E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Le trasformazioni di Lorentz

La fisica si basa sul principio di relatività. Si hanno tre formulazioni di questo principio :

        -    principio di relatività galileiana (RGal)

        -    principio di relatività ristretta (o speciale) (RR)

        -    principio di relatività generale (RG).

Il primo lo si deve a Galileo, gli altri ad Einstein (1905, 1916).

Alla base dei suddetti principi (e quindi della fisica stessa) vi è il concetto di sistema di riferimento 
inerziale (SRI).

Un SRI è un sistema di riferimento, costituito da assi cartesiani ortogonali, rispetto al quale un 
corpo non soggetto a forze (libero) si muove con velocità costante (in senso vettoriale, per cui, 
per esempio, un moto circolare uniforme non è un moto a velocità costante !). 

E' chiaro che tutti i SRI si muovono fra loro con velocità relativa costante (in senso vettoriale)

Il principio di RGal afferma che le leggi della meccanica devono essere le stesse in tuttiSRI
ovvero tutti i SRI sono equivalenti dal punto di vista della meccanica

Il principio di RR contiene in sé il principio di RGal ma con l'aggiunta del principio di costanza 
della velocità della luce. Secondo questo ulteriore principio, la velocità della luce ( c = 300.000  
km/s  circa nel vuoto) è la stessa in tutti i SRI. Per questo motivo, il principio di RR può essere 
formulato affermando che le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i SRI, intendendo  
con la parola "fisica" (invece della sola parola "meccanica" come nella RGal) che si devono aggiungere 
ai fenomeni della meccanica anche quelli dell'elettromagnetismo.

Resta fuori dalla descrizione la gravità che viene presa in considerazione dalla teoria della RG (di 
cui non ci occuperemo qui). I fenomeni relativi all'interazione nucleare non erano noti ai tempi della 
formulazione della RR e della RG. Essi vengono descritti dalla teoria cosiddetta del modello standard.

In questa pagina ci occuperemo dei fondamenti matematici della RR che portano alla scrittura 
di certe trasformazioni matematiche dette trasformazioni di Lorentz (in verità dovute anche ai 
lavori fondamentali di Poincaré e Minkowski) .

L'impostazione comune alla RGal e alla RR è la definizione di due SRI in moto relativo così come 
indicati nel grafico :

       

Il SRI  K'  si muove con velocità    costante rispetto al SRI  K . Gli assi cartesiani dei due SRI 
sono disposti nel modo più semplice (paralleli). I due SRI sono dotati di un orologio ciascuno. Essi  
segnano i tempi  t  e  t' . Agli istanti  t = 0  e  t' = 0  i due SRI sono coincidenti. In questo modo 
abbiamo introdotto il concetto di sincronizzazione.

Un evento è definito come "qualcosa" che avviene in un certo punto dello spazio ad un certo istante

del tempo. Esso è definito matematicamente dalla quadrupla :

          rispetto al SRI  K 

e da :

          rispetto al SRI  K' .

E' ovvio che un evento deve essere sempre definito rispetto ad un SRI ben preciso. Non esiste 
in fisica il concetto di spazio e tempo assoluti. In verità, la relatività dello spazio era già stata 
affermata nella formulazione della RGal mentre la relatività del tempo è un concetto introdotto 
da Einstein nella RR. 

Per Galileo, quindi, lo spazio è relativo ed il tempo assoluto ( t = t' ), per Einstein il tempo è relativo 
( ) così come lo spazio.

L'idea di un tempo relativo è qualcosa di totalmente non intuitivo : siamo, istintivamente, portati 
a pensare ad un tempo assoluto. Da Einstein in poi il buon senso, l'intuito, non sono più "buoni maestri" 
e questo ha ovviamente contribuito a far crescere il "divario" culturale fra gli scienziati e gli uomini 
"comuni".

Occorre "pensare" sempre di più in termini matematici, astratti.

Un evento è quindi immaginabile come un punto di uno spazio quadridimensionale, lo spazio-tempo 
(detto anche cronotopo). Nell'ambito della RGal e della RR tale spazio ha una struttura metrica 
euclidea (o, come vedremo più avanti, pseudo-ecuclidea).

