E-school  di  Arrigo Amadori

Algebra I

Numeri reali

01 - Introduzione.

Diamo qui solo una breve ed essenziale presentazione dei numeri reali dal punto di vista squisitamente 
algebrico (come sistema algebrico). Si presuppone che le regole e le proprietà di calcolo dei suddetti 
siano note in quanto appresi a livello scolastico medio.


02 - Numeri naturali N.

I numeri naturali  1, 2, 3 …  sono alla base della teoria dei numeri. Essi non sono definibili e per essi 
valgono i tre assiomi di Peano. Una loro esposizione intuitiva è la seguente :

        - 1’ assioma di Peano : esiste il numero  1  e l’insieme  N-{1}  non è vuoto

        - 2’                          : ogni numero naturale possiede un successivo

        - 3’                          : ogni numero naturale si ottiene da  1  contando in successione

Questi tre assiomi costituiscono la base logica di tutta la teoria dei numeri.

Da questi tre assiomi discende immediatamente il principio di induzione matematica che assicura che 
una affermazione è vera per ogni  n  appartenente ad  N  se è vera per  n = 1  ed, essendo vera per  n
lo è anche per  n+1.


Questo principio può essere utilizzato ogni volta in cui si vuole dimostrare l’esattezza di una affermazione 
legata ai numeri naturali.

L’insieme dei numeri naturali dotato delle operazioni di somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione 
d’ordine di minore  (<)  è un sistema algebrico e viene denotato con  (N; +, *, <) .


03 - Numeri interi I.

Consideriamo il prodotto cartesiano  N2 = N x N  formato dalle coppie ordinate di numeri naturali  (a,b)  
che indichiamo per comodità  a – b  (qui il simbolo  -  è usato per comodità e non indica ancora la 
sottrazione).

Introduciamo in  N2  la relazione di equivalenza    definita da :

        (a – b ≈  c – d) ↔ (a + d = b + c)

Essa introduce intuitivamente l’operazione di sottrazione  (-)  come operazione inversa della somma. 
Per esempio :

        (5,3) = 5 – 3 ≈  (8,6) = 8 – 6 ≈  (10,8)   = 10 – 8    
        (1,1) = 1 – 1 ≈  (4,4) = 4 – 4 ≈  (12,12) = 12 – 12 ≈ 
        (2,5) = 2 – 5 ≈  (3,6) = 3 – 6 ≈  (8,11)   = 8 – 11    
        … … …
        … … …

La relazione di equivalenza      induce in  N2  una partizione in classi di equivalenza ciascuna delle quali 
definisce un numero intero. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri interi  I  ed è uguale all’insieme 
quoziente  N2 / ≈ .


Dall’esempio precedente :

       
5 – 3 = 8 – 6 = 10 – 8   = … =  [2]  = 2         (le parentesi quadre indicano una classe di equivalenza)
       
1 – 1 = 4 – 4 = 12 – 12 = … =  [0]  = 0
       
2 – 5 = 3 – 6 = 8 – 11   = … =  [-3] = -3

Un numero intero è quindi una classe di equivalenza, ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate fra loro 
equivalenti ad una data che si ottiene dalla differenza (inverso della somma) fra due numeri naturali qualunque. 
Per comodità ogni numero intero viene indicato non dalla sua classe ma da un numero naturale preceduto 
dal segno  +  oppure  -  (il segno  +  può essere omesso).


L’insieme dei numeri interi è quindi  I = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}  e su di esso sono definite le 
operazioni di somma  (+) , sottrazione ( - , l’operazione inversa della somma) e moltiplicazione  (*) .


Il sottoinsieme dei numeri interi positivi è indicato da I+, mentre quello dei numeri negativi è indicato da I- 
per cui :

       
I =  I+   U   {0}   U    I-        (il simbolo U indica l’unione)

L’insieme  I  dotato delle operazioni somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione d’ordine minore    
(<)  costituisce il sistema algebrico dei numeri interi  (I; +, *, <) .

Il sistema  (I+; +, *, <)  è algebricamente isomorfo ad  (N; +, *, <)  per cui  I  rappresenta una estensione 
di  N  :




04 - Numeri razionali Q.

