E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Operatori di Poisson


01 - Definizioni e proprietà.

Siano :

          ,    con  k = 1, 2, ..., n 

dove  n  è un numero naturale,  a  è un numero reale positivo,  x  appartiene a  e  .

Il coefficiente    è dato da :

        .

Si noti che :

        .

Detto questo, si chiamano operatore di Poisson e suo coniugato gli operatori    e 
definiti da :

        ,    con  k = 1, 2, ..., n  

dove  f  è una funzione qualsiasi da    a  C  per cui sono definite le convoluzioni :

          ,  .

Valgono i seguenti teoremi e proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    Sia  n = 1 ,  z = x + iy  con  y > 0 . Allora si ha : 

                           

                   essendo  f  una qualsiasi funzione da  R  a    per cui i due integrali abbiano senso.

        - 2 -    La funzione    appartiene a    per ogni    . 

                   La funzione    appartiene    per ogni  .

        - 3 -    Sia    e sia    . Allora :

                              ,  .

                   Sia  e sia  . Allora :

                            ,    con  k = 1, 2, ... n .

                   (dove    indica l'insieme degli operatori lineari continui da    a   
                   e dove   indica la norma dell'operatore lineare continuo  T  da    a  ).

        - 4 -    Sia  f  una funzione appartenente a    dove  . Sia  a  un numero reale 
                   positivo. Si ha allora :

                            .

        - 5 -    Valgano le condizioni del precedente teorema. Si ha allora :

                            .

        - 6 -    Sia  a > 0 , b > 0 . Allora si ha :

                              per ogni  f  appartenente a    con 

                              per ogni  f  appartenente a    
                                                                                        con   

                              per ogni  f  appartenente a    con  .

        - 7 -    ( come funzione armonica) Si ha che la funzione    è 
                   armonica sul semispazio  , cioè :

                              per  x  appartenente a  e  y > 0 .

                   Si deduce che se  f  appartiene a    , con  , anche la funzione  
                     è armonica su  . Si ha anche, come si sa,
                   . Si conclude che la funzione  

                              

                   è soluzione del problema di Dirichlet :

                              per  x  appartenente a  e  y > 0

                   con :

                            .

Fine.

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