E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Spazi curvi : istruzioni per l'uso ...

Lo spazio euclideo tridimensionale è lo spazio della nostra esperienza quotidiana. Il suo nome deriva 
da Euclide che, attorno al  300 a.C., per primo ne studiò a fondo proprietà e caratteristiche e le tramandò 
ai posteri in un trattato che costituisce il primo esempio conosciuto di teoria matematica impostata su basi 
logico-assiomatico-deduttive. 

Nello spazio tridimensionale si possono "disegnare" figure a due dimensioni, ad una dimensione e a zero 
dimensioni.

Le figure a zero dimensioni sono i punti, quelle ad una dimensione sono le linee e quelle a due dimensioni  
sono le superficie.

Le figure dello spazio euclideo soddisfano numerose proprietà che caratterizzano lo spazio stesso. Ne riportiamo 
solo alcune di particolare importanza :

        - 1 - da un punto esterno ad una retta data passa una ed una sola retta parallela ad essa

        - 2 - per i triangoli rettangoli vale il teorema di Pitagora, ovvero il quadrato costruito sull'ipotenusa eguaglia 
        la somma dei quadrati costruiti sui cateti

        - 3 - la somma degli angoli interni di un triangolo eguaglia un angolo piatto (180°)

Nello spazio euclideo tridimensionale possiamo costruire un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel 
modo abituale ed assegnare così ad ogni punto  P  dello spazio una terna ordinata di numeri, le sue coordinate  
(x , y, z) :



Lo spazio euclideo (detto anche spazio piatto) ci è così familiare che immaginare uno spazio non euclideo 
(detto anche spazio curvo), cioè per cui non valgono le proprietà di cui sopra, fu una conquista del pensiero 
assai recente (19' secolo). Dapprima gli spazi non euclidei furono considerati pura astrazione matematica, poi,
per opera di Einstein, diventarono una "necessità pratica" perché egli, nella sua teoria della relatività generale
ipotizzò la possibilità che lo spazio fisico sia euclideo solo su piccola scala, localmente, mentre su larga scala esso 
sia non euclideo.

In effetti,  la superficie sferica (un tipo di spazio non euclideo bidimensionale) era già stata studiata a fondo 
per disegnare le carte geografiche, ma fu principalmente per opera dei grandi matematici  Gauss, Christoffel, 
Riemann, Ricci-Curbastro e Levi-Civita che tutta questa vasta e fondamentale materia fu portata ad un 
alto livello di astrazione e generalità e fu  racchiusa in una compiuta teoria detta "Calcolo differenziale 
assoluto"  o "Calcolo tensoriale" che costituisce un grande capitolo della "Geometria differenziale". 

La principale e rivoluzionaria caratteristica del calcolo tensoriale è quella di trattare spazi non euclidei di 
dimensione  n  e di farlo con metodi e strumenti generali che valgono appunto per ogni dimensione  n , da 
due in su, ed inoltre di far sì che, all'interno di questa teoria, non sia più necessario immaginare uno spazio 
curvo sempre "immerso" in uno spazio piatto a maggiore dimensione (in analogia con le superficie bidimensionali 
dello spazio euclideo tridimensionale). Le proprietà di uno spazio curvo sono intrinseche allo spazio medesimo. 

Il calcolo tensoriale raggiunge una così elevata generalizzazione da far sì che uno spazio piatto sia considerato
solo un semplice caso particolare fra gli infiniti spazi curvi. Lo spazio piatto è lo spazio a "curvatura" nulla. In 
questa "ottica", lo spazio piatto non gode di nessun privilegio particolare e le formule del calcolo tensoriale 
descrivono qualunque spazio curvo così come (le stesse formule) descrivono anche gli spazi piatti (anche 
rispetto a qualunque scelta di coordinate !!!).

In sintesi, la geometria euclidea è solo un caso particolare di una geometria più generale, quella degli 
spazi curvi.

Che ogni superficie curva, ed in particolare la superficie sferica, sia uno spazio non euclideo bidimensionale,  
significa, ribadiamo il concetto, che su di essa non valgono le regole della geometria euclidea (basta che non 
ne valga una sola !). Come esempio consideriamo il triangolo formato sulla superficie sferica da un punto in 
movimento che parte dal polo nord  A  (immaginiamo che questa superficie rappresenti la superficie terrestre), 
arriva all'equatore in  B  , poi lo segue per un quarto della sua lunghezza fino a  C  ed infine ritorna al polo nord :



si tratta di un triangolo con tre angoli retti !!! e questo contraddice la regola euclidea della somma degli angoli 
interni di un triangolo. 

