E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Operatore di Weierstrass


01 - Definizione e proprietà.

Sia :

       

dove  n  è un numero naturale,  a  è un numero reale positivo e  x  appartiene a  (per l'esponenziale 
abbiamo usato la notazione  exp()  per esigenze di grafica). 

Si noti che :

        .

Si chiama operatore di Weierstrass l'operatore  definito da :

       

dove  f  è una funzione per cui è definita la convoluzione :

        .

Valgono i seguenti teoremi e proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    Sia  f  una funzione appartenente a    dove  . Sia  a  un numero reale 
                   positivo. Si ha allora :

                            .

        - 2 -    Valgano le condizioni del precedente teorema. Si ha allora :

                            .

        - 3 -    Valgano le condizioni del precedente teorema e sia  b  reale positivo. Si ha allora :

                            .

         - 4 -    (equazione del calore) Si ha :

                           

                   dove  x  appartiene a  e  t  è reale positivo. Da ciò si deduce che la funzione :

                            ,

                   essendo  f  è una funzione appartenente a  , è soluzione del problema :

                              

                   dove  x  appartiene a  e  t  è reale positivo, con :

                            .

Fine.

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