Miscellanea
Effetto tunnel
Una delle principali differenze fra la meccanica classica (MC) e la meccanica quantistica
(MQ, vedi nota (*) a piè di pagina) è costituita del cosiddetto effetto tunnel.
Esso esprime il fatto che in MQ una particella può trovarsi in punti dello spazio che sarebbero
proibiti secondo le leggi della MC.
In MC una particella possiede l'energia :
E = T + U
dove T è l'energia cinetica e U è l'energia potenziale. L'energia cinetica è definita dalla
formula :
dove m è la massa della particella e v è la sua velocità (rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale). L'energia potenziale U dipende dal tipo di forza che agisce sulla particella e quindi
non possiede una formula generale.
Immaginiamo per semplicità che la particella si muova lungo una retta (moto unidimensionale ) e che
l'energia potenziale dipenda solo dalla posizione x della particella. Avremo cioè :
U = U(x) .
Dalla definizione di energia è immediato ricavare :
T = E - U
e quindi che deve essere :
(essendo T un numero positivo o nullo).
I moti possibili in MC sono quindi solo quelli per cui si ha
. I moti per cui si ha E - U < 0
in MC sono, al contrario, proibiti.
Illustriamo questo fatto con il seguente esempio grafico :
Se la particella ha energia
essa può muoversi solo fra i punti A e B (dentro la buca
di
ponziale) e lo fa oscillando avanti ed indietro.
Se la particella ha energia
essa può muoversi da 
al punto C e ritorno oppure da 
al punto D e ritorno.
Se la particella ha energia
essa può muoversi da
a
o viceversa.
In tutti questi possibili moti, ovviamente, la particella avrà energia cinetica pari a E - U e quindi
velocità :
.
Secondo la MQ, invece, una particella può essere anche in zone che classicamente sarebbero
proibite. Essendo la descrizione della particella in termini probabilistici, diremo che in MQ la
particella possiede probabilità non nulla di essere in punti che secondo la MC sarebbero
proibiti.
Stando all'esempio grafico precedente, la particella avrebbe probabilità non nulla di trovarsi
anche nel tratto CD oppure fuori dall'intervallo AB .
Questo è in sintesi l'effetto tunnel.
Come si può spiegare questo effetto del tutto impossibile secondo la MC ?
Consideriamo una funzione d'onda
ad un certo istante. Il suo modulo quadro 
esprime la densità di probabilità per la posizione x .
D'altra parte, l'autostato della quantità di moto p è :
.
Per trovare la componente
della funzione d'onda 
rispetto all'autostato p basta fare il
prodotto interno della
per la , ovvero
:
che, a meno di costanti, corrisponde alla trasformata di Fourier di
.
Il modulo quadro
della componente
fornisce la densità di probabilità per la
quantità di moto p .
Il significato fisico che ci interessa sottolineare è che, data una funzione d'onda
, la densità di
probabilità
della quantità di moto fornisce valori non nulli anche per quantità
di
moto
grandi in valore assoluto. Questo significa che una funzione d'onda, per quanto confinata nello
spazio, corrisponde a valori della quantità di moto grandi anche se poco probabili e questo in modo
inversamente proporzionale al confinamento spaziale della funzione d'onda.
Questo è ciò che afferma il principio di indeterminazione di Heisenberg che è alla base della MQ.
Mostriamo questo con un esempio grafico (su scala arbitraria) :
Possedendo una particella probabilità non nulle della quantità di moto anche per valori grandi,
è logico che essa possa essere anche in punti classicamente proibiti. Ecco allora che l'effetto
tunnel è una conseguenza diretta del principio di indeterminazione.
L'evoluzione temporale della funzione d'onda
è descritta dall'equazione di Schrödinger :
dove
è
l'operatore hamiltoniano della particella.
L'equazione di Schrödinger può essere posta in forma operatoriale :
dove l'operatore
è detto propagatore della particella.
Data la funzione d'onda
all'istante 0 è possibile così ricavare la funzione d'onda 
all'istante t .
La soluzione esatta dell'equazione della propagazione è possibile solo in pochi casi. Negli altri si
ricorre a tecniche di calcolo numerico. Alla pagina :
http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Schroedinger/schroedinger.htm
è disponibile un programma che esegue l'approssimazione dell'equazione di propagazione con metodi
integrali.
Mostriamo ora la simulazione dell'effetto tunnel nel caso di un potenziale a barriera del tipo :
Consideriamo per questo una funzione d'onda iniziale a forma di gaussiana con un valore medio
di quantità di moto
diverso da zero :
(dove a è un parametro che esprime la "larghezza" della gaussiana e
è
posto uguale ad 1 ).
La distribuzione della probabilità della posizione è a forma di gaussiana centrata nell'origine.
A questa funzione d'onda corrisponde una distribuzione della quantità di moto anch'essa a forma di
gaussiana centrata nel valore
(ne omettiamo la dimostrazione) :
Consideriamo dapprima l'evoluzione temporale in assenza di campo (potenziale nullo) :
Si noti che la gaussiana si "muove" verso destra "sparpagliandosi". Le gaussiane sono prese
agli istanti t = 0, 1, 2, 3, 4 Il fenomeno dello sparpagliamento del pacchetto d'onde è tipico
della MQ. Questo deriva dal fatto che la particella possiede una distribuzione della quantità di
moto centrata attorno ad un valore.
Vediamo ora come evolve la funzione d'onda iniziale in presenza di una barriera di potenziale
(colorata in blu) :
Come si vede bene dal grafico, la funzione d'onda "urta" contro la barriera di potenziale sdoppiandosi
in due parti : una, riflettendosi sulla barriera, "inverte" il moto, l'altra supera la barriera stessa entrando
così nella zona proibita classicamente.
Questo è quello che si intende esattamente per effetto tunnel.
Fine.
(*) i principi fisici e matematici su cui si basa la MQ sono descritti alle pagine :
CinematicaQuantistica.htm
DinamicaQuantistica.htm
PrincIndetHeisenberg.htm
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