Noi, in questa pagina, descriveremo la teoria degli spazi curvi a due dimensioni, le superficie dello spazio 
euclideo tridimensionale, ma con l'approccio tipico del calcolo tensoriale per cui, secondo quanto fin qui affermato, 
studiando questo semplice caso "visualizzabile" porremo le basi per la generalizzazione al caso di spazi curvi 
n-dimensionali. 

La materia necessita dell'uso dei concetti di base del calcolo differenziale ed in particolar modo della derivata  
parziale. Senza questi strumenti matematici, purtroppo, un approccio che non sia semplicemente descrittivo 
è impossibile.

Essenzialmente si richiede al lettore la conoscenza del concetto di derivata. Comunque, il concetto di derivata e 
gli altri concetti matematici necessari saranno descritti nel contesto.

Superficie.

Consideriamo una superficie  S  immersa in uno spazio euclideo tridimensionale in cui è definito un sistema di assi 
cartesiani ortogonali  Oxyz.

Le equazioni di tale superficie sono :

       

dove i parametri (variabili reali indipendenti)  u  e  v  possono assumere valori entro un dominio prefissato. 

Il significato di queste equazioni è chiaro : al variare di  u  e di  v  vengono individuati nello spazio infiniti 
punti di coordinate  (x , y , z)  ottenuti sostituendo i valori di  u  e  v  e facendo i calcoli come indicato dalle 
tre funzioni che determinano la superficie. Questi punti formano la superficie in esame come indicato nel grafico :



Siccome le coordinate dei punti della superficie dipendono da due parametri, le equazioni sopra indicate si
chiamano equazioni parametriche della superficie. Bisogna notare che le equazione parametriche di una 
superficie non sono univoche. Basta sostituire ad  u  ed a  v  due funzioni di altre due parametri, per esempio 
s  e  t , che le equazioni parametriche cambiano. Concludiamo che una superficie ha infinite equazioni parametriche 
che la rappresentano.

Come esempio di superficie diamo il piano e la sfera

Un piano ha questa semplice rappresentazione parametrica :

       

dove  a , b , c , a' , b' , c' , a'' , b'' , c''  sono numeri reali. Queste equazioni rappresentano un piano perché sono 
equazioni lineari (di primo grado) così come accade per le rette del piano le cui equazioni sono anch'esse lineari
del tipo  ax + by + c = 0 .

Una rappresentazione della sfera di raggio  r  centrata nell'origine (più precisamente si tratta di una semisfera) è :

        .

Questa è l'equazione di una sfera perché sostituendo  x  nella  u  della terza equazione ed  y  nella  v  ed elevando  
al quadrato si ottiene  x ² + y ² + z ² = r ²  che rappresenta appunto una sfera di raggio  r  centrata nell'origine. Si noti
che questa equazione è l'estensione allo spazio dell'equazione della circonferenza  x ² + y ² = r ²  del piano (l'equazione 
è ottenuta applicando il teorema di Pitagora). 

Il piano, ovviamente, è una superficie euclidea mentre la sfera non lo è.

Coordinate curvilinee.

Dotare uno spazio euclideo di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali è una operazione semplice e naturale
sia per lo spazio piatto a due dimensioni (un piano), che per l'intero spazio a tre dimensioni. Si possono immaginare anche 
sistemi di coordinate cartesiane ortogonali in spazi n-dimensionali come naturali estensioni di quelli a due e tre dimensioni.

Su di uno spazio curvo, invece, scegliere un sistema di coordinate appare una operazione ardua. Innanzi tutto dobbiamo,
ovviamente, abbandonare le coordinate cartesiane ortogonali ed introdurre il concetto di coordinate curvilinee.

Per fare questo immaginiamo di dare un valore fisso al parametro  u  . Sia allora  u = a , dove  a  è un numero reale dato. 
Se  u  è fisso,  v  , invece, può variare. Sul piano  Ouv  dei parametri otterremo allora una retta parallela all'asse delle  v .

Immaginiamo ora di sostituire le coppie  (u , v)  di questa retta con  u = a  nell'equazione della superficie. Otterremo allora 
una linea sulla superficie medesima come indicato in figura :



chiameremo  "coordinata curvilinea u = a "  la linea tracciata sulla superficie in corrispondenza del parametro  u = a .

Facciamo la stessa cosa tenendo fisso il parametro  v  e facendo variare  u . Se il parametro  v  assume il valore
fisso  v = b , otteniamo sulla superficie una linea che chiameremo  "coordinata curvilinea  v = b " come indicato in
figura :



Il punto  P  corrispondente ai valori dei parametri  u = a  e  v = b  è il punto di intersezione fra le due coordinate
curvilinee corrispondenti come indicato nel grafico :



Se tracciamo più coordinate curvilinee della superficie otteniamo un grafico del tipo :



Come esempi di coordinate curvilinee consideriamo un piano ed una sfera di raggio  1  centrata nell'origine. 

