sì che io abbia una probabilità
           non nulla, per esempio, di saltare 10 metri. E' chiaro che questa probabilità è pressochè 
           nulla, però, per la legge dei grandi numeri, se facessi infiniti tentativi, avrei una frequenza di risultati 
           positivi uguale alla probabilità teorica.

           In una stella collassata vi è un numero grandissimo di particelle, per cui qualcuna esce di fatto
           dal buco nero. Un buco nero evapora lentamente .

           Consideriamo una particella che cade liberamente attratta dalla massa posta al centro. Il processo
           può essere visto in due modi (le considerazioni che seguono sono ricavate analizzando matematicamente
           la metrica di Schwarzschild ) :

                  -1- dal sistema di riferimento di Schwarzschild (sistema di riferimento all'infinito) : supponiamo 
                        che la particella cada radialmente con velocità iniziale nulla. Essa verrà vista cadere verso 
                        il centro fino a raggiungere l'orizzonte degli eventi. La particella verrà vista avvicinarsi a tale 
                        superficie, senza mai superarla, in un tempo infinito e con velocità tendente a zero. Per il 
                        sistema di riferimento all'infinito, quindi, la particella non oltrepassa l'orizzonte degli eventi 
                        per poi cadere nel centro.
                  -2- dal sistema di riferimento solidale con la particella che cade : da questo sistema, la particella 
                        viene vista cadere verso il centro, oltrepassare l'orizzonte degli eventi, e poi cadere nel centro 
                        del campo che rappresenta una vera singolarità. Il tutto avviene in un tempo proprio (tempo 
                        misurato dall'orologio solidale con la particella) finito. Quando la particella oltrepassa l'orizzonte 
                        degli eventi la sua velocità "propria" diventa uguale alla velocità della luce.

           Le due descrizioni dello stesso fenomeno potrebbero sembrare contradditorie. In effetti non lo sono. Sono 
          due scenari diversi visti da due sistemi di riferimento diversi.

           Il processo di caduta di una particella verso il centro gravitazionale può essere preso come prototipo per
           descrivere il fenomeno più complesso del collasso gravitazionale che avviene per un sistema formato da
           moltissime particelle.

           Se consideriamo le particelle non interagenti fra di loro, il collasso gravitazionale è descrivibile come sopra
           (per una singola particella). Siccome la mutua interazione fra le particelle oltre una certa densità diviene
           determinante, la formazione di un buco nero è un fenomeno molto più complesso di quanto descritto per
           una singola particella e necessita della meccanica quantistica (che descrive appunto le interazioni fra le
           particelle).

           La ricerca di una teoria completa gravitazionale e quantistica rappresenta la frontiera della fisica contemporanea.

 - 07 - Conseguenze della RG.

           Analizzando l'equazione di Einstein si perviene all'individuazione di alcuni "effetti" non riscontrabili nella teoria 
           gravitazionale classica di Newton. Ne accenniamo alcuni :

                  -1- spostamento verso il rosso (red shift) gravitazionale : nella metrica di Schwarzschild notiamo che 
                        il tempo proprio è legato al tempo x0 dalla relazione :

                           

                        valida per r >= rg. Ciò significa che il tempo proprio viene visto scorrere più lentamente rispetto  
                        all'orologio posto all'infinito. Consideriamo allora un orologio posto sulla superficie del sole.
                        Dall'infinito questo orologio viene visto marciare più lentamente per causa del campo gravitazionale
                        abbastanza intenso che è presente sulla superficie del sole. In effetti sul sole non potremmo mai
                        mettere un orologio, data l'enorme temperatura, però possiamo considerare gli orologi "naturali" che 
                        già vi sono posizionati : gli atomi eccitati , che con le loro transazioni elettroniche emettono righe
                        spettrali ben definite. Consideriamo, per esempio, una riga dell'idrogeno eccitato ad una data 
                        temperatura. A causa della deformazione spazio-temporale prodotta dal campo gravitazionale
                        del sole, noi dovremmo vedere questa riga con una frequenza minore di quella prodotta qui sulla 
                        terra a parità di energia. Dovremmo vedere quella riga più rossa del normale. Questo fenomeno 
                        si chiama red shift gravitazionale. 

                  -2- spostamento del perielio di mercurio : mercurio è il pianeta più vicino alo sole e la sua orbita
                        deve risentire più di ogni altro pianeta dell'incurvamento spaziale generato dal campo
                        gravitazionale solare. Gia da metà '800 era nota una piccola variazione (43" per secolo) del
                        perielio di mercurio secondo la quale il pianeta non percorre una ellisse chiusa, bensì compie
                        un'orbita a "rosetta". Questa anomalia non trovava una spiegazione nell'ambito della teoria
                        newtoniana. All'interno della RG questo fenomeno trova una spiegazione nell'incurvamento
                        spaziale che in prossimità del sole è apprezzabile. Per comprendere meglio quanto il campo
                        incurvi lo spazio, supponiamo di misurare la distanza fra due punti posti su un raggio nella
                        metrica di Schwarzschild (che rappresenta un campo a simmetria radiale come quello del 
                        sole) :



                        Un semplice calcolo porta alla formula :

                            

                        Da essa si deduce che la lunghezza del segmento AB non è uguale alla differenza fra r2 e r1,
                        come accadrebbe se lo spazio fosse piatto, ma è maggiore. Solo all'infinito, lontano dalla
                        sorgente del campo,  lo spazio diventa piatto ed il segmento AB misura r2 - r1. 