Consideriamo il prodotto cartesiano  I x  {I - {0}}  formato dalle coppie ordinate di numeri interi  (m,a)   
che indichiamo per comodità  m / a  (qui il simbolo  /  non indica ancora la divisione). La seconda 
coordinata deve essere diversa da zero.


Introduciamo in  I x  {I - {0}}  la relazione di equivalenza     definita da

        (m / a ≈  n / b) ↔ (m * b = n * a)

Essa introduce intuitivamente l’operazione di divisione (/) come operazione inversa della moltiplicazione. 
Per esempio : 

       
(3,4)  = 3/4    (6,8)  = 6/8      (-12,-16)   = 12/16    
       
(1,1)  = 1/1    (3,3)  = 3/3      (4,4)         =  4/4        
       
(-3,1) = -3/1 ≈  (6,-2) = -6/2 ≈  (-9,3)         = -9/3        
       
(0,2)   = 0/2    (0,3)  = 0/3     (0,-4)        = -0/4       
       
… … …
       
… … …

La relazione di equivalenza   ≈   induce in  I x  {I - {0}}  una partizione in classi di equivalenza ciascuna 
delle quali definisce un numero razionale. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri razionali  Q  ed è 
uguale all’insieme quoziente  I x  {I - {0}} / ≈ .


Dall’esempio precedente :

       
3/4   = 6/8  = 12/16 = … =  [3/4]  = 3/4         (le parentesi quadre indicano una classe di equivalenza)
       
1/1   = 3/3  = 4/4     = … =  [1]     = 1
       
-3/1  = -6/2 = -9/3   = … =  [-3]    = -3
       
0/2   = 0/3   = 0/4    = … = [0]      = 0

Un numero razionale è quindi una classe di equivalenza, ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate fra 
loro equivalenti ad una data che si ottiene dalla divisione (inverso della moltiplicazione) fra due numeri 
interi qualunque. Per comodità ogni numero razionale viene indicato non dalla sua classe ma da un numero 
frazionario preceduto dal segno  +  oppure  -  (il segno  +  può essere omesso e se una frazione è una 
divisione esatta si può indicare col solo numero intero corrispondente).

L’insieme dei numeri razionali è quindi  Q = {…, tutte le frazioni positive e negative di numeri interi, …}  e 
su di esso sono definite le operazione di somma  (+) , sottrazione  ( - , l’operazione inversa della somma), 
moltiplicazione  (*)  e divisione ( / , l’operazione inversa della moltiplicazione ). Ribadiamo che il denominatore 
di queste frazioni non può mai essere nullo.

L’insieme  Q  dotato delle operazioni somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione d’ordine minore    
(<)  costituisce il sistema algebrico dei numeri razionali  (Q; +, *, <) .

Indichiamo con  Q’  il sottoinsieme dei numeri razionali per cui la divisione fra numeratore e denominatore  
è esatta. Inoltre il sottoinsieme dei numeri razionali positivi si denota con  Q+  e quello dei numeri razionali 
negativi con  Q- .

Il sistema  (Q’; +, *, <)  è algebricamente isomorfo ad  (I; +, *, <)  per cui  Q  rappresenta una estensione 
di  I  :



05 - Numeri reali R.

Fin dai tempi dell’antica Grecia era noto che certe relazioni fra grandezze non possono essere espresse 
come frazioni di numeri interi (ovvero come numeri razionali). Esempi classici di ciò sono il rapporto fra  
diagonale e lato del quadrato  (√2)  ed il rapporto fra la circonferenza ed il diametro di un cerchio  (π) .

Vi sono quindi dei numeri che non sono razionali ma che sono approssimabili da successioni convergenti di 
numeri razionali. Questi numeri, detti irrazionali, assieme ai razionali formano l’insieme dei numeri reali.

Introduciamo il concetto di numero reale attraverso la definizione di taglio di Dedekind. Un taglio di 
Dedekind è un sottoinsieme di  Q+  (numeri razionali positivi) che soddisfa le seguenti proprietà :

       

L’insieme  A  così definito è un taglio di Dedekind e rappresenta un insieme di numeri razionali con la 
particolare fondamentale proprietà (la terza) di avere sempre un elemento maggiore di un qualunque 
prefissato suo elemento.


