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Mio zio Gianfranco Cimmino
era un matematico di prim'ordine, ed anche un
cultore delle lingue e della musica, molto apprezzato dai suoi studenti non
solo per la chiarezza delle sue spiegazioni, ma anche per una innata gentilezza
d'animo. Tra le sue passioni vi erano Dante e la Divina Commedia (che conosceva
interamente a memoria): in molte situazioni quotidiane egli trovava un
aggancio dantesco e ne citava le terzine, arricchendole con spiegazioni e
commenti che affascinavano chi lo ascoltava. Sia la Matematica che
Dante erano per lui argomenti vivi ed appassionanti: per condividere con voi
tali sentimenti, pubblico questo suo articolo. Diego
Vasdeki |
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Dante e la Matematica
Nota[1]
del socio ordinario non residente Gianfranco
Cimmino
Questo
breve saggio consisterà in una rapida rassegna di alcuni passi della Divina
Commedia, che possono fornire l'occasione di intrattenersi su argomenti di carattere
matematico. Esso si ispira alle mie due grandi avventure intellettuali, l'amore
per il «poema sacro» e quello per la «regina delle scienze».
E mentre
mi scuso coi letterati, se insufficientemente preparato oso inoltrarmi nel loro
campo, prometto che, nel parlare del mio, mi limiterò soltanto a qualche punto
di interesse generale, spaziando dalla logica fino alla fisica, ma procurando
di riuscire comprensibile anche ai non specialisti.
* * *
Comincerò
dai versi (Par. VI, 20-21)
«vegg'io or chiaro
sì come tu vedi
ogni
contraddizione e falsa e vera».
Con essi,
Dante propone, come esempio di assoluta evidenza, quello che i logici chiamano
«principio di non contraddizione» fra una proposizione e la sua contraria,
necessariamente una delle due è falsa e l'altra è vera.
E
ricordiamo che nella Commedia si trova anche un interessante caso pratico di
applicazione di questo principio, precisamente quando Guido da Montefeltro racconta il suo incontro con Bonifacio VIII, il quale gli chiede di escogitare un
consiglio frodolento per espugnare con l'inganno la
fortezza colonnese di Palestrina,
e gli dice, per rassicurarlo e per vincere la sua riluttanza, che gli dà
all'istante stesso l'assoluzione dal peccato, che con tale consiglio verrà da
lui commesso. Ebbene, un diavolo esperto di logica va, al momento del trapasso,
a prender possesso dell'anima di Guido, sicuramente consapevole della nullità
dell'assoluzione papale, perché per essere assolti da un peccato, è necessario
pentirsene, cioè non voler averlo commesso, in contraddizione con la volontà di
commettere il peccato, propria di ogni peccatore, (Inf. XXVII, 118-120):
«Ch'assolver non si può chi non si pente,
né pentere e volere
insieme puossi,
per la contraddizion
che no'l consente».
Com'è
naturale, il principio di non contraddizione è pure alla base della matematica,
i cui fondamenti s'intrecciano con quelli della logica. È tuttavia interessante
rilevare come, indagando in profondità sulle radici del razionale, possano
sorgere fra gli studiosi disparità di vedute; ciò accade, per esempio, a
proposito del cosiddetto «principio del terzo escluso», che non va confuso con
quello di non contraddizione e che può formularsi così: ogni proposizione è necessariamente
o falsa o vera (tertium non datur).
Da alcuni
questo principio è stato posto in discussione. Negarlo significa ammettere che
una proposizione e la sua contraria potrebbero essere entrambe né false, né
vere, bensì una qualche terza cosa, per esempio «indecidibili», come a volte si
dice.
