Mio zio Gianfranco Cimmino era un matematico di prim'ordine, ed anche un cultore delle lingue e della musica, molto apprezzato dai suoi studenti non solo per la chiarezza delle sue spiegazioni, ma anche per una innata gentilezza d'animo. Tra le sue passioni vi erano Dante e la Divina Commedia (che conosceva interamente a memoria): in molte situazioni quotidiane egli trovava un aggancio dantesco e ne citava le terzine, arricchendole con spiegazioni e commenti che affascinavano chi lo ascoltava.

Sia la Matematica che Dante erano per lui argomenti vivi ed appassionanti: per condividere con voi tali sentimenti, pubblico questo suo articolo.

Diego Vasdeki

 

 

Dante e la Matematica

Nota[1] del socio ordinario non residente Gianfranco Cimmino

Questo breve saggio consisterà in una rapida rassegna di alcuni passi della Divina Commedia, che possono fornire l'occasione di intrattenersi su argomenti di carattere matematico. Esso si ispira alle mie due grandi avventure intellettuali, l'amore per il «poema sacro» e quello per la «regina delle scienze».

E mentre mi scuso coi letterati, se insufficientemente preparato oso inoltrarmi nel loro campo, prometto che, nel parlare del mio, mi limiterò soltanto a qualche punto di interesse generale, spaziando dalla logica fino alla fisica, ma procurando di riuscire comprensibile anche ai non specialisti.

* * *

Comincerò dai versi (Par. VI, 20-21)

«vegg'io or chiaro sì come tu vedi

 ogni contraddizione e falsa e vera».

Con essi, Dante propone, come esempio di assoluta evidenza, quello che i logici chiamano «principio di non contraddizione» fra una proposizione e la sua contraria, necessariamente una delle due è falsa e l'altra è vera.

E ricordiamo che nella Commedia si trova anche un interessante caso pratico di applicazione di questo principio, precisamente quando Guido da Montefeltro racconta il suo incontro con Bonifacio VIII, il quale gli chiede di escogitare un consiglio frodolento per espugnare con l'inganno la fortezza colonnese di Palestrina, e gli dice, per rassicurarlo e per vincere la sua riluttanza, che gli dà all'istante stesso l'assoluzione dal peccato, che con tale consiglio verrà da lui commesso. Ebbene, un diavolo esperto di logica va, al momento del trapasso, a prender possesso dell'anima di Guido, sicuramente consapevole della nullità dell'assoluzione papale, perché per essere assolti da un peccato, è necessario pentirsene, cioè non voler averlo commesso, in contraddizione con la volontà di commettere il peccato, propria di ogni peccatore, (Inf. XXVII, 118-120):

«Ch'assolver non si può chi non si pente,

pentere e volere insieme puossi,

per la contraddizion che no'l consente».

Com'è naturale, il principio di non contraddizione è pure alla base della matematica, i cui fondamenti s'intrecciano con quelli della logica. È tuttavia interessante rilevare come, indagando in profondità sulle radici del razionale, possano sorgere fra gli studiosi disparità di vedute; ciò accade, per esempio, a proposito del cosiddetto «principio del terzo escluso», che non va confuso con quello di non contraddizione e che può formularsi così: ogni proposizione è necessariamente o falsa o vera (tertium non datur).

Da alcuni questo principio è stato posto in discussione. Negarlo significa ammettere che una proposizione e la sua contraria potrebbero essere entrambe né false, né vere, bensì una qualche terza cosa, per esempio «indecidibili», come a volte si dice.