Consideriamo il taglio di Dedekind così definito :

       

Esso definisce intuitivamente il numero irrazionale  √2  (radice quadrata di  2 ) in quanto si può facilmente 
dimostrare che preso un qualunque numero razionale il cui quadrato è minore di  2  si può sempre trovare 
un altro numero razionale maggiore del precedente il cui quadrato sia ancora minore di  2 . Questo processo 
può essere intuitivamente protratto all’infinito. In questo modo i numeri razionali presi così in successione 
tenderanno ad avvicinarsi sempre più al numero irrazionale  √2 . Il concetto può essere illustrato dal seguente 
grafico :



nel quale, con scala arbitraria, abbiamo posto alcuni numeri razionali che costituiscono il taglio di  
Dedekind in questione su di una retta orientata. Si può notare anche che la successione di numeri 
razionali che tende a  √2  è stata rappresentata dai corrispondenti numeri decimali scegliendoli via 
via con un decimale in più. Si può così notare che un numero irrazionale non è rappresentabile da 
un numero decimale con finiti decimali né da un numero periodico (ogni numero razionale è 
rappresentabile da un numero decimale con finiti decimali o con infiniti decimali ma a ricorrenza 
periodica).

Sia  T  l’insieme dei tagli di Dedekind e consideriamo il prodotto cartesiano  T2 = T x T   formato 
dalle coppie ordinate dei tagli  (a,b)  che indichiamo per comodità  a – b (qui il simbolo  -  non 
indica ancora la sottrazione).

Introduciamo in  T2  la relazione di equivalenza     definita da

        (a – b ≈  c – d) ↔ (a + d = b + c)

Essa introduce intuitivamente l’operazione di sottrazione  (-)  come operazione inversa della somma. 
Per esempio :

        (1,√2) = 1 – √2     (4,3+√2) = 4 – 3 - √2 ≈ 
       
… … …
        … … …

La relazione di equivalenza      induce in  T2  una partizione in classi di equivalenza ciascuna delle quali 
definisce un numero reale. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri reali  R  ed è uguale all’insieme 
quoziente  T2 / ≈ .


Dall’esempio precedente :

        1 – √2  = 4 – 3 - √2 =  … =  [1 – √2]  = 1 – √2    (le parentesi quadre indicano una classe di 
                                                                                       equivalenza)

Un numero reale è quindi una classe di equivalenza, ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate fra loro 
equivalenti ad una data che si ottiene a partire dalla sottrazione di due tagli di Dedekind qualunque (serve 
una sottrazione fra due tagli per avere un numero reale negativo o nullo perché un singolo taglio rappresenta 
un singolo numero reale positivo). Per comodità ogni numero reale viene indicato non dalla sua classe ma 
da un numero razionale od irrazionale preceduto dal segno + oppure -   (il segno  + può essere omesso).

L’insieme dei numeri reali è quindi  R = {… numeri razionali e numeri irrazionali, …} e su di esso sono 
definite le operazioni di somma  (+) , sottrazione  ( - , l’operazione inversa della somma), moltiplicazione 
(*)  e divisione ( / , l’operazione inversa della moltiplicazione).

Sull’insieme dei numeri reali è definito anche il modulo o valore assoluto nel seguente modo :

        |a| = a     se a è positivo o nullo
        |a| = -a    se a è negativo   

Importanti proprietà del modulo sono :

        |-a| = |a|
        |ab| = |a| |b|
        |a + b| <= |a| + |b|    detta anche disuguaglianza triangolare

L’insieme  R  dotato delle operazioni somma  (+)  e moltiplicazione  (*)  e della relazione d’ordine minore  
(<)  costituisce il sistema algebrico dei numeri reali  (R; +, *, <) .

Indichiamo con  R’  il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili da numeri razionali. Inoltre il sottoinsieme 
dei numeri reali positivi si denota con  R+  e quello dei numeri reali negativi con  R- .

Il sistema  (R’; +, *, <)  è algebricamente isomorfo ad  (Q; +, *, <)  per cui  R  rappresenta una estensione 
di  Q :




Riassumendo, i numeri reali sono una estensione dei numeri razionali, che a loro volta sono una estensione 
dei numeri interi che a loro volta sono una estensione dei numeri naturali :




Fine.

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