Gianfranco Cimmino (1908 – 1989), figlio dell’orientalista napoletano Francesco, mostrò un precoce interesse per la Matematica: laueratosi nel 1927 con M. Picone, divenne – insieme con R. Caccioppoli, C. Miranda e G. Scorza Dragoni – uno dei suoi “quattro moschettieri”; già nel 1932 era Libero Docente di Analisi Matematica. Trasferitosi a Bologna nel 1939, qui continuò la sua lunga attività scientifica ed universitaria (assumendo anche la posizione di Preside della Facoltà di Scienze).

Fu uomo dalla profonda cultura non solo scientifica (era socio dell’Accademia dei Lincei, dell’Accademia Pontaniana e dell’Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche), ma anche umanistica: le sue “reminiscenze” scolastiche erano tali da consentirgli di assistere personalmente i suoi sette figli nelle versioni di latino e di greco; particolare interesse nutriva per la Divina Commedia (vedi la sua nota “Dante e la Matematica”); parlava correntemente il tedesco (imparato durante una borsa di studio presso la prestigiosa Università di Gottinga), il francese e l’inglese, ed era anche in grado di discutere con i matematici russi nella loro lingua.

La maggior parte delle sue opere riguardano la teoria delle equazioni lineari alle derivate parziali, nella quale ha ottenuto importanti risultati. Altri argomenti toccati dai suoi vasti interessi comprendono: i sistemi di infinite equazioni lineari differenziali ed integrali con un numero infinito di incognite, il calcolo delle variazioni, la geometria differenziale, le applicazioni conformi e quasi-conformi, gli spazi vettoriali topologici, la teoria delle (ultra)-distribuzioni e l’analisi numerica (particolarmente per calcoli matriciali).

 

COME LA MATEMATICA È VISTA OGGI DALL'OCCHIO DI UN MATEMATICO

Nota [1] di GIANFRANCO CIMMINO Accademico Benedettino

1. - In una intervista di carattere divulgativo pubblicata il 6 luglio 1986 nel quotidiano romano «II Tempo», ho cercato di dare della matematica, a un ampio pubblico di lettori in massima parte non specialisti, un'immagine assai diversa da quella che troviamo presso molti, non solo incompetenti, ma anche persone di cultura e scienziati.

Tomo qui più diffusamente sull'argomento, scusandomi coi colleghi matematici, se per loro molto di quel che dirò sarà troppo ovvio, e se mi esprimerò a volte in termini eccessivamanete elementari per poter riuscire comprensibile a una larga cerchia di persone a cui saranno sembrati oscuri alcuni accenni assai fugaci di quell'intervista.

Purtuttavia, la mia intenzione non è ora, come là, soltanto quella della divulgazione scientifica. A mio avviso, infatti, la prospettiva in cui sono da me presentate certe idee fondamentali dovrebbe esser di guida a scelte e impostazioni didattiche in buona parte diverse da quelle correnti, nell'insegna­mento a livello medio-superiore della matematica, affinchè di questa, a titolo puramente culturale, rimanga, anche a coloro che di essa non avranno mai più bisogno nella vita, l'immagine, appunto, che in principio dicevo. Mi rivolgo pertanto anche in particolar modo a quei matematici, che s'interessano ai problemi della didattica a tutti i livelli, augurandomi che questa mia Nota dia loro qualche motivo di riflessione.

Il mio discorso prenderà l'avvio da alcune considerazioni sul modo di intendere la parola «dimostrazione» in campo scientifico. Partiremo da un semplice esempio. Se proviamo a scomporre un numero pari nella somma di una coppia di numeri dispari, vediamo che è sempre possibile fra queste coppie trovarne una, o anche più d'una, formata da due numeri primi. Per esempio, 10 è scomponibile in 3 + 7 o 5 + 5, e 24 in 7 + 17 o 11 + 13, e 100 in 17+83 o 47 + 53. Con una enorme quantità di prove su numeri pari, servendosi di un buon elaboratore, si può controllare che ciò risulta vero senza eccezione alcuna.

Proprio allo stesso modo, cioè con una enorme quantità di prove, si può controllare la validità di una di quelle che vanno sotto il nome di leggi della fìsica. Per esempio, tanto per fissare le idee, pensiamo alla legge della caduta libera dei gravi nel vuoto.

