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Gianfranco
Cimmino (1908 – 1989), figlio dell’orientalista napoletano Francesco, mostrò
un precoce interesse per la Matematica: laueratosi
nel 1927 con M. Picone, divenne – insieme con R. Caccioppoli, C. Miranda e G.
Scorza Dragoni – uno dei suoi “quattro moschettieri”; già nel 1932 era Libero
Docente di Analisi Matematica. Trasferitosi a Bologna nel 1939, qui continuò
la sua lunga attività scientifica ed universitaria (assumendo anche la
posizione di Preside della Facoltà di Scienze). Fu
uomo dalla profonda cultura non solo scientifica (era socio dell’Accademia
dei Lincei, dell’Accademia Pontaniana
e dell’Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche), ma anche umanistica: le
sue “reminiscenze” scolastiche erano tali da consentirgli di assistere personalmente
i suoi sette figli nelle versioni di latino e di greco; particolare interesse
nutriva per la Divina Commedia (vedi la sua nota “Dante e la Matematica”);
parlava correntemente il tedesco (imparato durante una borsa di studio presso
la prestigiosa Università di Gottinga), il francese
e l’inglese, ed era anche in grado di discutere con i matematici russi nella
loro lingua. La
maggior parte delle sue opere riguardano la teoria delle equazioni lineari
alle derivate parziali, nella quale ha ottenuto importanti risultati. Altri
argomenti toccati dai suoi vasti interessi comprendono: i sistemi di infinite
equazioni lineari differenziali ed integrali con un numero infinito di incognite,
il calcolo delle variazioni, la geometria differenziale, le applicazioni
conformi e quasi-conformi, gli spazi vettoriali
topologici, la teoria delle (ultra)-distribuzioni e l’analisi numerica
(particolarmente per calcoli matriciali). |
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COME LA MATEMATICA È VISTA
OGGI DALL'OCCHIO DI UN MATEMATICO
Nota [1] di
GIANFRANCO CIMMINO Accademico Benedettino
1. - In
una intervista di carattere divulgativo pubblicata il 6 luglio 1986 nel quotidiano
romano «II Tempo», ho cercato di dare della matematica, a un ampio pubblico di
lettori in massima parte non specialisti, un'immagine assai diversa da quella
che troviamo presso molti, non solo incompetenti, ma anche persone di cultura e
scienziati.
Tomo qui più
diffusamente sull'argomento, scusandomi coi colleghi matematici, se per loro
molto di quel che dirò sarà troppo ovvio, e se mi esprimerò a volte in termini
eccessivamanete elementari per poter riuscire comprensibile a una larga cerchia
di persone a cui saranno sembrati oscuri alcuni accenni assai fugaci di
quell'intervista.
Purtuttavia,
la mia intenzione non è ora, come là, soltanto quella della divulgazione
scientifica. A mio avviso, infatti, la prospettiva in cui sono da me presentate
certe idee fondamentali dovrebbe esser di guida a scelte e impostazioni
didattiche in buona parte diverse da quelle correnti, nell'insegnamento a
livello medio-superiore della matematica, affinchè di questa, a titolo puramente
culturale, rimanga, anche a coloro che di essa non avranno mai più bisogno
nella vita, l'immagine, appunto, che in principio dicevo. Mi rivolgo pertanto
anche in particolar modo a quei matematici, che s'interessano ai problemi della
didattica a tutti i livelli, augurandomi che questa mia Nota dia loro qualche
motivo di riflessione.
Il mio
discorso prenderà l'avvio da alcune considerazioni sul modo di intendere la
parola «dimostrazione» in campo scientifico. Partiremo da un semplice esempio.
Se proviamo a scomporre un numero pari nella somma di una coppia di numeri dispari,
vediamo che è sempre possibile fra queste coppie trovarne una, o anche più
d'una, formata da due numeri primi. Per esempio,
10 è scomponibile in 3 + 7 o 5 + 5, e 24
in 7 + 17 o 11 + 13, e 100 in 17+83 o 47 + 53.
Con una enorme quantità di prove su numeri pari, servendosi di un buon
elaboratore, si può controllare che ciò risulta vero senza eccezione alcuna.
Proprio allo
stesso modo, cioè con una enorme quantità di prove, si può controllare la
validità di una di quelle che vanno sotto il nome di leggi della fìsica. Per
esempio, tanto per fissare le idee, pensiamo alla legge della caduta libera dei
gravi nel vuoto.