Sorge ora spontanea l'esigenza di definire un insieme di trasformazioni matematiche che mettano 
in riferimento le coordinate di un evento rispetto ai due SRI. Simbolicamente :

        .

Nell'ambito della RGal tali trasformazioni sono molto semplici (derivano da ovvie considerazioni basate 
sul "buon senso") e sono chiamate trasformazioni di Galileo. Esse valgono :

        .

Nell'ambito della RR, invece, le trasformazioni da un SRI all'altro non sono di immediata deduzione. 
Questo dipende dal fatto che in RR vale il principio (verificato dalle osservazioni sperimentali) che 
la velocità della luce è la stessa ( c , nel vuoto) in ogni SRI.

Secondo le trasformazioni di Galileo le velocità si sommano. Infatti, facendo la derivata rispetto al 
tempo (assoluto) nella seconda equazione si ottiene :

       

(il punto indica la derivata prima rispetto al tempo) ovvero :

        .

Le trasformazioni di Galileo non possono per questo essere valide anche per la RR perché, se così 
fosse, si avrebbe che la velocità della luce si sommerebbe alla velocità  V  relativa fra i due RSI e 
questo contro il principio di costanza della velocità della luce.

Vediamo ora come si ricavano le trasformazioni fra i due SRI nell'ambito della RR (le trasformazioni 
di Lorentz).

Consideriamo due eventi collegati da un raggio di luce nel SRI  K' , cioè immaginiamo che un raggio 
di luce parta dal punto    e raggiunga il punto  :

       

Naturalmente si ha :

       

che può essere scritta più semplicemente come :

        .

Si noti che abbiamo indicato la velocità della luce con  c  e non con  c'  in quanto, per il principio della 
costanza della velocità della luce, si ha  c = c' .

Lo stesso fenomeno è "visto" dal SRI  K  in modo analogo (i SRI sono fisicamente equivalenti) per cui 
si può scrivere nelle coordinate spaziotemporali di  K : 

       

ovvero :

        .

Possiamo quindi affermare che :

       

ovvero :

        .

Osservando la struttura di questa ultima formula possiamo immaginare di dotare lo spazio-tempo della 

metrica :

       

dove con    indichiamo la distanza fra due eventi (rispetto a  K ) generici, non necessariamente 
collegati da un raggio di luce. Per due eventi collegati da un raggio di luce si avrà :


       

mentre, se non sono collegati da un raggio di luce, si avrà :

        .

Le trasformazioni che esprimono le coordinate di  K  in funzione di quelle di  K'  (e viceversa) devono 
soddisfare la relazione : 

        .

Siccome la metrica qui definita è simile a quella euclidea, le trasformazioni ammesse saranno analoghe 
a delle rototraslazioni. Dovranno cioè essere :

       

dove i coefficienti    devono avere determinante  1  (abbiamo per comodità associato il termine  c  
al tempo).

I termini    devono essere nulli per motivi di sincronizzazione dei due SRI. Inoltre, per ragioni di 
semplicità, abbiamo posto fin dall'inizio :

        .

Le trasformazioni si riducono perciò nelle seguenti più semplici :

       

che corrispondono ad una rotazione sul piano  0tx .

I valori di  sono determinabili considerando che si deve avere :

         

(si ricava questa formula facendo la distanza fra due eventi di cui uno è nullo e lo è, a causa della 
sincronizzazione definita sopra, in entrambi i SRI) e sono funzioni iperboliche.

Si ha allora :

       

dove    è un angolo dato. E' facile verificare la formula sostituendo in  .

Consideriamo ora il moto dell'origine  0'  di  K'  rispetto a  K . Per quel punto abbiamo  x' = 0  e la 
formula delle trasformazioni si riduce in : 

       

da cui, dividendo in colonna, si ottiene :

        .

Ma    (la velocità relativa fra i due SRI) per cui si ottiene :

        .

Esprimendo seno e coseno iperbolici in funzione della tangente iperbolica e sostituendo in :

         

si ottiene in definitiva :

       

che sono le trasformazioni di Lorentz.

Le conseguenze fisiche di queste trasformazioni sono enormi e rivoluzionarie. Non ne parleremo 
qui ma ci limitiamo solo a notare che spazio e tempo appaiono in un qualche modo "mescolati" 

all'interno delle formule ...

Fine. 

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