Fermiamoci un momento a confrontare tra loro queste due semplici proposizioni: A) ogni numero pari è scomponibile nella somma di due numeri primi, B) ogni grave cade liberamente nel vuoto con moto uniformemente accelerato, e ognuno con la stessa accelerazione. Per quale motivo la seconda si ritiene vera, perché dimostrata sperimentalmente, e la prima no? A mio parere, niente meglio della riflessione su un interrogativo come questo può farci intendere la differenza tra finito e infinito, quale essa intuitivamente ci appare.

Per noi matematici, la proposizione A) è tutt'ora una congettura, cioè un'affermazione, di cui ci si aspetta di poter provare la verità. Secondo noi non basta averne verificata la validità nel caso anche di un'enorme quantità di numeri pari, per avere la certezza che essa vale sempre, per tutti i numeri pari, giacché l'insieme dei numeri pari è infinito, mentre le, sia pure incredibilmente tante, prove che possiamo fare con l'elaboratore saranno sempre in numero finito.

Quella «certezza matematica», di cui sentiamo dire tante volte nel linguaggio corrente, sembra quasi significare qui certezza del verifìcarsi di qualcosa che si viene affermando, non solo in un insieme finito, ma anche in un insieme infinito di casi possibili da prendersi in considerazione.

Ma rammentiamo anzitutto che cosa precisamente intendiamo noi matema­tici per insieme finito o infinito.

E teniamo presente, a scanso di equivoci, che qui non verrà mai usata la parola «infinito» nel senso di quelle frasi di cui ci si serve abitualmente, quando si parla di limiti.

2. - Premetto che solo in epoca abbastanza recente, come tutti sanno, è stata presa esplicitamente coscienza del fatto che l'idea di insieme è alla base di tutta la matematica, sino al punto di far ritenere ai docenti assai utile didatticamente che su tale idea si attiri, fin dalla prima infanzia, l'attenzione dei discenti.

Così, fin da bambini si è ormai educati dalla scuola a riflettere sul fatto che diversi oggetti possono essere considerati come formanti un tutto, detto insieme, di cui essi sono detti elementi, e poi che un insieme può essere contenuto in un altro, cioè formato da una parte degli elementi di questo, e poi che di due insiemi si può considerare l'unione, cioè l'insieme formato dagli elementi o dell'uno o dell'altro, compresi, dunque, se ve ne sono, anche gli elementi comuni ad entrambi, formanti quello che si chiama l'insieme intersezione dei due.

Un insieme è detto finito, quando i suoi elementi si possono contare, trovandosi così il numero degli elementi da cui esso è formato. E un insieme finito è ugualmente numeroso, cioè ha lo stesso numero di elementi, rispetto a un altro, quando fra i suoi elementi e quelli di quest'altro si può stabilire una «corrispondenza biunivoca», come si dice con termine tecnico: per esempio, il numero dei commensali è lo stesso del numero delle sedie disposte attorno alla mensa, quando è possibile far corrispondere a ognuno di essi una di queste e viceversa, in maniera che nessun commensale rimanga in piedi e nessuna sedia rimanga vuota.

Anche l'idea di corrispondenza, che si può sempre, se si vuole, stabilire fra gli oggetti di un insieme e quelli di un altro, è alla base di tutta la matematica e anch'essa ha ottenuto ormai il dovuto riconoscimento didattico nell'attenzione oggi dedicatale fin dall'insegnamento elementare. Per esempio, un insieme di ragazzi è in corrispondenza con un insieme di nomi propri, quando a ognuno di quelli spetta uno di questi. E se a più d'uno dei ragazzi corrisponde lo stesso nome, allora la corrispondenza non è biunivoca, come nel precedente esempio, in cui gli insiemi erano quello dei commensali e quello delle sedie attorno alla mensa.

Univoca essa verrà detta, se a ciascuno dei ragazzi corrisponde uno solo dei nomi considerati, cioè nessuno ha più nomi, e biunivoca se inoltre ciascuno di questi è il nome di uno solo di quelli.

3. - Ai bambini, naturalmente, si cominciano col proporre a scuola, come esempi su cui riflettere, soltanto insiemi di oggetti percepibili dai nostri sensi.