Un tal modo di pensare si può chiarire mediante un semplice esempio tratto dalla matematica stessa. Se si cerca la radice quadrata di 2, cioè un numero che moltiplicato per se stesso dia 2, si trovano facili procedimenti di calcolo, che forniscono 1,4142... e quant'altre si vogliano cifre decimali successive: e inoltre si prova agevolmente che queste non possono avere un termine, né ridursi, da un certo momento in poi, alla continua ripetizione di una, o di un certo gruppo di esse, come avviene quando si esegue la divisione di un numero intero per un altro. Ebbene, prendiamo la proposizione «nello sviluppo decimale della √2  vi sono dieci zeri consecutivi», e domandiamoci: è falsa o è vera? Sembra tanto più probabile che debba essere falsa, quanto più grande è il numero delle cifre decimali che si calcolano senza mai trovare i dieci zeri consecutivi; e con un moderno elaboratore si potrebbe calcolare in brevissimo tempo una quantità smisurata di tali cifre senza trovarli, ma non si può ritenere escluso che ciò continui a verificarsi anche se si raddoppia, per esempio, il numero delle cifre decimali calcolate. Ecco, dunque, sorgere il dubbio di una terza eventualità a cui da alcuni si pensa: la nostra proposizione non potrebbe essere tale da riuscire impossibile decidere se è falsa o vera?

Ma lasciamo i matematici ai loro dubbi e alle loro divergenze di opinioni, che, anche se ai non matematici ciò potrà sembrare strano, sussistono talvolta fra loro, soprattutto quando ci si trova ai confini con la logica. E torniamo alle nostre chiose dantesche, passando, questa volta, ai confini con la fisica,

* * *

È solo da poco più di cento anni che possiamo dire ci si sia resi ben conto della netta distinzione fra matematica pura e applicata[2]. Prima, la confusione che tacitamente si faceva tra le due, configurava il matematico anche come fisico e viceversa. Ed è per questo morivo che qui prendo in considerazione anche quei passi della Commedia, che sembrano riferirsi piuttosto alla fisica che alla matematica.

E tra questi il più esteso e il più interessante è indubbiamente quello del secondo canto del Paradiso, in cui si cerca una spiegazione del fatto che la luna possa avere delle macchie pur essendo, secondo la concezione di allora, come corpo celeste, necessariamente esente da ogni imperfezione.

Sarebbe bastato avere a disposizione l'«occhialino», come Galileo chiamava quello che poi dai primi Lincei fu battezzato «telescopio», sarebbe bastato guardare con esso il nostro satellite, per rendersi conto della natura di quelle che a occhio nudo ci appaiono come macchie. Ma non si può pretendere che Dante indovinasse ciò che si sarebbe banalmente capito, vedendo a distanza ravvicinata la superficie lunare tormentata da una quantità di crateri, catene montuose, valli, pianure, e notando il frastagliato gioco di luci e di ombre prodotto dai raggi del sole nell'illuminare un simile aspro paesaggio.

Il poeta si dibatte, quindi, fra le strane spiegazioni che tentava di dare la cultura del suo tempo, e fra queste si propone di confutarne una in particolare: quella che attribuisce la causa delle macchie lunari al fatto che la luna in certe sue parti sia più rarefatta, in altre più addensata. A Dante, che, interrogato da Beatrice aveva risposto così, la donna spiega che questo e un errore. Molto più avanti, poi, il poeta, nella sua visione, quando immaginerà di esser giunto così in alto da vedere le «sette spere», Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte, Giove Saturno, sotto di se, non celerà la sua soddisfazione nello scorgere la faccia della luna (Par. XXII, 140-141):

«senza quell'ombra che mi fu cagione,

per che già la credetti rara e densa».

La curiosa, lunga argomentazione di Beatrice nel secondo canto del Paradiso comincia ad escludere che la rarefazione possa essere tale che, quando la luna passa davanti al sole, eclissandolo alla nostra vista, la luce solare debba trasparire attraverso la parte rarefatta: ciò non si osserva, infatti, allorché si produce l'eclissi. Rimane da escludere anche che i raggi solari possano riflettersi più luminosamente in certe parti, e meno in certe altre, rispetto a quelle, più arretrate, che sarebbero poi le parti dette rarefatte, intendendosi ora con questa parola che in esse il corpo celeste presenterebbe un minore spessore (Par II, 94-96):

«Da questa istanza può deliberarti

esperienza, se giammai la provi,

ch'esser suol fonte ai rivi di vostr'arti»,

dice a questo punto Dante con un'affermazione, che precorre la fiducia di Galileo nel metodo sperimentale. Ma sentiamo come egli stesso descrive l'esperi­mento proposto (Par. II, 97-105):

«Tre specchi prenderai; e due rimovi da te

d'un modo e l'altro più rimosso,

tr'ambo li primi, gli occhi tuoi ritrovi.

