Il principio d'induzione

Enunciato: per dimostrare che una proprietà A vale per ogni n in , occorre dimostrare che essa vale per A(0), e A(n) vera deve implicare A(n+1) vera.

Enunciato alternativo: se dei ragazzi sono seduti sul bordo della piscina, sono ordinati secondo il peso e legati tra di loro da una corda; allora se spingo il più grosso, tutti finiscono in acqua.

Hp: A(n) è un enunciato    
  A() è vera (base)    
  (ipotesi d'induzione o passo induttivo)    
Th: A(n) vera    
       

Dimostrazione:

Posto per assurdo che esista un tale che è falso.
Detto H l'insieme degli { :} si ha che è un elemento di H.
Detto il min(H), che esiste perchè H è incluso in , e in ogni sottoinsieme non vuoto ammette il minimo, si ha che { -1} non appartiene ad H => A(-1) è vera.
Per ipotesi di induzione A(-1+1) è vera, ma A() è falsa: è assurdo perchè una proposizione non può essere allo stesso tempo vera e falsa. L'assurdo è derivato dall'aver supposto che esistesse un tale che A() è falso.

Approfondimenti:

Il principio d'induzione è di fondamentale importanza per poter estendere le osservazioni su un numero finito di elementi, ad un numero infinito di elementi. Già conosciuto dai Greci, fu utilizzato in diverse forme da parecchi matematici, fino a quando fu Pascal ad enunciarlo nella forma definitiva.

E' interessante notare come possa contrastare aspramente con le filosofie empiriste, quali quella dell'inglese Hume. Qui di segnuito due brevi cenni, estratti dall'opera di Popper, mettono in evidenza quanto il principio d'induzione sia vulnerabile alle filosofie più rigorose. Tuttavia senza di esso non si potrebbe procedere con la matematica... e non potremmo neanche costruire i frigoriferi e le automobili, indispensabili per noi. E' questo lo spirito che spinge a considerare la matematica "abbastanza valida" per gli usi successivi, di calcolo e fisici; e quindi tende a "sorvolare" sulle contraddizioni che si generano nella fondazione di un sistema.

Secondo un punto di vista largamente accettato [...]le scienze empiriche possono essere caratterizzate dal fatto di usare i cosiddetti "metodi induttivi".[…]Già dall’opera di Hume si sarebbe dovuto vedere chiaramente che in relazione al principio d’induzione possono facilmente sorgere contraddizioni; e si sarebbe anche dovuto vedere che esse possono venire evitate, ammesso che lo possano, soltanto con difficoltà. Infatti il principio d’induzione dev’essere a sua volta un’asserzione universale.[...]Per giustificarlo, dovremmo impiegare inferenze induttive; e per giustificare queste ultime dovremmo assumere un principio induttivo di ordine superiore, e così via. In tal modo il tentativo di basare il principio d’induzione sull’esperienza fallisce, perché conduce necessariamente a un regresso infinito. (K. Popper, Logica della scoperta scientifica, Torino, Einaudi, 1970, pp. 5-7.)

Dunque la base empirica delle scienze oggettive non ha in sé nulla di "assoluto". La scienza non posa su un solido strato di roccia. L’ardita struttura delle sue teorie si eleva, per così dire, sopra una palude. È come un edificio costruito su palafitte. Le palafitte vengono conficcate dall’alto, giù nella palude: ma non in una base naturale o "data"; e il fatto che desistiamo dai nostri tentativi di conficcare più a fondo le palafitte non significa che abbiamo trovato un terreno solido. Semplicemente, ci fermiamo quando siamo soddisfatti e riteniamo che almeno per il momento i sostegni siano abbastanza stabili da sorreggere la struttura. K. Popper, Logica della scoperta scientifica, Torino, Einaudi, 1970, pp. 102, 104, 107-108.)