Analisi III
Operatore di Weierstrass
01 - Definizione e proprietà.
Sia :
dove n è un numero naturale, a è un numero reale positivo e x appartiene a
(per l'esponenziale
abbiamo usato la notazione exp() per esigenze di grafica).
Si noti che :
.
Si chiama operatore di Weierstrass l'operatore
definito da :
dove f è una funzione per cui è definita la convoluzione :
.
Valgono i seguenti teoremi e proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Sia f una funzione appartenente a
dove 
. Sia
a un numero reale
positivo. Si ha allora :
.
- 2 - Valgano le condizioni del precedente teorema. Si ha allora :
.
- 3 - Valgano le condizioni del precedente teorema e sia b reale positivo. Si ha allora :
.
- 4 - (equazione del calore) Si ha :
dove x appartiene a
e t è reale positivo. Da ciò si deduce che la funzione :
,
essendo f è una funzione appartenente a
, è soluzione del problema :
dove x appartiene a
e t è reale positivo, con :
.
Fine.
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