Rivolto ad essi, fa che dopo 'l dosso

ti stea un lume, che i tre specchi accenda,

e torni a te da tutti ripercosso.

Benché, nel quanto, tanto non si stenda

la vista più lontana, lì vedrai,

come convien ch'igualmente risplenda».

Per quale motivo questo esperimento ci sembra oggi del tutto illusorio, e in ogni caso lontanissimo da quelli, che, da Galileo in poi, vengono impiegati per scoprire le leggi della fisica? Chiaramente per il semplice fatto che esso si limita a valutazioni di carattere qualitativo, e non quantitativo: più o meno lontano, più o meno luminoso, si dice, ma senza precisare «di quanto». Soltanto una misura­zione quantitativa, come, per esempio, nella fattispecie, sarebbe quella della distanza e della luminosità, permetterebbe di tradurre in numeri il fenomeno sperimentalmente osservato.

Per meglio intendere ciò, si pensi, per fissare la mente su un esempio particolarmente semplice, alla legge di libera caduta dei gravi nel vuoto scoperta da Galileo, secondo la quale gli spazi percorsi dal grave sono proporzionali ai quadrati dei tempi impiegati a percorrerli: essa non potrebbe essere formulata senza misurazioni, che mutino in numeri gli intervalli spaziali e temporali considerati.

Fissare unità di misura per le grandezze fisiche, cominciando a far ciò per spazi e tempi, e forze, e masse, finché si resta nel capitolo della meccanica, e poi per temperature, luminosità, intensità di correnti e cosi via, quando si studia, per esempio, termologia, ottica, elettrologia, in modo da poter procedere a misurazioni, ognuna delle quali dia luogo a un numero, ecco ciò che getta un ponte fra scienze della natura e matematica, ecco ciò che consente a Galileo di dire la famosa frase «il libro della natura è scritto in linguaggio matematico».

* * *

Incidentalmente notiamo, tuttavia, un caso particolarissimo di legge fisica, in cui non si sente l'esigenza della misurazione, perché non si tratta di confrontare un più e un meno, ma c'è solo da considerare una uguaglianza: la legge di riflessione dei raggi luminosi su una superficie speculare, legge di solito enunciata col dire che l'angolo d'incidenza è complanare e uguale all'angolo di riflessione, cosi indicandosi gli angoli formati dalla normale allo specchio nel punto in cui avviene la riflessione, rispettivamente col raggio che arriva in quel punto e col raggio riflesso che ne riparte. Tale legge viene espressa in due terzine del Purgatorio, supponendo lo specchio in posizione orizzontale, come acqua stagnante, e quindi la normale ad esso verticale, com'è «il cader della pietra», cioè il filo a piombo (Purg. XV, 16-21):

«Come quando da l'acqua o da lo specchio

salta lo raggio a l'opposita parte,

salendo su per lo modo parecchio

a quel che cade, e tanto si diparte

dal cader della pietra in igual tratta,

sì come mostra esperienza e arte».

Ecco che qui abbiamo un perfetto accordo con quello che possiamo dire anche oggi. A differenza del clamoroso disaccordo osservato prima, in un caso, che oggi ci fa sorridere, come quello delle macchie lunari e dell'esperienza dei tre specchi.

