E-school  di  Arrigo Amadori

Algebra I

Numeri complessi

01 - Introduzione.

Presentiamo qui una breve e sintetica esposizione della teoria dei numeri complessi con lo scopo
di pervenire ad un loro modello geometrico di semplice ed intuitivo utilizzo.

I numeri complessi sono una estensione dei numeri reali che deriva dalla necessità di generalizzare 
la teoria delle equazioni polinomiali (algebriche) :

       

Pn(z)  è un polinomio di grado  n  e l’equazione polinomiale corrispondente ha radici (le soluzioni 
dell’equazione) non sempre appartenenti all’insieme dei numeri reali  (R) .

Consideriamo le semplici equazioni di secondo grado :

       

la prima equazione ha due soluzioni reali :  +1  e  -1  mentre la seconda equazione non ha nessuna 
soluzione reale perché nessun numero reale elevato al quadrato dà come risultato il numero negativo   
-1  (tutti i numeri reali elevati alla seconda danno un numero positivo (o nullo nel caso di  0 )).

Se introduciamo il numero immaginario :

       

la precedente equazione non risolubile nel campo reale viene ad avere anch’essa due soluzioni,   
+i  e  -i . In questo modo si generalizza la teoria delle equazioni polinomiali pervenendo al 
fondamentale risultato che :

        una equazione polinomiale di grado  n  ha  n  soluzioni complesse (reali o contenenti  i ).

02 - Numeri complessi C.

Definiamo il numero complesso  z  nel seguente modo :

       

x  è detta la parte reale di  z  (ovvero  x = Re(z) ) e  y  è detta la parte immaginaria di  z  (ovvero 
y = Im(z) ). Se  x = 0  il numero complesso si dice immaginario. Se  y = 0  il numero si dice reale.

L’insieme di tutti i numeri complessi si indica con  C  e rappresenta una estensione algebrica di  R  
in quanto, se la parte immaginaria è nulla, un numero complesso diventa reale.

L’insieme dei numeri complessi  C  ha la struttura di campo e si chiama campo complesso, così 
come  R  si chiama campo reale (vedi il capitolo sulle strutture algebriche).

Nel campo complesso  C  sono definite la usuali quattro operazioni  +  -  *  /  le cui regole di 
calcolo sono una logica estensioni delle corrispondenti nel campo reale  :

        (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
        
        (a + ib) -  (c + id) = (a - c) +  i(b - d)

        (a + ib) *  (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)

   
     (a + ib) /  (c + id) = (a + ib)*(c – id) / (c*c +d*d) = …

Il numero complesso :

       

si chiama complesso coniugato di   z = x + iy .

Di un numero complesso  z = x + iy  si definisce il modulo o valore assoluto  |z|  in modo che :

       

Se il numero è reale (parte immaginaria =  0 ) il modulo coincide ovviamente con quello definito 
nel campo reale.


03 - Rappresentazione geometrica di C.

I numeri complessi possono essere rappresentati come vettori sul piano cartesiano così come i 
numeri reali possono essere rappresentati come punti di una retta orientata. Questa modello 
geometrico è utilissimo e fa sì che il campo complesso e le sue proprietà siano visualizzabili in 
modo semplice ed efficace. Il numero  z = x + iy  è così rappresentato da un vettore :




la parte reale di  z  rappresenta l’ascissa del vertice del vettore mentre la parte immaginaria 
rappresenta l’ordinata del vertice del vettore.


Se la parte immaginaria di un numero complesso è nulla, il numero è reale e si trova posizionato 
sull’asse delle ascisse  (x) . Se, invece, la parte reale è nulla, il numero è immaginario e si trova 
posizionato sull’asse delle ordinate  (y) :



Il modulo di  z  (nel diagramma indicato da  ρ ) è la lunghezza del vettore (positiva o nulla) mentre 
l’angolo fra il vettore e l’asse positivo delle ascisse (preso in senso antiorario) è detto argomento 
del numero complesso (ovvero  Arg(z) ) (nel diagramma indicato da  θ ).

Il coniugato di un numero complesso, l’inverso additivo  (-z)  e le operazioni di somma e sottrazione 
vengono così rappresentate :



La somma  a + b  (dove  a  e  b  sono numeri complessi) è data dalla regola del parallelogramma 
mentre la differenza  a – b  è data dall’altra diagonale del parallelogramma (orientata verso il vertice 
del primo addendo e riportata con trasporto parallelo a partire dall’origine  O ). Vediamo così utilizzate 
per i numeri complessi le semplici regole di calcolo dei vettori.


Per quanto riguarda la rappresentazione geometrica della moltiplicazione e della divisione occorre 
notare che un numero complesso può essere espresso in funzione del modulo e dell’argomento nel 
modo seguente :

       

(cos  è il coseno e  sin  è il seno dell’argomento di  z ) Questa formula deriva da un noto teorema di 
trigonometria relativo ai triangoli rettangoli (il triangolo formato dal vettore che rappresenta  z , l’asse 
delle ascisse e la proiezione del vertice del vettore sull’asse delle ascisse è appunto un triangolo rettangolo).

Conseguentemente (omettiamo la dimostrazione), un numero complesso può essere posto in forma 
esponenziale, forma che risulta molto utile per la rappresentazione di moltiplicazione e divisione (nonché 
elevamento a potenza intera o frazionaria) :


       

dove  e  è il numero irrazionale di Nepero pari a circa  2,71828…  .

Il prodotto fra due numeri complessi risulta quindi essere :

       

dove  exp(…)  è equivalente ad  “e elevato alla ...”.

Analizzando la formula si nota che il prodotto fra due numeri complessi è un numero complesso che ha 
per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.

Graficamente :



Analogamente per la divisione :

       

e graficamente :



dove qui l’argomento del risultato è negativo (quindi orientato in senso orario). Si perviene quindi al 
risultato che una divisione fra due numeri complessi è un numero complesso che ha come modulo il 
rapporto dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti.

Per quanto riguarda l’elevamento a potenza  n  intera si ottiene :

       

Per l’elevamento a potenza frazionaria  1/n  (che equivale all’estrazione della radice ennesima) occorre 
considerare che l’argomento di un numero complesso può essere sommato o sottratto per i multipli interi 
di    (ovvero dell’angolo giro) senza che il numero complesso corrispondente cambi. Ciò significa che :

       

dove  k  è un numero intero qualunque   … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Premesso ciò, la formula per l’elevamento a potenza frazionaria di un numero complesso risulta  :

       

Come esempio, diamo il calcolo della radice quarta di  1 , ovvero di  1  alla  1/4 :

       

in quanto il modulo di  1  è  1  e l’argomento di  1  è  0 .

Le radici quarte di  1  sono quindi i  4  numeri complessi :

        1   ottenuto con   k = 0
        i    ottenuto con   k = 1             
       
-1 ottenuto con    k = 2
        -i  ottenuto con    k = 3

i successivi valori di  k riproducono ciclicamente i valori sopra indicati.

Fine.

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