Un tal
modo di pensare si può chiarire mediante un semplice esempio tratto dalla
matematica stessa. Se si cerca la radice quadrata di 2, cioè un numero che moltiplicato per se stesso dia 2, si trovano facili procedimenti di calcolo,
che forniscono 1,4142... e quant'altre si vogliano cifre decimali successive: e
inoltre si prova agevolmente che queste non possono avere un termine, né ridursi,
da un certo momento in poi, alla continua ripetizione di una, o di un certo
gruppo di esse, come avviene quando si esegue la divisione di un numero intero
per un altro. Ebbene, prendiamo la proposizione «nello sviluppo decimale della √2
vi sono dieci zeri consecutivi», e
domandiamoci: è falsa o è vera? Sembra tanto più probabile che debba essere
falsa, quanto più grande è il numero delle cifre decimali che si calcolano
senza mai trovare i dieci zeri consecutivi; e con un moderno elaboratore si
potrebbe calcolare in brevissimo tempo una quantità smisurata di tali cifre
senza trovarli, ma non si può ritenere escluso che ciò continui a verificarsi
anche se si raddoppia, per esempio, il numero delle cifre decimali calcolate.
Ecco, dunque, sorgere il dubbio di una terza eventualità a cui da alcuni si
pensa: la nostra proposizione non potrebbe essere tale da riuscire impossibile
decidere se è falsa o vera?
Ma
lasciamo i matematici ai loro dubbi e alle loro divergenze di opinioni, che,
anche se ai non matematici ciò potrà sembrare strano, sussistono talvolta fra
loro, soprattutto quando ci si trova ai confini con la logica. E torniamo alle
nostre chiose dantesche, passando, questa volta, ai confini con la fisica,
* * *
È solo da
poco più di cento anni che possiamo dire ci si sia resi ben conto della netta
distinzione fra matematica pura e applicata[2]. Prima, la confusione che tacitamente si faceva tra le due,
configurava il matematico anche come fisico e viceversa. Ed è per questo morivo
che qui prendo in considerazione anche quei passi della Commedia, che sembrano
riferirsi piuttosto alla fisica che alla matematica.
E tra
questi il più esteso e il più interessante è indubbiamente quello del secondo
canto del Paradiso, in cui si cerca una spiegazione del fatto che la luna possa
avere delle macchie pur essendo, secondo la concezione di allora, come corpo
celeste, necessariamente esente da ogni imperfezione.
Sarebbe
bastato avere a disposizione l'«occhialino», come Galileo chiamava quello che
poi dai primi Lincei fu battezzato «telescopio»,
sarebbe bastato guardare con esso il nostro satellite, per rendersi conto della
natura di quelle che a occhio nudo ci appaiono come macchie. Ma non si può
pretendere che Dante indovinasse ciò che si sarebbe banalmente capito, vedendo
a distanza ravvicinata la superficie lunare tormentata da una quantità di
crateri, catene montuose, valli, pianure, e notando il frastagliato gioco di
luci e di ombre prodotto dai raggi del sole nell'illuminare un simile aspro
paesaggio.
Il poeta
si dibatte, quindi, fra le strane spiegazioni che tentava di dare la cultura
del suo tempo, e fra queste si propone di confutarne una in particolare: quella
che attribuisce la causa delle macchie lunari al fatto che la luna in certe sue
parti sia più rarefatta, in altre più addensata. A Dante, che, interrogato da
Beatrice aveva risposto così, la donna spiega che questo e un errore. Molto più
avanti, poi, il poeta, nella sua visione, quando immaginerà di esser giunto
così in alto da vedere le «sette spere», Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte,
Giove Saturno, sotto di se, non celerà la sua soddisfazione nello scorgere la
faccia della luna (Par. XXII, 140-141):
«senza quell'ombra
che mi fu cagione,
per che già la credetti
rara e densa».