* * *

Ma vi è un altro punto, che mi sembra interessante segnalare, in cui Dante ci dà l'impressione di precorrere i tempi, quasi divinando la scoperta della gravitazione universale, con la quale il sommo Newton, più di tre secoli dopo, immortalerà il proprio nome: penso, cioè, al primo canto del Paradiso.

Va dapprima ricordato che nell'Inferno si trova menzionato il centro della terra come quel punto (Inf. XXXIV, 111)

«al qual si traggon d'ogni parte i pesi».

E poi, nel Purgatorio, Dante mostra di concepire questa attrazione dei gravi verso il centro della terra come una forza, la cui intensità va sempre diminuendo, man mano che ci si allontana dal centro stesso. Ciò fa sì che, nell'ascensione di quell'altissima montagna, che verrà chiamata (Par. XXVI, 139)

«il monte che si leva più dall'onda»,

all'inizio, essendo ancora relativamente vicini al centro della terra, si richieda uno sforzo immenso, e il poeta ha bisogno dell'incoraggiamento di Virgilio (Purg. IV, 37-38)

«… nessun tuo passo caggia,

pur su al monte dietro a me acquista»,

e poi (ibidem, 46-47)

«… infin quivi ti tira

additandomi un balzo poco in sue»,

e poco dopo soggiunge (ibidem, 50-51)

«io mi sforzai, carpando appresso a lui,

infin che il cinghio sotto i pié mi fue».

Ma poi la fatica del salire, via via che si va più su, diventerà sempre più lieve, come spiegherà lo stesso Virgilio (Purg. IV, 88-94):

«… Questa montagna è tale,

che sempre al cominciar di sotto è grave,

e quant'uom più va su e men fa male,

però quand'ella ti parrà soave,

tanto che su andar ti fia leggero

come, a seconda, giù andar per nave,

allor sarai al fin d'esto sentiero».

Giunto finalmente alla vetta del purgatorio, nel paradiso terrestre, Dante si sentirà spiegare da Beatrice che, come diremmo con linguaggio odierno, l'effetto della gravitazione terrestre si è annullato, cioè si verifica quell'assenza di peso che oggi sperimentano gli astronauti, quando raggiungono quote stratosferiche; e perciò il poeta non deve meravigliarsi, se, senza neppure accorgersene, si solleva da terra, così come non si stupirebbe di veder venire giù da una montagna l'acqua di un fiume (Par. I 136-139):

«Non dèi più ammirar, se bene stimo,

lo tuo salir, se non come d'un rivo,

che d'alto monte scenda giuso ad imo».

Questa è la terzina in cui io scorgo un barlume divinatorio, perché essa ravvicina la gravitazione terrestre, che fa scendere da monte a valle l'acqua di un rivo, a una forza extra-terrestre, che attrae i corpi verso il cielo, quando essi non subiscono più l'influsso dell'attrazione terrestre, essendosi troppo allontanati dal nostro pianeta. É questa appunto l'intuizione di Newton: la forza per cui i gravi cadono sulla terra è la stessa di quella che trattiene nelle loro orbite la luna attorno a noi e i pianeti attorno al sole.

Naturalmente, nelle parole dantesche non possiamo presumere di vedere più che una vaga profezia di quella che sarebbe poi stata la dottrina newtoniana. Profezia mascherata poi dal colore del tempo: la forza di attrazione extra-terrestre sarebbe probabilmente, nella mente del poeta. (Par. XXXIII, 145)

«l'amor che move il sole e l'altre stelle».

Di più, ancora una volta, notiamo la tipica mancanza di valutazione quantitativa per tale forza e per il variare dell'attrazione terrestre con la distanza dal centro della terra

* * *

Ricordiamo ora due passi della Commedia, che riguardano la geometria elementare ancor oggi insegnata ai ragazzi nelle scuole.

Il primo si trova in una lunga spiegazione, che San Tommaso d'Aquino fa a Dante. sul significato delle parole, che aveva dette, riferendosi al re Salomone (Par. X, 112-115):

«...l'alta mente u' si profondo

saver fu messo, che, se vero è vero,

a1 veder tanto non surse il secondo».

