Sul numero di Nepero  e la funzione esponenziale  (una introduzione)

Consideriamo la semiretta    di equazione    con    e l'insieme  delle curve    di equazione    con  .

Notiamo subito che ogni curva    passa per il punto  .

Costruiamo la corrispondenza iniettiva fra i punti (sotto indicati) della semiretta    (escludendo il punto  ) e le curve di    nel seguente modo :

        .

E' chiaro che per la successione    vale :

        .

Graficamente :

       

Il numero di Nepero    è definito come :

        .

Deduciamo allora che :

        - 1 -      per cui le funzioni   tendono alla funzione esponenziale 

        - 2 -    la retta    è tangente alla curva    nel punto 

        - 3 -    a causa della tangenza in  , essendo    il coefficiente angolare della retta   

        - 4 -   

                   cioè :

                   .

Il numero di Nepero è così importante in matematica soprattutto a causa di quest'ultimo risultato, cioè per il fatto che la derivata della funzione esponenziale è uguale alla funzione esponenziale stessa, ovvero  .

Fine.