Ma, come terza idea alla base di tutta la matematica, dopo quelle di insieme e di corrispondenza, troviamo un esempio di insieme, che non ha riscontro in nulla di sensibile, cioè l'insieme di tutti i numeri che si ottengono contando, a partire dallo zero: essi sono quegli oggetti mentali, che siamo soliti indicare coi simboli 0, 1, 2, ... e chiamiamo «numeri naturali». Per brevità di linguaggio, daremo il nome N a questo insieme e N + a quella sua parte che rimane togliendone lo zero.

Fu merito indiscusso di Giuseppe Peano quello di avere esplicitato ciò che caratterizza l'insieme N e che inoltre consente, come ora ricorderemo, un tipo di ragionamento proprio della sola matematica: caratteristica di N è, nella formulazione di Peano, l'esistenza di una corrispondenza biunivoca (n n + 1) fra N e N +, tale che, se un'affermazione è vera per 0 e per ogni numero (n +1) di N + che corrisponda a un numero (n) di N per cui essa sia vera, allora essa è di conseguenza vera per tutti i numeri di N. Precisamente, nella corrispondenza biunivoca di cui qui si parla, si usa indicare il corrispondente in N + di ciascun numero di N come «successivo» di questo, e i successivi di 0, 1, 2, ... rispettivamente con 1, 2, ...

Due fatti, a proposito di questa «definizione assiomatica» di Peano dell'insieme N, vanno messi bene in evidenza.

Il primo riguarda l'esistenza di una corrispondenza biunivoca fra l'insieme N e l'altro N +, che è solo una parte di N. Una corrispondenza cosiffatta non sarebbe possibile in un insieme di oggetti sensibili, nel quale la parte non può essere ugualmente numerosa rispetto al tutto. Pensiamo al nostro precedente esempio (n. 2): se l'insieme delle sedie attorno alla mensa è uguale di numero a quello dei commensali, l'altro insieme di sedie formato da quelle che rimangono quando da quelle di prima se ne tolga una, farà restare necessaria­mente uno dei commensali in piedi, cioè non si potrà mettere in corrisponden­za biunivoca con l'insieme di essi.

Ebbene, insieme infinito vuol dire, nel linguaggio della matematica, esattamente questo: un insieme che si può mettere in corrispondenza biunivoca con una sua parte.

Dunque, l'insieme N è infinito in conseguenza della sua stessa definizione secondo Peano, e nessun insieme formato da oggetti sensibili è infinito.

Pensare all'insieme N come se fosse finito può portare a sofismi come quello famoso di Achille e della tartaruga, o può dar luogo a un senso di stupore come quello di Galileo, quando faceva osservare che l'insieme dei numeri pari, contenuto nell'insieme N +, anzi grossolanamente valutabile come una metà di questo, ha nondimeno la stessa numerosità di questo, perché ad ogni numero di N + si può far corrispondere il suo doppio, che è un numero pari, e ogni numero pari è a sua volta il doppio della sua metà, che è un numero di N +, riuscendo stabilita in tal modo una corrispondenza biunivoca fra N + e l'insieme dei soli numeri pari.

Il secondo fatto da segnalare nella definizione di Peano è quel ragionamen­to che permette di affermare qualche cosa che sia vera per tutti i numeri di N. Esso viene chiamato ragionamento «per induzione», prendendo questa parola dai filosofi, che la usano quando dal particolare si risale al generale, in contrapposto alla deduzione, che fa invece discendere il particolare dal generale.

Rimane ora chiarito ciò che dicevamo sulla proposizione A) (n. 1): solo se si riuscisse a ottenerla a conclusione di un ragionamento fondato in qualche modo sulla induzione matematica, essa sarebbe dimostrata per noi che, come abbiamo notato, non possiamo contentarci di una dimostrazione sperimentale.

4. - Questo tipo di discorso può estendersi alla geometria elementare. Fissiamo l'attenzione, per semplificare, solo sulla geometria piana: riga, tiralinee, compasso, mezzi per misurare lunghezze, aree, angoli si possono considerare come strumenti che ci consentono di provare sperimentalmente una quantità di affermazioni, i cosidetti «teoremi», che s'insegnano a scuola ai ragazzi, come, per esempio, quello di Pitagora.

Da questo punto di vista la geometria elementare ci appare come un primo capitolo della fisica; quel capitolo in cui gli esperimenti possono farsi non usando altri strumenti che quelli ora detti. E se poi a questi si aggiungono altri strumenti atti alla misura di durate temporali, forze, masse, per esempio, si avrebbero i capitoli noti sotto i nomi di cinematica, statica, dinamica.