Esse avevano fatto nascere nel poeta il dubbio di una contraddizione con la credenza che il colmo della sapienza fosse stato infuso solo in Adamo e in Cristo. E Tommaso, pur approvando pienamente tale credenza, chiarisce che contraddizione con le sue precedenti parole non c'è; e ciò perché anzitutto, in quelle, il «surse» vuole indicare che solo fra i re, non fra tutti gli uomini, Salomone non fu secondo a nessuno in «sapienza», e poi perché questa sapienza va intesa qui come «regal prudenza», cioè capacità del re di provvedere al suo popolo, che il Signore aveva concessa in grado supremo a quel grande re, quando da lui ne ebbe richiesta. Era, infatti, quella di Salomone al Signore, che in sogno gli aveva detto « chiedimi ciò che vuoi che ti conceda ». non richiesta dì sapienza teologica. logica, filosofica o geometrica, precisamente, dice Dante (Par. XIII, 97-102):

«non per sapere il numero in che enno

li motor di quassù, o se nocesse

con contingente mai necesse fenno,

non si est dare primum motum esse,

o se nel mezzo cerchio far si puote

triangol sì che un retto non avesse»,

ecco qui l'allusione a un fatto geometrico.

L'altro accenno di natura geometrica si trova nelle parole, con cui Dante si rivolge al suo trisavolo Cacciaguida, chiedendogli la predizione dei «colpi di ventura » che sa di dover affrontare (Par. XVIII, 27),

«ché saetta previsa vien più lenta».

Egli sa, infatti, che i beati, nella loro visione diretta di Dio. cioè (ibidem. 17-18)

«... mirando il Punto,

a cui tutti li tempi son presenti».

sono in grado di leggere nel futuro, che si rivela a loro così chiaramente (ibidem. 14-15)

"... come veggion le terrene menti

 non capere in triangolo due ottusi».

Si tratta, dunque, in questi due passi, di due asserzioni sul triangolo: 1) che quando esso è inscritto in una semicirconferenza deve avere un angolo retto, 2) che. in ogni caso, esso non può avere due angoli entrambi maggiori di un retto. Si tratta. cioè, di due immediate conseguenze di quella proposizione ben nota agli antichi, secondo la quale la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due retti.

E questa proposizione, a sua volta, è equivalente, come facilmente si riconosce, a quella divenuta poi famosa sotto il nome di «quinto postulalo di Euclide», cioè in un piano a una retta, da un punto fuori di essa si può condurre una, ed una sola, parallela, dove due rette del piano sono dette parallele, quando sono prive di punto comune.

* * *

Perché si dice «quinto postulalo» e qual è il motivo per cui esso può considerarsi «famoso»? Euclide fu autore, nel quarto secolo avanti Cristo, del primo trattato sistematico di geometria. Era intitolato «Elementi» e ad esso, come è ben noto, hanno poi attinto tutti gli altri geometri dei tempi seguenti. La teoria di Euclide parte da alcune proposizioni primitive, che si ritiene di poter considerare evidenti per se stesse, delle quali, cioè, si postula la verità; essa prosegue poi con dimostrazioni. che da quelle fanno derivare altre proposizioni più complesse, dette «teoremi». Il postulato delle parallele occupa il quinto posto nell'elenco di Euclide delle proposizioni primitive. L'evidenza intuitiva di queste è tuttavia affidata a ciò che il nostro occhio vede nel disegno.

Ora, nel caso del quinto postulalo, la possibilità di disegnare su un foglio di carta due segmenti rettilinei, che, per quanto vengano prolungati, non s'incontrino mai, ci può apparire piuttosto problematica: se pensiamo, per esempio, che la superficie del nostro globo ci appare piana, anziché sferica, e che la linea più breve congiungente due punti su di essa è l'arco di cerchio massimo di tale superficie sferica, il quale ci appare rettilineo anziché circolare, ecco che. prolungando due di questi fin dove possibile, troveremo che essi hanno due punti comuni, uno all'antipodo dell'altro. Ci sembra, pertanto, non contrario all'evidenza visiva ammettere che due rette del nostro piano non possano mai essere parallele.