Fermiamoci un
momento a confrontare tra loro queste due semplici proposizioni: A) ogni numero
pari è scomponibile nella somma di due numeri primi, B) ogni grave cade
liberamente nel vuoto con moto uniformemente accelerato, e ognuno con la stessa
accelerazione. Per quale motivo la seconda si ritiene vera, perché dimostrata
sperimentalmente, e la prima no? A mio parere, niente meglio della riflessione
su un interrogativo come questo può farci intendere la differenza tra finito e
infinito, quale essa intuitivamente ci appare.
Per noi
matematici, la proposizione A) è tutt'ora una congettura, cioè un'affermazione,
di cui ci si aspetta di poter provare la verità. Secondo noi non basta averne
verificata la validità nel caso anche di un'enorme quantità di numeri pari, per
avere la certezza che essa vale sempre, per tutti i numeri pari, giacché
l'insieme dei numeri pari è infinito, mentre le, sia pure incredibilmente
tante, prove che possiamo fare con l'elaboratore saranno sempre in numero
finito.
Quella
«certezza matematica», di cui sentiamo dire tante volte nel linguaggio
corrente, sembra quasi significare qui certezza del verifìcarsi di qualcosa che
si viene affermando, non solo in un insieme finito, ma anche in un insieme
infinito di casi possibili da prendersi in considerazione.
Ma rammentiamo
anzitutto che cosa precisamente intendiamo noi matematici per insieme finito o
infinito.
E teniamo
presente, a scanso di equivoci, che qui non verrà mai usata la parola
«infinito» nel senso di quelle frasi di cui ci si serve abitualmente, quando si
parla di limiti.
2. -
Premetto che solo in epoca abbastanza recente, come tutti sanno, è stata presa
esplicitamente coscienza del fatto che l'idea di insieme è alla base di tutta
la matematica, sino al punto di far ritenere ai docenti assai utile didatticamente
che su tale idea si attiri, fin dalla prima infanzia, l'attenzione dei
discenti.
Così, fin da
bambini si è ormai educati dalla scuola a riflettere sul fatto che diversi
oggetti possono essere considerati come formanti un tutto, detto insieme, di
cui essi sono detti elementi, e poi che un insieme può essere contenuto in un
altro, cioè formato da una parte degli elementi di questo, e poi che di due
insiemi si può considerare l'unione, cioè l'insieme formato dagli elementi o dell'uno
o dell'altro, compresi, dunque, se ve ne sono, anche gli elementi comuni ad
entrambi, formanti quello che si chiama l'insieme intersezione dei due.
Un insieme è
detto finito, quando i suoi elementi si possono contare, trovandosi così il
numero degli elementi da cui esso è formato. E un insieme finito è ugualmente
numeroso, cioè ha lo stesso numero di elementi, rispetto a un altro, quando fra
i suoi elementi e quelli di quest'altro si può stabilire una «corrispondenza
biunivoca», come si dice con termine tecnico: per esempio, il numero dei
commensali è lo stesso del numero delle sedie disposte attorno alla mensa,
quando è possibile far corrispondere a ognuno di essi una di queste e
viceversa, in maniera che nessun commensale rimanga in piedi e nessuna sedia
rimanga vuota.
Anche l'idea
di corrispondenza, che si può sempre, se si vuole, stabilire fra gli oggetti di
un insieme e quelli di un altro, è alla base di tutta la matematica e anch'essa
ha ottenuto ormai il dovuto riconoscimento didattico nell'attenzione oggi
dedicatale fin dall'insegnamento elementare. Per esempio, un insieme di ragazzi
è in corrispondenza con un insieme di nomi propri, quando a ognuno di quelli
spetta uno di questi. E se a più d'uno dei ragazzi corrisponde lo stesso nome,
allora la corrispondenza non è biunivoca, come nel precedente esempio, in cui
gli insiemi erano quello dei commensali e quello delle sedie attorno alla
mensa.
Univoca essa
verrà detta, se a ciascuno dei ragazzi corrisponde uno solo dei nomi
considerati, cioè nessuno ha più nomi, e biunivoca se inoltre ciascuno di
questi è il nome di uno solo di quelli.
3. - Ai
bambini, naturalmente, si cominciano col proporre a scuola, come esempi su cui
riflettere, soltanto insiemi di oggetti percepibili dai nostri sensi.