Ma la matematica deve potersi costruire senza far ricorso a cose sensibili, come disegni, movimenti di corpi materiali e simili. Così, per esempio, limitandoci sempre al caso della geometria piana, per il matematico il punto non è il segno lasciato sulla carta da una matita, la retta non è quella tracciata con l'aiuto della riga, la circonferenza non è quella descritta dal compasso. Il disegno suggerisce, è vero, alcune proprietà fondamentali di quegli oggetti che chiamiamo punti, rette e così via: per esempio, le rette sono particolari insiemi di punti, per due punti «passa» una sola retta, cioè vi è una sola retta che li contiene entrambi, due rette hanno in comune un solo punto, o nessun punto, e in questo secondo caso si dicono parallele. Ma per il matematico, indipendentemente da ogni immagine visiva, la sola cosa che importa è il fatto di prendere in considerazione certi oggetti mentali da chiamarsi in un certo modo, per esempio, nel nostro caso, punti e rette, dotati di un certo gruppo di proprietà fondamentali, che ne costituiscono la definizione assiomatica (n. 3): vi è un certo numero di «assiomi», come si dice, ammessi senza dimostrazione, e perciò chiamati anche «postulati», cioè affermazioni di cui si postula la verità, dalle quali poi altre proprietà risulteranno di conseguenza, per via di successive deduzioni logiche costituenti le dimostrazioni.

Euclide, nei suoi Elementi, enunciò un preciso sistema di assiomi della geometria elementare, e il quinto di questi divenne famoso. Esso in sostanza: «dati nel piano una retta e un punto fuori di essa, per questo passa una, e una sola, retta parallela a quella».

Fin oltre la metà del secolo scorso si pensava di poter dimostrare che questo postulato euclideo era una conseguenza degli altri. E se ne tentava quella che si chiama una «dimostrazione per assurdo»: cioè, vediamo un po' a quali conseguenze logiche porterebbe la negazione di quello che afferma il postulato, e, se alla fine ne troveremo una assurda, cioè in contraddizione con gli altri postulati, vuol dire che quella negazione era inammissibile.

Così si è cominciato lo studio di tutte le conseguenze che avrebbe l'ammettere l'esistenza o di più d'una, o di nessuna parallela a una retta per un punto fuori di questa. La lista di tali conseguenze si allungava sempre e l'assurdo cercato non si trovava mai. E in tal modo sono nate le cosiddette «geometrie non euclidee».

E, ciò che per noi più conta, si è così chiarita l'idea che ogni capitolo della matematica è un «sistema ipotetico-deduttivo», come si dice, cioè parte da un certo insieme di assiomi riguardanti certi oggetti mentali chiamati con certi nomi e deduce poi le conseguenze logiche, che dagli assiomi si possono trarre.

5. - Giunti a intendere la matematica in questa maniera, non ci si dovrebbe poi meravigliare, se essa è stata scherzosamente definita come una scienza in cui non si sa di che cosa si parla, né se sia vero quello che si afferma.

Ci si accorge tuttavia che non si tratta di semplice banalità, come questo punto di vista farebbe sembrare, non appena si tengano presenti due fatti di fondamentale importanza.

In primo luogo, in ogni teoria matematica, la scelta degli assiomi e degli oggetti cui essi si riferiscono deve avere coerenza logica: si esige, cioè, che, a partire da essi, dopo una catena, che potrà essere anche lunghissima, di deduzioni, non si debba mai arrivare a una contraddizione.

In secondo luogo, una scelta di oggetti e di assiomi ad essi relativi, pur verificante una simile onerosa esigenza, se fosse del tutto cervellotica, riuscirebbe priva d'interesse. Una scelta interessante proviene quasi sempre dall'analogia con altra situazione precedentemente studiata, o dall'ispirazione fornita da cose e fatti concreti: già noti, o anche soltanto, come si dirà meglio più avanti (n. 6), fantasiosamente possibili.

Così, la geometria elementare è suggerita dal disegno delle figure che studia, anche se, come abbiamo cercato di mettere in evidenza (n. 4), essa deve potersi costituire come un capitolo della matematica del tutto indipen­dente dal disegno stesso.