Idee di questo genere angustiavano la mente degli scienziati ancora nel secolo scorso; si cercava affannosamente di «dimostrare» il postulalo delle parallele e ci si illudeva talvolta di esservi riusciti, mentre invece non si era riusciti ad altro, che a sostituirlo con un altro equivalente, ma inficiato dello stesso grado di non assoluta evidenza. Tale è, per esempio. l'affermazione appunto che la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due retti: così. nei triangoli sferici, che possiamo immaginare tracciati sul nostro globo, la somma degli angoli è maggiore di due retti.

Caratteristico del travaglio di idee e dell'illusione di cui parliamo è il titolo di un'opera assai nota nel secolo scorso, del dotto gesuita padre Sacchcri, vittima anche lui di quella fallace illusione: «Euclides ab omni naevo vindicatus».

La questione sembrava porsi in questi termini: insomma, è vero o non vero quello che asserisce il postulato delle parallele? Vediamo qui spuntare di nuovo la nostra fede istintiva nel «tertium non datur». La risposta a questo interrogativo segna una pietra miliare nella stona della matematica: non bisogna confondere cose materiali come la punta di un ago, un filo teso, un foglio di carta, percepibili dai nostri sensi, con cose immateriali, come il punto senza dimensioni, la retta con una sola dimensione, il piano con due, che la matematica ci propone come oggetti puramente intelligibili, e di cui in natura non possiamo trovare che delle grossolane imitazioni. Le proposizioni primitive relative a questi oggetti immateriali ci saranno, è vero, suggerite da ciò che tali imitazioni ci mostrano, ma il matematico deve considerarle come costituenti non altro che la loro stessa definizione

La concezione moderna della matematica cui alludevo in principio, citando la distinzione tra matematica pura e applicata, è scaturita principalmente di qui. Si può costruire una «geometria euclidea», nella quale, fra le proposizioni primitive che danno la cosiddetta «definizione assiomatica» degli oggetti astratti chiamati punti, rette, piani, è incluso il postulato delle parallele, e una «geometria non euclidea», che lo nega, nella quale, pertanto, si useranno ancora le stesse parole punto, retta, piano, ma, per non ledere il principio di non contraddizione, con altro significato.

Non va dimenticata, a questo proposito, la definizione data scherzosamente da Poincaré della matematica come «arte di chiamare cose diverse con Io stesso nome».

Naturalmente, Dante non poteva neppur lontanamente immaginare ciò che solo poco più di cent'anni fa, e con tanta fatica, come abbiamo detto è divenuto chiaro ai matematici, e cioè che ogni loro teoria studia una certa categoria di enti astratti assiomaticamente definiti. Ma è significativo il fatto che il poeta, nei suoi unici accenni alla geometria, abbia additato proprio un punto cruciale, che è, come si e visto, la principale origine di quella che ho chiamata concezione moderna della matematica.

* * *

Parlerò ora di un altro passo dantesco, nel quale io presumo di scorgere un'allusione alle radici stesse della matematica.

Non si è forse incontrato per la prima volta con la matematica ognuno di noi, quando da bambino ha imparato a contare? I numeri 1, 2, 3   ci sono tanto familiari, perché per mezzo loro siamo m grado di indicare quanti sono gli oggetti di un insieme qualsiasi: quello degli uccelli posati su un albero, o quello delle monete che ho nel borsellino, o quello delle molecole che contiene un grammo d'acqua, e via dicendo. Ma ciò che fa di essi un primo mattone per la costruzione di edifici, cioè intendo dire, di teorie matematiche aventi di volta in volta sempre maggiore complessità, è la nostra capacità di pensarli astrattamente e come costituenti un tutto, cioè come elementi di un insieme, che non e finito, perché non esiste un numero più grande di tutti gli altri.