Ma, come terza
idea alla base di tutta la matematica, dopo quelle di insieme e di
corrispondenza, troviamo un esempio di insieme, che non ha riscontro in nulla
di sensibile, cioè l'insieme di tutti i numeri che si ottengono contando, a
partire dallo zero: essi sono quegli oggetti mentali, che siamo soliti indicare
coi simboli 0, 1, 2, ... e chiamiamo
«numeri naturali». Per brevità di linguaggio, daremo il nome N a questo
insieme e N + a quella sua parte che rimane togliendone lo
zero.
Fu merito
indiscusso di Giuseppe Peano quello di avere esplicitato ciò che caratterizza
l'insieme N e che inoltre consente, come ora ricorderemo, un tipo di
ragionamento proprio della sola matematica: caratteristica di N è, nella formulazione di Peano,
l'esistenza di una corrispondenza biunivoca (n →n + 1) fra N e N +, tale che, se un'affermazione è vera
per 0 e per ogni numero (n +1) di N +
che corrisponda a un numero (n) di N per cui essa sia vera, allora essa
è di conseguenza vera per tutti i numeri di N. Precisamente, nella
corrispondenza biunivoca di cui qui si parla, si usa indicare il corrispondente
in N + di ciascun numero di N come «successivo» di
questo, e i successivi di 0, 1, 2, ...
rispettivamente con 1, 2, ...
Due fatti, a
proposito di questa «definizione assiomatica» di Peano dell'insieme N,
vanno messi bene in evidenza.
Il primo
riguarda l'esistenza di una corrispondenza biunivoca fra l'insieme N e
l'altro N +,
che è solo una parte di N. Una corrispondenza cosiffatta non sarebbe
possibile in un insieme di oggetti sensibili, nel quale la parte non può essere
ugualmente numerosa rispetto al tutto. Pensiamo al nostro precedente esempio
(n. 2): se l'insieme delle sedie attorno alla mensa è uguale di numero a quello
dei commensali, l'altro insieme di sedie formato da quelle che rimangono quando
da quelle di prima se ne tolga una, farà restare necessariamente uno dei commensali
in piedi, cioè non si potrà mettere in corrispondenza biunivoca con l'insieme
di essi.
Ebbene,
insieme infinito vuol dire, nel linguaggio della matematica, esattamente questo:
un insieme che si può mettere in corrispondenza biunivoca con una sua parte.
Dunque,
l'insieme N è infinito
in conseguenza della sua stessa definizione secondo Peano, e nessun insieme
formato da oggetti sensibili è infinito.
Pensare
all'insieme N come se fosse finito può portare a sofismi come quello
famoso di Achille e della tartaruga, o può dar luogo a un senso di stupore come
quello di Galileo, quando faceva osservare che l'insieme dei numeri pari,
contenuto nell'insieme N +, anzi grossolanamente valutabile
come una metà di questo, ha nondimeno la stessa numerosità di questo, perché ad
ogni numero di N + si può far corrispondere il suo doppio,
che è un numero pari, e ogni numero pari è a sua volta il doppio della sua
metà, che è un numero di N +, riuscendo stabilita in tal modo
una corrispondenza biunivoca fra N + e l'insieme dei soli
numeri pari.
Il secondo
fatto da segnalare nella definizione di Peano è quel ragionamento che permette
di affermare qualche cosa che sia vera per tutti i numeri di N. Esso
viene chiamato ragionamento «per induzione», prendendo questa parola dai
filosofi, che la usano quando dal particolare si risale al generale, in
contrapposto alla deduzione, che fa invece discendere il particolare dal generale.
Rimane ora
chiarito ciò che dicevamo sulla proposizione A) (n. 1): solo se si riuscisse a
ottenerla a conclusione di un ragionamento fondato in qualche modo sulla
induzione matematica, essa sarebbe dimostrata per noi che, come abbiamo notato,
non possiamo contentarci di una dimostrazione sperimentale.
4. -
Questo tipo di discorso può estendersi alla geometria elementare. Fissiamo
l'attenzione, per semplificare, solo sulla geometria piana: riga, tiralinee,
compasso, mezzi per misurare lunghezze, aree, angoli si possono considerare come
strumenti che ci consentono di provare sperimentalmente una quantità di
affermazioni, i cosidetti «teoremi», che s'insegnano a scuola ai ragazzi, come,
per esempio, quello di Pitagora.
Da questo
punto di vista la geometria elementare ci appare come un primo capitolo della
fisica; quel capitolo in cui gli esperimenti possono farsi non usando altri
strumenti che quelli ora detti. E se poi a questi si aggiungono altri strumenti
atti alla misura di durate temporali, forze, masse, per esempio, si avrebbero i
capitoli noti sotto i nomi di cinematica, statica, dinamica.