                 -3- deviazione della posizione apparente delle stelle nelle vicinanza della superficie solare : se lo
                       spazio è incurvato dal campo gravitazionale del sole, un raggio di luce che passa nelle sue
                       vicinanze (dove l'incurvamento è maggiore ed il fenomeno più rilevabile) non compie un cammino
                       rettilineo (come se lo spazio fosse euclideo). Le stelle posizionate (apparentemente) nei pressi 
                       della superficie del sole devono allora avere la loro luce deviata dal campo gravitazionale solare.
                       Il sole fungerebbe allora da "lente gravitazionale" e le stelle apparirebbero spostate rispetto alla
                       posizione che avrebbero lontane (apparentemente) dal sole. Questo fenomeno è verificabile solo 
                       durante le eclissi solari totali.

                -4- onde gravitazionali : come ogni campo, anche il campo gravitazionale deve propagarsi nello
                      spazio con una velocità finita. Einstein stesso ipotizzò che anche il campo gravitazionale si
                      propagasse per onde gravitazionali dotate della velocità della luce.  Le onde gravitazionali
                      possono essere immaginate come le "increspature" del campo gravitazionale ovvero del 
                      tensore metrico che lo descrive. Le onde gravitazionali sono state anche quantizzate ed è 
                      stata fatta l'ipotesi che esse viaggino sotto forma di particelle, i gravitoni, così come le
                      onde elettromagnetiche viaggiano sotto forma di fotoni. Le onde gravitazionali sono molto
                      deboli per cui a ancora oggi non sono state rivelate con esattezza. 

 - 08 - Cosmologia.

           L'equazione di Einstein è in grado di descrivere l'evoluzione sia del campo gravitazionale (il tensore
           g(i,k)) che del moto delle masse al suo interno. L'equazione di Einstein è in grado di descrivere,
           quindi, anche la struttura dell'universo nel suo insieme (in larga scala, ovvero quando i fenomeni
           quantistici sono ininfluenti). Questo fatto assolutamente nuovo (ricordiamo l'ineguatezza della 
           teoria newtoniana a tale scopo) fu subito messo in luce da Einstein stesso (1917). 

           Da quel momento la cosmologia è diventata una branca della fisica dinamica e vitale come non mai in
           passato. Si iniziò a ipotizzare modelli di universo basati sui presupposti più svariati ma che sempre 
           dovessero soddisfare l'equazione di Einstein. Furono ipotizzati modelli omogenei o non, isotropi o non, 
           aperti, chiusi, statici  o non. 

           Fu solo nel 1929 che con la scoperta (dovuta a Hubble) dello spostamento verso il rosso delle 
           galassie (red shift cosmologico) la cosmologia prese una direzione ben precisa : l'universo sembra
           espandersi.

           Osservando le galassie esse appaiono più rosse di quello che dovrebbero essere. Ciò si può spiegare
           in base all'effetto Doppler. Questo effetto, che noi sperimentiamo comunemente nel campo delle  
           onde acustiche (il fischio del treno che ci viene incontro è più alto mentre è più basso quando si
           allontana), afferma che la frequenza di un'onda di qualunque tipo (acustica, elettromagnetica) emessa
           da una sorgente in moto relativo rispetto ad un osservatore appare maggiore se la sorgente si muove
           in direzione dell'osservatore, minore se si allontana.

           Ora, se le galassie appaiono più rosse, ciò potrebbe significare o che in esse vi è un campo gravitazionale
           intensissimo (red shift gravitazionale) o che esse si stanno allontanando rispetto a noi (red shift cosmologico).
           Siccome non vi è motivo di pensare che le galassie lontane abbiano campi gravitazionali particolarmente
           intensi, si può affermare che esse appaiono più rosse perchè si allontanano da noi.

           L'universo, quindi, si sta espandendo e, portando il processo all'indietro nel tempo, probabilmente in 
           un lontano passato esso doveva essere tutto concentrato in un volume limitato da cui, poi, è iniziata
           l'espansione. Questa è l'ipotesi del big bang che oggi rappresenta l'ipotesi più avvalorata sulle origini
           e l'evoluzione del cosmo.

           Se l'universo si espande, ci possono essere due possibilità. O l'espansione dura per sempre e l'universo
           è destinato a diventare sempre più rarefatto e freddo oppure, dopo l'espansione, se la massa totale è
           sufficientemente grande, l'universo comincia ad implodere (big crunch) fino a tornare alla situazione
           iniziale per poi, magari, riesplodere e ricominciare ad espandersi e questo all'infinito.

           L'avverarsi di uno o l'altro dei modelli dipende dalla massa complessiva dell'universo. La misura della 
           massa totale è un problema assai complesso perchè la massa di cui ci perviene "informazione" è solo 
           quella che emette radiazione elettromagnetica (al momento noi "vediamo" l'universo attraverso 
           telescopi ottici,  radiotelescopi, telescopi a raggi infrarossi, x ecc. ma tutti solo in grado di captare
           radiazioni elettromagnetiche).

           Nell'universo, però, c'è sicuramente anche della massa della quale non ci perviene informazione, la 
           cosiddetta massa oscura. E' formata almeno dai buchi neri che dovrebbero essere numerosi, dai 
           neutrini, nel caso essi abbiano massa non nulla (non è ancora chiara se la massa del neutrino è nulla
           o no), e che sono numerosissimi.

           Se consideriamo solo la massa visibile, sembra che essa sia troppo piccola per contrapporsi all'espansione
           per cui l'universo dovrebbe espandersi per sempre. Il problema è aperto ma, mentre si stanno facendo
           stime ed ipotesi sempre più approfondite sulla massa oscura, una scoperta recente (ancora in fase di 
           verifica) è destinata a rivoluzionare tutte le nostre idee riguardo al cosmo : sembra che l'espansione
           dell'universo stia addirittura accelerando (in positivo).

           Siamo forse alla vigilia della scoperta di una nuova forza ? 

Fine. 

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