Questo, che ugualmente viene detto «insieme dei numeri naturali», dovrà anch'esso potersi introdurre mediante una definizione assiomatica, nel senso detto poco fa. E solo alla fine del secolo scorso, tale definizione è stata precisamente formulata da Giuseppe Peano. Non sto qui a ricordarla per disteso, ma dirò soltanto che essa si basa sull'idea del passaggio da n a n+1, come dicono i matematici, cioè da un qualsiasi numero al suo successivo.

Ora Dante non poteva certo dire n e n+1; l'abitudine, che oggi ci è familiare, di adoperare delle lettere, per indicare ora un numero, ora un altro, che a ciascuna di esse si possa sostituire, è divenuta di uso comune solo molto più tardi, perfino i nostri famosi algebristi del '500, per esempio, non l'avevano ancora adottata.

Il poeta, allora per esprimere quello che oggi diremmo n e n+1, nomina il primo numero che gli viene in mente e il suo successivo. E' cosi che va interpretato, secondo me, «il cinque e il sei», che troviamo nella terzina del Paradiso a cui sto pensando in questo momento. Eccola. Sono parole che Cacciaguida rivolge a Dante (Par. XV, 35-37):

«Tu credi che a me tuo pensier mei

da quel ch'è primo, così come raia

dall'un, se si conosce, il cinque e il sei».

Questo generarsi dell'insieme di tutti i numeri naturali mediante il solo 1 viene ravvicinato da Dante alla conoscenza che un beato, come Cacciaguida, può formarsi di tutti i pensieri altrui mediante «quel ch'è primo», cioè il pensiero divino.

Vediamo così espresso qui con un'allusione alla matematica un motivo che ricorre spesso nel Paradiso il pensiero divino come (Par. XXVI, 106-108)

«... speglio,

che fa di se, pareglio all'altre cose

e nulla face lui, di se, pareglio»,

nel quale la mente dei beati può mettersi in contatto con la mente degli altri. Così, per esempio, a Carlo Martello dice il poeta (Par. VIII 85-90):

«Pero ch'io credo che l'alta letizia,

che'l tuo parlar m'infonde, signor mio,

la've ogni ben si termina e s'inizia

per te si veggia come la vegg'io,

grata m'e più, ed anco questo ho caro,

perché ‘l discerni rimirando in Dio»,

e a Folchetto di Marsiglia (Par. IX, 73-74):

«Dio vede tutto, e tuo veder s'inluia,

beato spirito »,

dove, fra parentesi, possiamo ammirare il preziosismo del verbo inluiarsi, cioè immedesimarsi in lui, che non si scompagna dagli altri consimili, ciascuno usato una sola volta in tutto il poema, immiarsì, intuarsi (ibidem, 81), inleiarsi (Par. XXII, 127), cioè immedesimarsi in me, in te, in lei, indovarsi (Par. XXXIII, 138), cioè collocarsi, intrearsi (Par. XIII. 57), cioè entrare come terzo, insemprarsi (Par, X, 148), cioè eternarsi.

* * *

Ma torniamo ancora una volta alla matematica. Ho detto che l'insieme dei numeri naturali costituisce un primo mattone per la costruzione di ogni teoria matematica. E ho detto anche che esso non è un insieme finito: «i numeri non finiscono mai», è una scoperta che, a un certo momento, fa ogni bambino.

È questa l'intuizione dell'infinito matematico, che non va confuso con l'infinito leopardiano, cioè con quella immensità, davanti alla quale l'emozione poetica suscita un senso di vago sgomento o di smarrimento soave.

E non va confuso neppure con quell'infinito, sul quale possono disputare astronomi e cosmologi, legato all'idea della natura fisica del nostro universo.