Ma la matematica deve
potersi costruire senza far ricorso a cose sensibili, come disegni, movimenti
di corpi materiali e simili. Così, per esempio, limitandoci sempre al caso
della geometria piana, per il matematico il punto non è il segno lasciato sulla
carta da una matita, la retta non è quella tracciata con l'aiuto della riga, la
circonferenza non è quella descritta dal compasso. Il disegno suggerisce, è
vero, alcune proprietà fondamentali di quegli oggetti che chiamiamo punti,
rette e così via: per esempio, le rette sono particolari insiemi di punti, per
due punti «passa» una sola retta, cioè vi è una sola retta che li contiene
entrambi, due rette hanno in comune un solo punto, o nessun punto, e in questo
secondo caso si dicono parallele. Ma per il matematico, indipendentemente da
ogni immagine visiva, la sola cosa che importa è il fatto di prendere in
considerazione certi oggetti mentali da chiamarsi in un certo modo, per
esempio, nel nostro caso, punti e rette, dotati di un certo gruppo di proprietà
fondamentali, che ne costituiscono la definizione assiomatica (n. 3): vi è un
certo numero di «assiomi», come si dice, ammessi senza dimostrazione, e perciò
chiamati anche «postulati», cioè affermazioni di cui si postula la verità,
dalle quali poi altre proprietà risulteranno di conseguenza, per via di
successive deduzioni logiche costituenti le dimostrazioni.
Euclide, nei suoi Elementi,
enunciò un preciso sistema di assiomi della geometria elementare, e il quinto
di questi divenne famoso. Esso in sostanza: «dati nel piano una retta e un
punto fuori di essa, per questo passa una, e una sola, retta parallela a quella».
Fin oltre la
metà del secolo scorso si pensava di poter dimostrare che questo postulato
euclideo era una conseguenza degli altri. E se ne tentava quella che si chiama
una «dimostrazione per assurdo»: cioè, vediamo un po' a quali conseguenze logiche
porterebbe la negazione di quello che afferma il postulato, e, se alla fine ne
troveremo una assurda, cioè in contraddizione con gli altri postulati, vuol
dire che quella negazione era inammissibile.
Così si è
cominciato lo studio di tutte le conseguenze che avrebbe l'ammettere
l'esistenza o di più d'una, o di nessuna parallela a una retta per un punto
fuori di questa. La lista di tali conseguenze si allungava sempre e l'assurdo
cercato non si trovava mai. E in tal modo sono nate le cosiddette «geometrie
non euclidee».
E, ciò che per
noi più conta, si è così chiarita l'idea che ogni capitolo della matematica è
un «sistema ipotetico-deduttivo», come si dice, cioè parte da un certo insieme
di assiomi riguardanti certi oggetti mentali chiamati con certi nomi e deduce
poi le conseguenze logiche, che dagli assiomi si possono trarre.
5. -
Giunti a intendere la matematica in questa maniera, non ci si dovrebbe poi
meravigliare, se essa è stata scherzosamente definita come una scienza in cui
non si sa di che cosa si parla, né se sia vero quello che si afferma.
Ci si accorge
tuttavia che non si tratta di semplice banalità, come questo punto di vista
farebbe sembrare, non appena si tengano presenti due fatti di fondamentale
importanza.
In primo
luogo, in ogni teoria matematica, la scelta degli assiomi e degli oggetti cui
essi si riferiscono deve avere coerenza logica: si esige, cioè, che, a partire
da essi, dopo una catena, che potrà essere anche lunghissima, di deduzioni, non
si debba mai arrivare a una contraddizione.
In secondo
luogo, una scelta di oggetti e di assiomi ad essi relativi, pur verificante una
simile onerosa esigenza, se fosse del tutto cervellotica, riuscirebbe priva
d'interesse. Una scelta interessante proviene quasi sempre dall'analogia con
altra situazione precedentemente studiata, o dall'ispirazione fornita da cose e
fatti concreti: già noti, o anche soltanto, come si dirà meglio più avanti (n. 6), fantasiosamente possibili.
Così, la
geometria elementare è suggerita dal disegno delle figure che studia, anche se,
come abbiamo cercato di mettere in evidenza (n.
4), essa deve potersi costituire come un capitolo della matematica del
tutto indipendente dal disegno stesso.
