E-school  di  Arrigo Amadori

Quesiti 

Quesito 002.

1) come faccio a dimostrare che l'operatore Hamiltoniano è hermitiano ? 

2) esiste un metodo universale per l'individuazione degli autovalori (e relative autofunzioni associate) di un operatore qualsiasi ?

Soluzione.

1) 

Definiamo il valore medio di una grandezza $f$ corrispondente all'operatore lineare $F$ nel seguente modo :

        $bar f  = <Psi|F Psi>$ .

Siccome le grandezze fisiche devono essere reali, avremo :

        $(<Psi|F Psi>)^** = <Psi|F Psi>$

dove con $**$ indico il coniugato complesso.

Essendo per definizione :

        $(<Psi_1|Psi_2>)^** = <Psi_2|Psi_1>$,

avremo :

        $(<Psi|F Psi>)^** = <Psi|F Psi> = <F Psi|Psi>$ .

Introduciamo l'aggiunto $F^+$ definito da :

        $<F Psi_1|Psi_2> = <Psi_1|F^+ Psi_2>$ .

Avremo allora :

        $<F Psi|Psi> = <Psi|F^+ Psi>$

e, dovendo essere :

        $<Psi|F Psi> = <F Psi|Psi>$,

si ricava infine :

        $<Psi|F Psi> = <Psi|F^+ Psi>$

da cui :

        $F = F^+$.

Gli operatori della MQ devono perciò essere autoaggiunti.

Questo è quindi un prerequisito, non una conseguenza !!!

Il discorso fatto sopra parte dalla definizione di valore medio (che ha un significato fisico molto "concreto"). Se si vuole rendere la trattazione ancora più astratta, basta accontentarsi del fatto che un operatore autoaggiunto ha autovalori reali ed autovettori ortogonali ... Queste proprietà degli operatori autoaggiunti sono quindi la base della meccanica quantistica.

L'operatore hamiltoniano $H$, in particolare, deve essere autoaggiunto. Esso è ricavato da considerazioni di vario genere ed utilizzando l'operatore quantità di moto. Tutti i passaggi matematici salvano il fatto che $H$ sia autoaggiunto. La cosa è riscontrabile per esempio sul Landau, meccanica quantistica (non relativistica).

Una dimostrazione a posteriori di questa proprietà è fattibile analiticamente a partire dalla formula classica passando per la dimostrazione che l'operatore quantità di moto è autoaggiunto e tenendo presente che $T = bb p^2 / (2m)$, dove $T$ è l'operatore energia cinetica, $bb p$ l'operatore quantità di moto (il grassetto sta ad indicare che è un operatore a struttura vettoriale) ed $m$ la massa della particella. 

Una dimostrazione più diretta consiste nel verificare che :

        $<d^2/(dx^2) Psi|Psi> = <Psi|d^2/(dx^2) Psi>$ 

ovvero, passando agli integrali e limitandoci al caso monodimensionale, che :

        $int _(-oo)^(+oo)(d^2/(dx^2) Psi)^**Psi dx = int _(-oo)^(+oo)Psi^**d^2/(dx^2) Psi dx$ .

Ponendo :

        $Psi = Psi_1 + iPsi_2$,

eseguendo alcune integrazioni per parti e considerando $Psi$ nulla all'infinito, la dimostrazione è elementare.

2) 

In teoria sì. 

Se lo spazio su cui si opera è ad infinite dimensioni ed è uno spazio di Hilbert su $C$, è possibile trasformare un operatore lineare qualsiasi (in linea di principio) in forma di matrice infinita. A quel punto, il problema degli autovalori è riconducibile al caso di una matrice $n xx n$.

Questa è la traccia del ragionamento per l'operatore lineare $T$. Si sceglie una base ortonormale ${e_1,e_2,...}$ e si applica la linearità dell'operatore. Si ha :

        $y = Tx = T(x_1e_1 + x_2e_2 + ...) = x_1Te_1 + x_2Te_2 + ... = x_1epsilon_1 + x_2epsilon_2 + ... = $

        $= x_1((epsilon_(11)),(epsilon_(12)),(vdots)) + x_2((epsilon_(21)),(epsilon_(22)),(vdots))  + ... = $

        $= [(epsilon_(11),epsilon_(21),...),(epsilon_(12),epsilon_(22),...),(...,...,...)]((x_1),(x_2),(vdots))$ .

A questo punto si introduce l'equazione agli autovalori e si ricava l'equazione ad infiniti termini che fornisce gli infiniti autovalori. Conseguentemente, si ricavano gli autovettori.

La meccanica quantistica costruita così si chiama meccanica matriciale ed è equivalente alle altre versioni di meccanica quantistica storicamente prodotte.

In pratica le cose sono molto complicate (direi impossibili da risolvere analiticamente se non in pochi casi) e si fa ricorso al calcolo numerico.

Salvo errori ed omissioni.

Fine.

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