L'infinito della matematica, a prescindere dall'uso che di questa parola fanno i matematici anche in tutt'altro senso, nel parlare di «tendenza a un limite», è qui inteso da me come «numerosità infinita di un insieme», cioè impossibilità, per certi insiemi, di contare quanti sono gli oggetti che li formano.

Il primo, che s'incontra, di questi insiemi è quello dei numeri naturali. Esso serve da punto di partenza per ottenerne poi tanti altri, come, citando a caso fra quelli più familiari a chi studia matematica, gl'insiemi dei numeri razionali, reali, complessi, gli spazi lineari, metrici, topologici e cosi via: e notiamo al passaggio come, a conferma della ricordata definizione di Poincaré, i matematici adoperino sempre una stessa parola, per esempio «numero» o «spazio», per indicare tante cose diverse una dall'altra, da definirsi di volta in volta.

Questa idea di infinito è l'essenza di cui è impregnata tutta la matematica, la quale da essa attinge quel carattere che la distingue dalle scienze della natura. Quello che si osserva in natura ha sempre l'impronta del finito. Non deve ingannare il fatto che non sappiamo contare le stelle in cielo e i granelli di sabbia in riva al mare. Il numero di osservazioni che possiamo registrare, anche se i moderni elaboratori lo hanno fantasticamente amplificato, è sempre finito, il numero delle volte che possiamo ripetere un esperimento, per provare una legge della fisica è sempre finito, la quantità delle cifre decimali nel numero, che otteniamo misurando, per esempio, una lunghezza, è sempre finita.

E qui vien naturale di riattaccarsi all'esempio della √2. che dicevo in principio, Essa è la lunghezza della diagonale del quadrato avente per lato l'unità di misura scelta. Per quanto preciso possa essere il disegno del quadrato con la sua diagonale, il disegnatore non potrà mai evitare che, diviso materialmente il lato in un numero n abbastanza grande di tratti uguali, poi riunendo un numero opportuno m di questi, venga esattamente costruita sulla carta la diagonale: e ciò contraddice il facile ragionamento matematico, col quale si riconosce che dividendo m per n, quali che essi siano, è certamente impossibile ottenere la √2.

Discorso perfettamente simile può farsi per la lunghezza della circonferenza, di cui si prenda il diametro come unità di misura, che è il numero universalmente indicato con la lettera π. A questo proposito Dante dice (Par. XXXIIl, 133-136):

«Qual è il geometra, che tutto s'affige

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond'elli indige,

tal era io a quella vista nova».

Siamo qui alla fine del poema. Il poeta deve dare un'idea dell'incommensurabile divario fra umano e sovrumano, fra la sua capacità limitata di sentire e la visione diretta di Dio, che gli è stata concessa al termine del suo favoloso viaggio nell'aldilà, e non trova miglior mezzo di esprimersi che un confronto con l'ineliminabile discordanza fra un oggetto materiale, qual è il cerchio disegnato sulla carta, e uno immateriale, qual è il cerchio del matematico, fra un numero cosiddetto «razionale», qual è quello del tipo m:n. con m, n naturali, che si trova misurando materialmente sul disegno la circonferenza mediante il suo diametro, e un numero come π, con l'insieme infinito di tutte le sue cifre decimali, che non si potranno mai conoscere nella loro totalità, quando si sia calcolato solo un numero finito di esse.

Questo è, infatti, il senso che oggi io leggo nell'accenno di Dante a quel «principio» di cui difetta il geometra: è il disaccordo tra quel che percepiscono i nostri sensi come oggetti materiali e il suo corrispettivo in matematica, che è un oggetto meramente intellettuale.

Giacché nel mondo sensibile tutto è finito, mentre al nostro intelletto è stata concessa anche la capacità d'illuminarsi dell'idea d'infinito.



[1] [Dagli Atti dell’Accademia Pontaniana (1988) –  N.d.R.]

[2] G. Cimmino, Come la matematica è vista oggi dall'occhio di un matematico, Rend. Acc. Sci. Bologna, 1987.