Prendiamo, come altro esempio, uno dei più importanti concetti della matematica, fra quelli che s'incontrano nella scuola secondaria, il cosiddetto «insieme R dei numeri reali». Esso viene suggerito dalla pratica esigenza di misurare la lunghezza dei segmenti di retta, con l'ulteriore aggiunta di un segno + o -, se si vuole distinguere anche un verso di percorso sul segmento considerato. Tale insieme R si può definire mediante un sistema di assiomi suggerito dall'idea di quella misurazione.

Ma, dimenticando poi tale idea, così come, a edificio compiuto, si eliminano le impalcature usate per costruirlo, i numeri reali si possono introdurre in matematica come certi oggetti mentali, la cui definizione è costituita dal sistema di assiomi stesso, preso come punto di partenza.

La coerenza logica di tale sistema viene assicurata, in questo caso, dalla costruzione di «oggetti matematici» che effettivamente li verificano, costru­zione basata sulle sole tre nozioni primitive di insieme, corrispondenza fra insiemi (n. 2), insieme N dei numeri naturali (n. 3). Ciò può farsi in tanti diversi modi. Uno è, per esempio, quello derivante dalla nostra abitudine di indicare ogni numero reale per mezzo della cosiddetta «rappresentazione decimale», nella quale il segno + o è seguito da un numero naturale, da una virgola e da un allineamento di «cifre» prese fra le 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, in modo che ve ne siano, e non soltanto in numero finito, di diverse da 9; e ogni allineamento cosiffatto non è altro che una corrispondenza univoca fra l'insieme N + e l'insieme formato dai dieci segni, con cui indichiamo le cifre.

Man mano che si procede nello studio della matematica, si incontrano sistemi ipotetico-deduttivi riguardanti oggetti sempre più complessi; ma la coerenza logica degli assiomi non si può assicurare in altro modo che con la costruzione, ogni volta, di un «modello» formato da oggetti matematici nel senso ora detto, che li verifichino, così come, nel caso dell'insieme R, è, per esempio, la rappresentazione decimale.

E modelli di tale tipo si possono costruire, come è stato riconosciuto fin dal secolo scorso, sia per la geometria euclidea, sia per le geometrie non euclidee, che da quella differiscono soltanto perché fra gli assiomi, invece del quinto postulato di Euclide (n. 4), si prendono o quello che afferma l'esistenza di più parallele a una retta per un punto fuori di essa, o quello che nega del tutto l'esistenza di coppie di rette parallele, cioè fra loro prive di punti comuni.

6. - La matematica pura si occupa, dunque, di oggetti mentali coi quali le cose percepite dai sensi possono presentare qualche rassomiglianza, ma che potrebbero essere escogitati dalla nostra fantasia anche senza bisogno di quelle.

E molte volte è accaduto che la fantasia del matematico, lavorando liberamente, o guidata, se mai, soltanto da un criterio di carattere estetico, ha creato teorie, che solo in un tempo successivo si sono rivelate atte a formare un corrispettivo teorico di una serie di fatti osservati sperimentalmente. Vediamo cioè qualcosa di simile all'avverarsi nel futuro di quel che assai prima era stato immaginato da uno scrittore di fantascienza.

Per esempio, la cosiddetta «equazione di Tricomi», conosciuta dai matema­tici sotto questo nome, perché Tricomi fu il primo a studiarla, e senza pensare a nessuna applicazione concreta, è stata dopo molti anni trovata utile per spiegare il fenomeno del «bang» prodotto dagli aerei che arrivano a velocità superiore a quella di propagazione del suono.

Altro esempio famoso: la teoria detta da Ricci e Levi-Civita «calcolo differenziale assoluto» e da loro introdotta indipendentemente da qualsiasi riferimento a fenomeni fisici, è servita poi a Einstein nella formulazione della sua visione del mondo fisico nota col nome di «relatività generale».

Ma l'accordo fra concetti di matematica pura e fatti di natura sperimentale, o già noti, o quasi fantascientificamente soltanto immaginati, è necessaria­mente sempre imperfetto, perché quelli sono ogni volta in qualche modo legati all'idea di insieme infinito, mentre questi non possono riferirsi che a insiemi finiti, anche se enormemente numerosi.