La
curiosa, lunga argomentazione di Beatrice nel secondo canto del Paradiso
comincia ad escludere che la rarefazione possa essere tale che, quando la luna
passa davanti al sole, eclissandolo alla nostra vista, la luce solare debba
trasparire attraverso la parte rarefatta: ciò non si osserva, infatti, allorché
si produce l'eclissi. Rimane da escludere anche che i raggi solari possano
riflettersi più luminosamente in certe parti, e meno in certe altre, rispetto a
quelle, più arretrate, che sarebbero poi le parti dette rarefatte, intendendosi
ora con questa parola che in esse il corpo celeste presenterebbe un minore
spessore (Par II, 94-96):
«Da questa istanza può deliberarti
esperienza, se giammai la provi,
ch'esser suol fonte
ai rivi di vostr'arti»,
dice a questo punto Dante con un'affermazione, che precorre la fiducia
di Galileo nel metodo sperimentale. Ma sentiamo come egli stesso descrive
l'esperimento proposto (Par. II, 97-105):
«Tre specchi prenderai; e due rimovi da te
d'un modo e l'altro più rimosso,
tr'ambo li primi, gli occhi
tuoi ritrovi.
Rivolto ad essi, fa che dopo 'l dosso
ti stea un lume,
che i tre specchi accenda,
e torni a te da tutti ripercosso.
Benché, nel quanto, tanto non si stenda
la vista più lontana, lì vedrai,
come convien ch'igualmente risplenda».
Per quale
motivo questo esperimento ci sembra oggi del tutto illusorio, e in ogni caso
lontanissimo da quelli, che, da Galileo in poi, vengono impiegati per scoprire
le leggi della fisica? Chiaramente per il semplice fatto che esso si limita a
valutazioni di carattere qualitativo, e non quantitativo: più o meno lontano,
più o meno luminoso, si dice, ma senza precisare «di quanto». Soltanto una
misurazione quantitativa, come, per esempio, nella fattispecie, sarebbe quella
della distanza e della luminosità, permetterebbe di tradurre in numeri il
fenomeno sperimentalmente osservato.
Per
meglio intendere ciò, si pensi, per fissare la mente su un esempio particolarmente
semplice, alla legge di libera caduta dei gravi nel vuoto scoperta da Galileo,
secondo la quale gli spazi percorsi dal grave sono proporzionali ai quadrati
dei tempi impiegati a percorrerli: essa non potrebbe essere formulata senza
misurazioni, che mutino in numeri gli intervalli spaziali e temporali considerati.
Fissare
unità di misura per le grandezze fisiche, cominciando a far ciò per spazi e
tempi, e forze, e masse, finché si resta nel capitolo della meccanica, e poi
per temperature, luminosità, intensità di correnti e cosi via, quando si
studia, per esempio, termologia, ottica, elettrologia, in modo da poter procedere
a misurazioni, ognuna delle quali dia luogo a un numero, ecco ciò che getta un
ponte fra scienze della natura e matematica, ecco ciò che consente a Galileo di
dire la famosa frase «il libro della natura è scritto in linguaggio matematico».
* * *
Incidentalmente
notiamo, tuttavia, un caso particolarissimo di legge fisica, in cui non si
sente l'esigenza della misurazione, perché non si tratta di confrontare un più
e un meno, ma c'è solo da considerare una uguaglianza: la legge di riflessione
dei raggi luminosi su una superficie speculare, legge di solito enunciata col
dire che l'angolo d'incidenza è complanare e uguale all'angolo di riflessione,
cosi indicandosi gli angoli formati dalla normale allo specchio nel punto in
cui avviene la riflessione, rispettivamente col raggio che arriva in quel punto
e col raggio riflesso che ne riparte. Tale legge viene espressa in due terzine
del Purgatorio, supponendo lo specchio in posizione orizzontale, come acqua
stagnante, e quindi la normale ad esso verticale, com'è «il cader della pietra»,
cioè il filo a piombo (Purg. XV, 16-21):
«Come quando da l'acqua o da lo specchio
salta lo raggio a l'opposita
parte,
salendo
su per lo modo parecchio
a
quel che cade, e tanto si diparte
dal
cader della pietra in igual tratta,
sì
come mostra esperienza e arte».
Ecco che
qui abbiamo un perfetto accordo con quello che possiamo dire anche oggi. A
differenza del clamoroso disaccordo osservato prima, in un caso, che oggi ci fa
sorridere, come quello delle macchie lunari e dell'esperienza dei tre specchi.
