Dimostrazione dell'incompletezza di Q

A fondo pagina le definizioni di Q insieme dei numeri razionali, "insiemi ordinati", "insiemi totalmente ordinati", "insiemi separati", "elementi di separazione" e "insiemi completi". Si assume dimostrata l'irrazionalità di .

Hp: insieme dei numeri razionali    
       
Th: non è completo    
       
  Dimostrazione:    

Prendiamo i sottinsiemi e i cui elementi, elevati al quadrato, sono rispettivamente minori e maggiori di 2.

Dimostriamo la separazione dei due insiemi:
Presi e , risulta et per definizione, quindi . Poichè in generale , ciò implica che . Non avendo posto alcuna condizione su e , eccetto quella di appartenere a e , l'ultima disuguaglianza vale e . I due insiemi sono dunque separati.

Prima di continuare occorre dimostrare la seguente proposizione:

Hp: (stesso insieme X di prima)  
     
Th:  
     
 

Per dimostrare che esiste sempre un n valido, è sufficiente trovare un modo per costruirlo. Affinchè appartenga a X deve essere :

cerchiamo per quali q esistono degli n verificanti la disequazione
poichè il discriminante è sempre positivo, allora è sempre possibile trovare degli n validi, e sono:

Il primo intervallo è da escludere, in quanto porta a valori di . Infatti il denominatore del secondo membro è positivo e il numeratore negativo, pertanto un numero minore di uno negativo, è negativo, impossibile in N.

Poichè l'unica condizione su q era l'appartenenza a X, il "teorema" vale . Poichè n è positivo, allora è senz'altro maggiore di .

 

Allo stesso modo si dimostra che

Dimostriamo che non può esistere un elemento di separazione:
supposto per assurdo
Si avrebbe che

Osserviamo che, vista l'irrazionalità di , . Esclusa l'uguaglianza, poichè Q è totalmente ordinato, risulterà che . Nel primo caso apparterrebbe a X, e questo è assurdo, perchè fissato in X sarebbe sempre possibile trovare un n (e quindi un q) in X maggiore di e minore di . Si giunge ad un assurdo simile ponendo appartenente a . Gli assurdi sono derivati dall'aver posto , pertanto (elemento di separazione) non appartiene a Q e tale insieme non è completo. c.v.d.

Definizioni:

Insieme dei numeri razionali:

E' insieme ordinato la coppia in cui E è un insieme, e una relazione d'ordine su E.

E' insieme totalmente ordinato quell'insieme in cui tutti gli elementi sono paragonabili o, più rigorosamente:
Un insieme si dice totalmente ordinato se e solo se E è un insieme e è una relazione di totale ordine su E.
Una relazione d'ordine è di totale ordine si ha che x è paragonabile con mediante .
Si dice che x e sono paragonabile mediante .

Si dice che l'insieme X è separato da per

Se X e (inclusi in E) sono separati per , allora di E è elemento di separazione di X e per

Un insieme ordinato si dice completo quando elemento di separazione.