Basti pensare che, per tradurre in termini matematici il risultato di una qualsiasi esperienza, non si può fare a meno di misurare qualche grandezza fisica, e così come si è detto (n. 5) per i segmenti di retta di cui si vuole la lunghezza, allo stesso modo, per ciascuna delle tante altre grandezze che s'incontrano nello studio della natura, tempi, temperature, masse, cariche elettriche e così via, la misura conduce, dal punto di vista del matematico, ai numeri reali, e da quello dello sperimentatore, invece, a numeri che possono essere più o meno precisi, secondo la maggiore o minore efficienza degli strumenti di misura a disposizione. Nel primo caso, se pensiamo alla rappresentazione decimale, avremo da tener conto di infinite cifre dopo la virgola, nel secondo caso, conterà soltanto, invece, un numero finito più o meno grande di esse, sfuggendo tutte le altre ai mezzi di misurazione di volta in volta usati.

Questa impossibilità di un esatto accordo fra il contenuto del libro della natura e quel linguaggio matematico, che, secondo il famoso detto di Galileo, dovrebbe descriverlo, questa incolmabile lacuna fra il mezzo di espressione e ciò che si vorrebbe esprimere, ha dato luogo all'angosciosa insoddisfazione degli antichi di fronte a quelle che furono chiamate grandezze fra loro incommensurabili, come lato e diagonale del quadrato, o diametro e circonfe­renza del cerchio.

Ma ogni angoscia di questo genere si dilegua da sé, ove non si faccia più confusione, come in antico, fra oggetti puramente mentali, quali sono i segmenti di retta del matematico, e oggetti materiali, quali sono quelli del disegnatore.

7. - Quando parliamo di matematica applicata, dobbiamo dunque, pensa­re a dei modelli composti da oggetti concepibili soltanto dal nostro intelletto, ai quali nel loro comportamento oggetti percepibili dai nostri sensi si avvicinano tanto più, quanto più esatte sono le misurazioni che riusciamo a effettuare; ma dobbiamo rinunciare all'ideale di misurazioni assolutamente esatte (n. 6). E questa tara di imprecisione produce un'irriducibile discrepanza con la matematica pura.

Nella storia della matematica, la scoperta delle geometrie non euclidee (n. 4) va ricordata come quella che ha contribuito in maniera decisiva a far comprende­re la dannosità della confusione propria degli antichi, cui ora si accennava (n. 6). Che, in senso più esteso, si può intendere come confusione tra matematica pura e applicata, e, in ultima analisi, tra infinito e finito.

Si conoscono, è vero, esempi di grandi matematici, come Kronecker e Poincaré, che hanno negato di credere in un infinito cosiddetto «attuale», cioè un infinito nel senso in cui abbiamo ammesso (n. 3) di poter intendere la numerosità dell'insieme N pensato come un tutto, o nel senso in cui possiamo dire (n. 4) che una retta è un insieme di infiniti punti, o (n. 5) che nella rappresentazione decimale di un numero reale si hanno infinite cifre dopo la virgola.

Gli scienziati che condividevano questa diffidenza per l'infinito, sosteneva­no che fosse lecito parlare soltanto di «infinito potenziale», cioè di un quid finito sempre, il quale può però diventare grande fin che si vuole.

In questo atteggiamento di pensiero, io vedo da una parte una sfumatura di materialismo, dall'altra una specie di resistenza passiva nei confronti di quella distinzione fra puro e applicato, che ho cercato di presentare come il principale tratto caratteristico della matematica del nostro secolo.

Certamente, soprattutto dopo l'opera di Cantor, l'idea di infinito attuale si è andata sempre più affermando presso i matematici.

Ma questa modernizzazione della matematica non ha mancato di subire un lungo travaglio. Non dimentichiamo che sull'argomento dell'infinito si sono svolte interminabili discussioni. Fra l'altro l'infinito attuale è stato anche posto sotto accusa dai logici, che hanno escogitato strani tipi di discorsi per poterlo incolpare di essere fonte di paradossi.

La mia convinzione è che, se non si vuol negare la possibilità stessa della matematica come scienza astratta, non si può far a meno di credere (secondo me, magari incosciamente ci credevano anche Kronecker e Poincaré) all'esi­stenza nel nostro intelletto dell'idea di infinito attuale. Idea che non proviene dal mondo dei sensi, giacché in questo tutto è sempre finito.

In essa io scorgo una «luce», per dirla col divino poeta (Par. XXI, 86), «la cui virtù col mio veder congiunta mi leva sopra me».



[1] Letta nella seduta dell'11 novembre 1986. [Accademia delle Scienze di Bologna – N.d.R.]