Analisi III
Operatori di Poisson
01 - Definizioni e proprietà.
Siano :
, 
con k = 1, 2, ..., n
dove n è un numero naturale, a è un numero reale positivo, x appartiene a
e 
.
Il coefficiente
è dato da :
.
Si noti che :
.
Detto questo, si chiamano operatore di Poisson e suo coniugato gli operatori
e 
definiti da :
, 
con k = 1, 2, ..., n
dove f è una funzione qualsiasi da
a C per cui sono definite le convoluzioni :
, 
.
Valgono i seguenti teoremi e proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Sia n = 1 , z = x + iy con y > 0 . Allora si ha :
essendo f una qualsiasi funzione da R a
per cui i due integrali abbiano senso.
- 2 - La funzione
appartiene a 
per ogni 
.
La funzione
appartiene
per ogni 
.
- 3 - Sia
e sia 
.
Allora :
, 
.
Sia
e sia
. Allora :
, 
con k = 1, 2, ... n .
(dove
indica l'insieme degli operatori lineari continui da 
a 
e dove
indica
la norma dell'operatore lineare continuo T da
a ).
- 4 - Sia f una funzione appartenente a
dove 
. Sia a un numero
reale positivo. Si ha allora :
.
- 5 - Valgano le condizioni del precedente teorema. Si ha allora :
.
- 6 - Sia a > 0 , b > 0 . Allora si ha :
per ogni
f appartenente a
con 
per ogni
f appartenente a
con
per ogni
f appartenente a
con .
- 7 - (
come funzione armonica) Si ha che la funzione 
è
armonica sul semispazio
, cioè :
per
x appartenente a
e y > 0 .
Si deduce che se f appartiene a
, con
, anche la funzione
è armonica
su . Si ha
anche, come si sa,
. Si conclude che la
funzione
è soluzione del problema di Dirichlet :
per
x appartenente a
e y > 0
con :
.
Fine.
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