* * *
Ma vi è
un altro punto, che mi sembra interessante segnalare, in cui Dante ci dà
l'impressione di precorrere i tempi, quasi divinando la scoperta della
gravitazione universale, con la quale il sommo Newton, più di tre secoli dopo,
immortalerà il proprio nome: penso, cioè, al primo canto del Paradiso.
Va
dapprima ricordato che nell'Inferno si trova menzionato il centro della terra
come quel punto (Inf. XXXIV, 111)
«al qual si traggon
d'ogni parte i pesi».
E poi,
nel Purgatorio, Dante mostra di concepire questa attrazione dei gravi verso il
centro della terra come una forza, la cui intensità va sempre diminuendo, man
mano che ci si allontana dal centro stesso. Ciò fa sì che, nell'ascensione di quell'altissima montagna, che verrà chiamata (Par. XXVI, 139)
«il monte che si leva più
dall'onda»,
all'inizio,
essendo ancora relativamente vicini al centro della terra, si richieda uno sforzo
immenso, e il poeta ha bisogno dell'incoraggiamento di Virgilio (Purg. IV, 37-38)
«… nessun tuo passo caggia,
pur su al monte dietro a me acquista»,
e poi (ibidem,
46-47)
«… infin
quivi ti tira
additandomi un balzo poco in sue»,
e poco dopo soggiunge (ibidem, 50-51)
«io mi
sforzai, carpando appresso a lui,
infin che il
cinghio sotto i pié mi fue».
Ma poi la
fatica del salire, via via che si va più su,
diventerà sempre più lieve, come spiegherà lo stesso Virgilio (Purg. IV, 88-94):
«… Questa montagna è tale,
che sempre al cominciar di sotto è grave,
e quant'uom più va
su e men fa male,
però quand'ella ti parrà soave,
tanto che su andar ti fia
leggero
come, a seconda, giù andar per nave,
allor sarai al fin d'esto sentiero».
Giunto
finalmente alla vetta del purgatorio, nel paradiso terrestre, Dante si sentirà
spiegare da Beatrice che, come diremmo con linguaggio odierno, l'effetto della
gravitazione terrestre si è annullato, cioè si verifica quell'assenza
di peso che oggi sperimentano gli astronauti, quando raggiungono quote
stratosferiche; e perciò il poeta non deve meravigliarsi, se, senza neppure accorgersene,
si solleva da terra, così come non si stupirebbe di veder venire giù da una
montagna l'acqua di un fiume (Par. I 136-139):
«Non dèi più ammirar, se bene stimo,
lo tuo salir, se non come d'un rivo,
che d'alto monte scenda giuso
ad imo».
Questa è
la terzina in cui io scorgo un barlume divinatorio, perché essa ravvicina la
gravitazione terrestre, che fa scendere da monte a valle l'acqua di un rivo, a
una forza extra-terrestre, che attrae i corpi verso il cielo, quando essi non
subiscono più l'influsso dell'attrazione terrestre, essendosi troppo
allontanati dal nostro pianeta. É questa appunto l'intuizione di Newton: la
forza per cui i gravi cadono sulla terra è la stessa di quella che trattiene
nelle loro orbite la luna attorno a noi e i pianeti attorno al sole.
Naturalmente,
nelle parole dantesche non possiamo presumere di vedere più che una vaga
profezia di quella che sarebbe poi stata la dottrina newtoniana. Profezia
mascherata poi dal colore del tempo: la forza di attrazione extra-terrestre
sarebbe probabilmente, nella mente del poeta. (Par. XXXIII, 145)
«l'amor che move il sole e l'altre stelle».
Di più,
ancora una volta, notiamo la tipica mancanza di valutazione quantitativa per
tale forza e per il variare dell'attrazione terrestre con la distanza dal
centro della terra
* * *
Ricordiamo
ora due passi della Commedia, che riguardano la geometria elementare ancor oggi
insegnata ai ragazzi nelle scuole.
