E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Effetto tunnel

Una delle principali differenze fra la meccanica classica (MC) e la meccanica quantistica  
(MQ, vedi nota  (*)  a piè di pagina) 
è costituita del cosiddetto effetto tunnel.


Esso esprime il fatto che in MQ una particella può trovarsi in punti dello spazio che sarebbero

proibiti secondo le leggi della MC.

In MC una particella possiede l'energia :


        E = T + U

dove  T  è l'energia cinetica e  U  è l'energia potenziale. L'energia cinetica è definita dalla 
formula :

       

dove  m  è la massa della particella e  v  è la sua velocità (rispetto ad un sistema di riferimento 

inerziale). L'energia potenziale  U  dipende dal tipo di forza che agisce sulla particella e quindi 
non possiede una formula generale.

Immaginiamo per semplicità che la particella si muova lungo una retta (moto unidimensionale ) e che

l'energia potenziale dipenda solo dalla posizione  x  della particella. Avremo cioè :

        U = U(x) .

Dalla definizione di energia è immediato ricavare :


        T = E - U 

e quindi che deve essere :

       

(essendo  T  un numero positivo o nullo).


I moti possibili in MC sono quindi solo quelli per cui si ha  . I moti per cui si ha  E - U < 0  
in MC sono, al contrario, proibiti.

Illustriamo questo fatto con il seguente esempio grafico :


       

Se la particella ha energia    essa può muoversi solo fra i punti  A  e  B  (dentro la buca di 

ponziale) e lo fa oscillando avanti ed indietro.

Se la particella ha energia    essa può muoversi da    al punto  C  e ritorno oppure da   

al punto  D  e ritorno.

Se la particella ha energia    essa può muoversi da    a  o viceversa.

In tutti questi possibili moti, ovviamente, la particella avrà energia cinetica  pari a  E - U e quindi 

velocità :

        .


Secondo la MQ, invece, una particella può essere anche in zone che classicamente sarebbero 

proibite. Essendo la descrizione della particella in termini probabilistici, diremo che in MQ la 
particella possiede probabilità non nulla di essere in punti che secondo la MC sarebbero 
proibiti.

Stando all'esempio grafico precedente, la particella avrebbe probabilità non nulla di trovarsi
anche nel tratto  CD  oppure fuori dall'intervallo  AB .

Questo è in sintesi l'effetto tunnel


Come si può spiegare questo effetto del tutto impossibile secondo la MC ? 

Consideriamo una funzione d'onda    ad un certo istante. Il suo modulo quadro    

esprime la densità di probabilità per la posizione  x .

D'altra parte, l'autostato della quantità di moto  p  è :


        .

Per trovare la componente    della funzione d'onda    rispetto all'autostato  p  basta fare il 

prodotto interno della    per la   , ovvero :

       

che, a meno di costanti, corrisponde alla trasformata di Fourier di  .

Il modulo quadro    della componente 
  fornisce la densità di probabilità per la 
quantità di moto  p .

Il significato fisico che ci interessa sottolineare è che, data una funzione 
d'onda  , la densità di 
probabilità  della quantità di moto fornisce valori non nulli anche per quantità di moto 
grandi in valore assoluto. Questo significa che una funzione d'onda, per quanto confinata nello 
spazio, corrisponde a valori della quantità di moto grandi anche se poco probabili e questo in modo 
inversamente proporzionale al confinamento spaziale della funzione d'onda.

Questo è ciò che afferma il principio di indeterminazione di Heisenberg che è alla base della MQ.


Mostriamo questo con un esempio grafico (su scala arbitraria) :

         

Possedendo una particella probabilità non nulle della quantità di moto anche per valori grandi

è logico che essa possa essere anche in punti classicamente proibiti. Ecco allora che l'effetto 
tunnel è una conseguenza diretta del principio di indeterminazione.

L'evoluzione temporale della funzione d'onda 
  è descritta dall'equazione di Schrödinger :

        

dove    è l'operatore hamiltoniano della particella.


L'equazione di
Schrödinger può essere posta in forma operatoriale :

       

dove l'operatore    è detto propagatore della particella.

Data la funzione d'onda  all'istante  0  è possibile così ricavare la funzione d'onda    
all'istante  t .

La soluzione esatta dell'equazione della propagazione è possibile solo in pochi casi. Negli altri si 
ricorre a tecniche di calcolo numerico. Alla pagina  :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Schroedinger/schroedinger.htm

è disponibile un programma che esegue l'approssimazione dell'equazione di propagazione con metodi 
integrali.

Mostriamo ora la simulazione dell'effetto tunnel nel caso di un potenziale a barriera del tipo :

       

Consideriamo per questo una funzione d'onda iniziale a forma di gaussiana con un valore medio 
di quantità di moto    diverso da zero :

       

(dove  a  è un parametro che esprime la "larghezza" della gaussiana e   è posto uguale ad  1 ).

La distribuzione della probabilità della posizione è a forma di gaussiana centrata nell'origine.

A questa funzione d'onda corrisponde una distribuzione della quantità di moto anch'essa a forma di 
gaussiana centrata nel valore  (ne omettiamo la dimostrazione) :

       

Consideriamo dapprima l'evoluzione temporale in assenza di campo (potenziale nullo) :

       

Si noti che la gaussiana si "muove" verso destra "sparpagliandosi". Le gaussiane sono prese 
agli istanti  t = 0, 1, 2, 3, 4  Il fenomeno dello sparpagliamento del pacchetto d'onde è tipico 
della MQ. Questo deriva dal fatto che la particella possiede una distribuzione della quantità di 
moto centrata attorno ad un valore.  

Vediamo ora come evolve la funzione d'onda iniziale in presenza di una barriera di potenziale 
(colorata in blu) :

       

Come si vede bene dal grafico, la funzione d'onda "urta" contro la barriera di potenziale sdoppiandosi 
in due parti : una, riflettendosi sulla barriera, "inverte" il moto, l'altra supera la barriera stessa entrando 

così nella zona proibita classicamente.

Questo è quello che si intende esattamente per effetto tunnel.

Fine. 

(*) i principi fisici e matematici su cui si basa la MQ sono descritti alle pagine :

        CinematicaQuantistica.htm
        DinamicaQuantistica.htm

        PrincIndetHeisenberg.htm


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