Prendiamo,
come altro esempio, uno dei più importanti concetti della matematica, fra
quelli che s'incontrano nella scuola secondaria, il cosiddetto «insieme R
dei numeri reali». Esso viene suggerito dalla pratica esigenza di misurare la
lunghezza dei segmenti di retta, con l'ulteriore aggiunta di un segno + o -,
se si vuole distinguere anche un verso di percorso sul segmento considerato.
Tale insieme R si può definire mediante un sistema di assiomi suggerito
dall'idea di quella misurazione.
Ma,
dimenticando poi tale idea, così come, a edificio compiuto, si eliminano le
impalcature usate per costruirlo, i numeri reali si possono introdurre in
matematica come certi oggetti mentali, la cui definizione è costituita dal sistema
di assiomi stesso, preso come punto di partenza.
La coerenza
logica di tale sistema viene assicurata, in questo caso, dalla costruzione di
«oggetti matematici» che effettivamente li verificano, costruzione basata
sulle sole tre nozioni primitive di insieme, corrispondenza fra insiemi (n. 2), insieme N dei numeri naturali (n. 3). Ciò può farsi in tanti diversi modi. Uno
è, per esempio, quello derivante dalla nostra abitudine di indicare ogni numero
reale per mezzo della cosiddetta «rappresentazione decimale», nella quale il
segno + o
— è seguito da un numero naturale, da una virgola e da un allineamento
di «cifre» prese fra le 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, in modo che ve ne siano, e non soltanto in numero finito, di
diverse da 9; e ogni allineamento
cosiffatto non è altro che una corrispondenza univoca fra l'insieme N +
e l'insieme formato dai dieci segni, con cui indichiamo le cifre.
Man mano che
si procede nello studio della matematica, si incontrano sistemi ipotetico-deduttivi
riguardanti oggetti sempre più complessi; ma la coerenza logica degli assiomi
non si può assicurare in altro modo che con la costruzione, ogni volta, di un
«modello» formato da oggetti matematici nel senso ora detto, che li verifichino,
così come, nel caso dell'insieme R, è, per esempio, la rappresentazione
decimale.
E modelli di
tale tipo si possono costruire, come è stato riconosciuto fin dal secolo
scorso, sia per la geometria euclidea, sia per le geometrie non euclidee, che
da quella differiscono soltanto perché fra gli assiomi, invece del quinto
postulato di Euclide (n. 4), si prendono
o quello che afferma l'esistenza di più parallele a una retta per un punto
fuori di essa, o quello che nega del tutto l'esistenza di coppie di rette parallele,
cioè fra loro prive di punti comuni.
6. - La
matematica pura si occupa, dunque, di oggetti mentali coi quali le cose
percepite dai sensi possono presentare qualche rassomiglianza, ma che
potrebbero essere escogitati dalla nostra fantasia anche senza bisogno di
quelle.
E molte volte
è accaduto che la fantasia del matematico, lavorando liberamente, o guidata, se
mai, soltanto da un criterio di carattere estetico, ha creato teorie, che solo
in un tempo successivo si sono rivelate atte a formare un corrispettivo teorico
di una serie di fatti osservati sperimentalmente. Vediamo cioè qualcosa di
simile all'avverarsi nel futuro di quel che assai prima era stato immaginato da
uno scrittore di fantascienza.
Per esempio,
la cosiddetta «equazione di Tricomi», conosciuta dai matematici sotto questo
nome, perché Tricomi fu il primo a studiarla, e senza pensare a nessuna
applicazione concreta, è stata dopo molti anni trovata utile per spiegare il
fenomeno del «bang» prodotto dagli aerei che arrivano a velocità superiore a
quella di propagazione del suono.
Altro esempio
famoso: la teoria detta da Ricci e Levi-Civita «calcolo differenziale assoluto»
e da loro introdotta indipendentemente da qualsiasi riferimento a fenomeni
fisici, è servita poi a Einstein nella formulazione della sua visione del mondo
fisico nota col nome di «relatività generale».
Ma l'accordo
fra concetti di matematica pura e fatti di natura sperimentale, o già noti, o
quasi fantascientificamente soltanto immaginati, è necessariamente sempre
imperfetto, perché quelli sono ogni volta in qualche modo legati all'idea di
insieme infinito, mentre questi non possono riferirsi che a insiemi finiti,
anche se enormemente numerosi.