Il primo
si trova in una lunga spiegazione, che San Tommaso d'Aquino
fa a Dante. sul significato delle parole, che aveva dette, riferendosi al re
Salomone (Par. X, 112-115):
«...l'alta mente u'
si profondo
saver fu messo, che, se vero è
vero,
a1
veder tanto non surse il secondo».
Esse
avevano fatto nascere nel poeta il dubbio di una contraddizione con la credenza
che il colmo della sapienza fosse stato infuso solo in Adamo e in Cristo. E
Tommaso, pur approvando pienamente tale credenza, chiarisce che contraddizione
con le sue precedenti parole non c'è; e ciò perché anzitutto, in quelle, il «surse» vuole indicare che solo fra i re, non fra tutti gli
uomini, Salomone non fu secondo a nessuno in «sapienza», e poi perché questa
sapienza va intesa qui come «regal prudenza», cioè
capacità del re di provvedere al suo popolo, che il Signore aveva concessa in
grado supremo a quel grande re, quando da lui ne ebbe richiesta. Era, infatti,
quella di Salomone al Signore, che in sogno gli aveva detto « chiedimi ciò che vuoi che ti conceda ». non richiesta dì sapienza teologica.
logica, filosofica o geometrica, precisamente, dice Dante (Par. XIII, 97-102):
«non per sapere il numero in che enno
li motor di quassù, o se nocesse
con contingente mai necesse
fenno,
non si est dare primum
motum esse,
o se nel mezzo cerchio far si puote
triangol sì che un retto non avesse»,
ecco qui l'allusione a un fatto geometrico.
L'altro
accenno di natura geometrica si trova nelle parole, con cui Dante si rivolge al
suo trisavolo Cacciaguida, chiedendogli la predizione
dei «colpi di ventura » che sa di dover
affrontare (Par. XVIII, 27),
«ché
saetta previsa vien più
lenta».
Egli sa,
infatti, che i beati, nella loro visione diretta di Dio. cioè (ibidem. 17-18)
«... mirando il Punto,
a cui tutti li tempi son
presenti».
sono in grado di leggere nel
futuro, che si rivela a loro così chiaramente (ibidem. 14-15)
"... come veggion
le terrene menti
non capere in triangolo due ottusi».
Si
tratta, dunque, in questi due passi, di due asserzioni sul triangolo: 1) che
quando esso è inscritto in una semicirconferenza deve avere un angolo retto, 2) che. in ogni caso, esso non può avere due angoli
entrambi maggiori di un retto. Si tratta. cioè, di due immediate conseguenze di
quella proposizione ben nota agli antichi, secondo la quale la somma degli
angoli di un triangolo è uguale a due retti.
E questa
proposizione, a sua volta, è equivalente, come facilmente si riconosce, a
quella divenuta poi famosa sotto il nome di «quinto postulalo di Euclide», cioè
in un piano a una retta, da un punto fuori di essa si può condurre una, ed una
sola, parallela, dove due rette del piano sono dette parallele, quando sono
prive di punto comune.
* * *
Perché si
dice «quinto postulalo» e qual è il motivo per cui esso può considerarsi
«famoso»? Euclide fu autore, nel quarto secolo avanti Cristo, del primo
trattato sistematico di geometria. Era intitolato «Elementi» e ad esso, come è
ben noto, hanno poi attinto tutti gli altri geometri dei tempi seguenti. La
teoria di Euclide parte da alcune proposizioni primitive, che si ritiene di poter
considerare evidenti per se stesse, delle quali, cioè, si postula la verità;
essa prosegue poi con dimostrazioni. che da quelle fanno derivare altre proposizioni
più complesse, dette «teoremi». Il postulato delle parallele occupa il quinto
posto nell'elenco di Euclide delle proposizioni primitive. L'evidenza intuitiva
di queste è tuttavia affidata a ciò che il nostro occhio vede nel disegno.
Ora, nel
caso del quinto postulalo, la possibilità di disegnare su un foglio di carta
due segmenti rettilinei, che, per quanto vengano prolungati, non s'incontrino
mai, ci può apparire piuttosto problematica: se pensiamo, per esempio, che la
superficie del nostro globo ci appare piana, anziché sferica, e che la linea
più breve congiungente due punti su di essa è l'arco di cerchio massimo di tale
superficie sferica, il quale ci appare rettilineo anziché circolare, ecco che.
prolungando due di questi fin dove possibile, troveremo che essi hanno due
punti comuni, uno all'antipodo dell'altro. Ci sembra, pertanto, non contrario
all'evidenza visiva ammettere che due rette del nostro piano non possano mai
essere parallele.
Idee di
questo genere angustiavano la mente degli scienziati ancora nel secolo scorso;
si cercava affannosamente di «dimostrare» il postulalo delle parallele e ci si
illudeva talvolta di esservi riusciti, mentre invece non si era riusciti ad
altro, che a sostituirlo con un altro equivalente, ma inficiato dello stesso
grado di non assoluta evidenza. Tale è, per esempio. l'affermazione appunto che
la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due retti: così. nei triangoli
sferici, che possiamo immaginare tracciati sul nostro globo, la somma degli
angoli è maggiore di due retti.
Caratteristico
del travaglio di idee e dell'illusione di cui parliamo è il titolo di un'opera
assai nota nel secolo scorso, del dotto gesuita padre Sacchcri,
vittima anche lui di quella fallace illusione: «Euclides
ab omni naevo
vindicatus».
La
questione sembrava porsi in questi termini: insomma, è vero o non vero quello
che asserisce il postulato delle parallele? Vediamo qui spuntare di nuovo la
nostra fede istintiva nel «tertium non datur». La risposta a questo interrogativo segna una pietra
miliare nella stona della matematica: non bisogna confondere cose materiali
come la punta di un ago, un filo teso, un foglio di carta, percepibili dai
nostri sensi, con cose immateriali, come il punto senza dimensioni, la retta
con una sola dimensione, il piano con due, che la matematica ci propone come
oggetti puramente intelligibili, e di cui in natura non possiamo trovare che
delle grossolane imitazioni. Le proposizioni primitive relative a questi
oggetti immateriali ci saranno, è vero, suggerite da ciò che tali imitazioni ci
mostrano, ma il matematico deve considerarle come costituenti non altro che la
loro stessa definizione
La concezione
moderna della matematica cui alludevo in principio, citando la distinzione tra
matematica pura e applicata, è scaturita principalmente di qui. Si può
costruire una «geometria euclidea», nella quale, fra le proposizioni primitive
che danno la cosiddetta «definizione assiomatica»
degli oggetti astratti chiamati punti, rette, piani, è incluso il postulato
delle parallele, e una «geometria non euclidea», che lo nega, nella quale, pertanto,
si useranno ancora le stesse parole punto, retta, piano, ma, per non ledere il
principio di non contraddizione, con altro significato.
Non va
dimenticata, a questo proposito, la definizione data scherzosamente da Poincaré
della matematica come «arte di chiamare cose diverse con Io stesso nome».
Naturalmente,
Dante non poteva neppur lontanamente immaginare ciò
che solo poco più di cent'anni fa, e con tanta
fatica, come abbiamo detto è divenuto chiaro ai matematici, e cioè che ogni
loro teoria studia una certa categoria di enti astratti assiomaticamente
definiti. Ma è significativo il fatto che il poeta, nei suoi unici accenni alla
geometria, abbia additato proprio un punto cruciale, che è, come si e visto, la
principale origine di quella che ho chiamata concezione moderna della
matematica.
* * *
Parlerò
ora di un altro passo dantesco, nel quale io presumo di scorgere un'allusione
alle radici stesse della matematica.
Non si è
forse incontrato per la prima volta con la matematica ognuno di noi, quando da
bambino ha imparato a contare? I numeri 1, 2, 3 ci sono tanto familiari, perché per mezzo
loro siamo m grado di indicare quanti sono gli oggetti di un insieme qualsiasi:
quello degli uccelli posati su un albero, o quello delle monete che ho nel
borsellino, o quello delle molecole che contiene un grammo d'acqua, e via dicendo.