Basti pensare
che, per tradurre in termini matematici il risultato di una qualsiasi
esperienza, non si può fare a meno di misurare qualche grandezza fisica, e così
come si è detto (n. 5) per i segmenti di
retta di cui si vuole la lunghezza, allo stesso modo, per ciascuna delle tante
altre grandezze che s'incontrano nello studio della natura, tempi, temperature,
masse, cariche elettriche e così via, la misura conduce, dal punto di vista del
matematico, ai numeri reali, e da quello dello sperimentatore, invece, a numeri
che possono essere più o meno precisi, secondo la maggiore o minore efficienza
degli strumenti di misura a disposizione. Nel primo caso, se pensiamo alla
rappresentazione decimale, avremo da tener conto di infinite cifre dopo la
virgola, nel secondo caso, conterà soltanto, invece, un numero finito più o
meno grande di esse, sfuggendo tutte le altre ai mezzi di misurazione di volta
in volta usati.
Questa
impossibilità di un esatto accordo fra il contenuto del libro della natura e
quel linguaggio matematico, che, secondo il famoso detto di Galileo, dovrebbe
descriverlo, questa incolmabile lacuna fra il mezzo di espressione e ciò che si
vorrebbe esprimere, ha dato luogo all'angosciosa insoddisfazione degli antichi
di fronte a quelle che furono chiamate grandezze fra loro incommensurabili,
come lato e diagonale del quadrato, o diametro e circonferenza del cerchio.
Ma ogni
angoscia di questo genere si dilegua da sé, ove non si faccia più confusione,
come in antico, fra oggetti puramente mentali, quali sono i segmenti di retta
del matematico, e oggetti materiali, quali sono quelli del disegnatore.
7. -
Quando parliamo di matematica applicata, dobbiamo dunque, pensare a dei
modelli composti da oggetti concepibili soltanto dal nostro intelletto, ai
quali nel loro comportamento oggetti percepibili dai nostri sensi si avvicinano
tanto più, quanto più esatte sono le misurazioni che riusciamo a effettuare; ma
dobbiamo rinunciare all'ideale di misurazioni assolutamente esatte (n. 6). E questa tara di imprecisione produce un'irriducibile
discrepanza con la matematica pura.
Nella storia
della matematica, la scoperta delle geometrie non euclidee (n. 4) va ricordata come quella che ha contribuito
in maniera decisiva a far comprendere la dannosità della confusione propria
degli antichi, cui ora si accennava (n. 6). Che,
in senso più esteso, si può intendere come confusione tra matematica pura e
applicata, e, in ultima analisi, tra infinito e finito.
Si conoscono,
è vero, esempi di grandi matematici, come Kronecker e Poincaré, che hanno
negato di credere in un infinito cosiddetto «attuale», cioè un infinito nel
senso in cui abbiamo ammesso (n. 3) di
poter intendere la numerosità dell'insieme N pensato come un tutto, o
nel senso in cui possiamo dire (n. 4) che
una retta è un insieme di infiniti punti, o (n.
5) che nella rappresentazione decimale di un numero reale si hanno
infinite cifre dopo la virgola.
Gli scienziati
che condividevano questa diffidenza per l'infinito, sostenevano che fosse
lecito parlare soltanto di «infinito potenziale», cioè di un quid finito
sempre, il quale può però diventare grande fin che si vuole.
In questo
atteggiamento di pensiero, io vedo da una parte una sfumatura di materialismo,
dall'altra una specie di resistenza passiva nei confronti di quella distinzione
fra puro e applicato, che ho cercato di presentare come il principale tratto
caratteristico della matematica del nostro secolo.
Certamente,
soprattutto dopo l'opera di Cantor, l'idea di infinito attuale si è andata
sempre più affermando presso i matematici.
Ma questa
modernizzazione della matematica non ha mancato di subire un lungo travaglio.
Non dimentichiamo che sull'argomento dell'infinito si sono svolte interminabili
discussioni. Fra l'altro l'infinito attuale è stato anche posto sotto accusa
dai logici, che hanno escogitato strani tipi di discorsi per poterlo incolpare
di essere fonte di paradossi.
La mia
convinzione è che, se non si vuol negare la possibilità stessa della matematica
come scienza astratta, non si può far a meno di credere (secondo me, magari
incosciamente ci credevano anche Kronecker e Poincaré) all'esistenza nel
nostro intelletto dell'idea di infinito attuale. Idea che non proviene dal
mondo dei sensi, giacché in questo tutto è sempre finito.
In essa io
scorgo una «luce», per dirla col divino poeta (Par. XXI, 86), «la cui virtù col mio veder congiunta mi leva sopra me».