Ma ciò che fa di essi un primo mattone per la costruzione di edifici, cioè intendo
dire, di teorie matematiche aventi di volta in volta sempre maggiore
complessità, è la nostra capacità di pensarli astrattamente e come costituenti
un tutto, cioè come elementi di un insieme, che non e finito, perché non esiste
un numero più grande di tutti gli altri.
Questo,
che ugualmente viene detto «insieme dei numeri naturali», dovrà anch'esso
potersi introdurre mediante una definizione assiomatica, nel senso detto poco
fa. E solo alla fine del secolo scorso, tale definizione è stata precisamente
formulata da Giuseppe Peano. Non sto qui a ricordarla per disteso, ma dirò
soltanto che essa si basa sull'idea del passaggio da n a n+1, come dicono i
matematici, cioè da un qualsiasi numero al suo successivo.
Ora Dante
non poteva certo dire n e n+1; l'abitudine, che oggi ci è familiare, di
adoperare delle lettere, per indicare ora un numero, ora un altro, che a
ciascuna di esse si possa sostituire, è divenuta di uso comune solo molto più
tardi, perfino i nostri famosi algebristi del '500, per esempio, non l'avevano
ancora adottata.
Il poeta, allora per esprimere quello che oggi diremmo n e n+1, nomina il
primo numero che gli viene in mente e il suo successivo. E' cosi che va interpretato,
secondo me, «il cinque e il sei», che troviamo nella terzina del Paradiso a cui
sto pensando in questo momento. Eccola. Sono parole che Cacciaguida
rivolge a Dante (Par. XV, 35-37):
«Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch'è primo, così come raia
dall'un, se si conosce, il cinque e il sei».
Questo
generarsi dell'insieme di tutti i numeri naturali mediante il solo 1 viene ravvicinato da Dante alla conoscenza
che un beato, come Cacciaguida, può formarsi di tutti
i pensieri altrui mediante «quel ch'è primo», cioè il pensiero divino.
Vediamo
così espresso qui con un'allusione alla matematica un motivo che ricorre spesso
nel Paradiso il pensiero divino come (Par. XXVI,
106-108)
«... speglio,
che fa di se, pareglio
all'altre cose
e nulla face lui, di se, pareglio»,
nel quale
la mente dei beati può mettersi in contatto con la mente degli altri. Così, per
esempio, a Carlo Martello dice il poeta (Par. VIII 85-90):
«Pero ch'io credo che l'alta letizia,
che'l tuo parlar m'infonde,
signor mio,
la've ogni ben si termina e
s'inizia
per te si veggia
come la vegg'io,
grata m'e più, ed anco
questo ho caro,
perché ‘l
discerni rimirando in Dio»,
e a Folchetto di
Marsiglia (Par. IX, 73-74):
«Dio vede tutto, e tuo veder s'inluia,
beato spirito
»,
dove, fra
parentesi, possiamo ammirare il preziosismo del verbo inluiarsi,
cioè immedesimarsi in lui, che non si scompagna dagli altri consimili, ciascuno
usato una sola volta in tutto il poema, immiarsì, intuarsi (ibidem, 81), inleiarsi
(Par. XXII, 127), cioè immedesimarsi in
me, in te, in lei, indovarsi (Par. XXXIII, 138), cioè collocarsi, intrearsi (Par. XIII. 57),
cioè entrare come terzo, insemprarsi (Par, X, 148), cioè eternarsi.
* * *
Ma
torniamo ancora una volta alla matematica. Ho detto che l'insieme dei numeri
naturali costituisce un primo mattone per la costruzione di ogni teoria matematica.
E ho detto anche che esso non è un insieme finito: «i numeri non finiscono
mai», è una scoperta che, a un certo momento, fa ogni bambino.
È questa
l'intuizione dell'infinito matematico, che non va confuso con l'infinito
leopardiano, cioè con quella immensità, davanti alla quale l'emozione poetica
suscita un senso di vago sgomento o di smarrimento soave.
E non va
confuso neppure con quell'infinito, sul quale possono
disputare astronomi e cosmologi, legato all'idea della natura fisica del nostro
universo.
L'infinito
della matematica, a prescindere dall'uso che di questa parola fanno i
matematici anche in tutt'altro senso, nel parlare di
«tendenza a un limite», è qui inteso da me come «numerosità infinita di un insieme»,
cioè impossibilità, per certi insiemi, di contare quanti sono gli oggetti che
li formano.
Il primo,
che s'incontra, di questi insiemi è quello dei numeri naturali. Esso serve da
punto di partenza per ottenerne poi tanti altri, come, citando a caso fra
quelli più familiari a chi studia matematica, gl'insiemi dei numeri razionali,
reali, complessi, gli spazi lineari, metrici, topologici e cosi via: e notiamo
al passaggio come, a conferma della ricordata definizione di Poincaré, i matematici
adoperino sempre una stessa parola, per esempio «numero» o «spazio», per
indicare tante cose diverse una dall'altra, da definirsi di volta in volta.
Questa
idea di infinito è l'essenza di cui è impregnata tutta la matematica, la quale
da essa attinge quel carattere che la distingue dalle scienze della natura.
Quello che si osserva in natura ha sempre l'impronta del finito. Non deve ingannare
il fatto che non sappiamo contare le stelle in cielo e i granelli di sabbia in
riva al mare. Il numero di osservazioni che possiamo registrare, anche se i
moderni elaboratori lo hanno fantasticamente amplificato, è sempre finito, il
numero delle volte che possiamo ripetere un esperimento, per provare una legge
della fisica è sempre finito, la quantità delle cifre decimali nel numero, che
otteniamo misurando, per esempio, una lunghezza, è sempre finita.
E qui vien naturale di riattaccarsi all'esempio della √2.
che dicevo in principio, Essa è la lunghezza della diagonale del quadrato
avente per lato l'unità di misura scelta. Per quanto preciso possa essere il
disegno del quadrato con la sua diagonale, il disegnatore non potrà mai evitare
che, diviso materialmente il lato in un numero n abbastanza grande di tratti
uguali, poi riunendo un numero opportuno m di questi, venga esattamente
costruita sulla carta la diagonale: e ciò contraddice il facile ragionamento
matematico, col quale si riconosce che dividendo m per n, quali che essi siano,
è certamente impossibile ottenere la √2.
Discorso
perfettamente simile può farsi per la lunghezza della circonferenza, di cui si
prenda il diametro come unità di misura, che è il numero universalmente indicato
con la lettera π. A questo
proposito Dante dice (Par. XXXIIl, 133-136):
«Qual è il geometra, che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli
indige,
tal era io a quella vista nova».
Siamo qui
alla fine del poema. Il poeta deve dare un'idea dell'incommensurabile divario
fra umano e sovrumano, fra la sua capacità limitata di sentire e la visione diretta
di Dio, che gli è stata concessa al termine del suo favoloso viaggio
nell'aldilà, e non trova miglior mezzo di esprimersi che un confronto con l'ineliminabile
discordanza fra un oggetto materiale, qual è il cerchio disegnato sulla carta,
e uno immateriale, qual è il cerchio del matematico, fra un numero cosiddetto
«razionale», qual è quello del tipo m:n. con m, n naturali, che si trova
misurando materialmente sul disegno la circonferenza mediante il suo diametro,
e un numero come π, con l'insieme infinito di tutte le sue cifre decimali,
che non si potranno mai conoscere nella loro totalità, quando si sia calcolato
solo un numero finito di esse.
Questo è,
infatti, il senso che oggi io leggo nell'accenno di Dante a quel «principio» di
cui difetta il geometra: è il disaccordo tra quel che percepiscono i nostri
sensi come oggetti materiali e il suo corrispettivo in matematica, che è un
oggetto meramente intellettuale.
Giacché
nel mondo sensibile tutto è finito, mentre al nostro intelletto è stata
concessa anche la capacità d'illuminarsi dell'idea d'infinito.