Su di essi si possono disegnare infiniti sistemi di coordinate curvilinee. 

Per il piano :

        :

si ha il seguente grafico :



Per il piano :

        :

si ha il seguente grafico :



Si noti che si tratta di un unico piano su cui sono tracciati due sistemi di coordinate curvilinee diversi !!! Ciò
si deduce osservando che facendo la sostituzione  v v + sin(u)  si passa dalle prime equazioni alle seconde,
quindi i due sistemi diversi di equazioni parametriche rappresentano lo stesso piano.

Il primo sistema di coordinate curvilinee è un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, il secondo invece no.

Per la semisfera : 

          

con  raggio  r = 1 e centrata nell'origine si ha il seguente grafico (la figura risulta oblunga per via del tipo 
di prospettiva utilizzata) :



Le coordinate rosse corrispondono a valori dati del parametro  u . Le coordinate blu corrispondono a valori
dati del parametro  v .

Per la sfera :

         

con  raggio  r = 1 e centrata nell'origine si ha il seguente grafico (la figura risulta oblunga per via del tipo 
di prospettiva utilizzata) :



Le coordinate rosse corrispondono a valori prefissati del parametro  u . Le coordinate blu corrispondono a valori
prefissati del parametro  v . 

In questo caso le coordinate rosse sono dette "meridiani" e determinano la "longitudine", le blu sono dette "paralleli"
e determinano la "latitudine". 

Metrica.

Affrontiamo ora l'argomento centrale di tutta la problematica degli spazi curvi. Considerando sempre il nostro 
caso bidimensionale, come si può definire una struttura metrica su di una superficie curva, ovvero come si 
può calcolare la distanza fra due punti della superficie ?

La risposta è concettualmente semplice mentre lo sviluppo matematico di questa possibilità richiede l'uso 
del calcolo differenziale ed in particolar modo delle derivate.

Consideriamo due punti della superficie  P  e  Q  . La loro distanza, ovviamente, deve tener conto della curvatura
della superficie per cui, calcolarla, è abbastanza complicato. Nel misurare la distanza dobbiamo seguire la 
curvatura della superficie perché dobbiamo restare dentro lo spazio curvo che stiamo studiando.
 
Tracciare un segmento rettilineo  PQ  che si distacchi dalla superficie, cioè immerso nello spazio tridimensionale 
che contiene la superficie, purtroppo, ci porterebbe fuori dalla superficie e non risolverebbe il problema (anche 
se in questo caso la soluzione sarebbe matematicamente semplice, basterebbe usare il teorema di Pitagora).

A questo punto ci vengono in aiuto le idee di base del calcolo differenziale.

Supponiamo che i due punti  P  e  Q  siano molto vicini. In questo caso il segmento  PQ , immerso nello spazio
tridimensionale, "quasi" coincide con l'arco (curvo) di superficie che unisce  P  con  Q  e questa coincidenza
è tanto maggiore quanto più i due punti sono vicini.

Questa è l'idea chiave che ci permette di calcolare ogni distanza su ogni superficie curva !!!

Questa idea è anche assai familiare. Noi viviamo sulla superficie della Terra che è pressoché sferica. Entro 
porzioni ristrette di questa superficie, essa appare a tutti gli effetti piana per cui la distanza fra due punti della
superficie terrestre, se abbastanza vicini, non risente della sua curvatura. Un ingegnere che progetta una casa
non tiene assolutamente conto della curvatura terrestre !

Un piccola porzione di superficie curva è, quindi, praticamente piatta e su di essa (sulla piccola porzione)
vale con grande approssimazione la geometria euclidea.

Immaginiamo allora di considerare il punto  P  corrispondente ai valori dei parametri  u  e  v  ed il punto  Q
corrispondente ai valori dei parametri  u + du  e  v + dv .

Nel calcolo differenziale si indica con  dx  un "piccolo" (infinitesimo) incremento della variabile  x . Per 
questo motivo, il punto  Q  è ottenuto a partire dal punto  P  in corrispondenza dei piccoli incrementi  
du  e  dv  dati ai parametri  u  e  v  (nell'ordine).

La lunghezza del segmento  PQ  (preso nello spazio tridimensionale che contiene la superficie) allora 
rappresenta la lunghezza del segmento rettilineo tracciato fra i punti  P  e  Q  sulla superficie.

Le variazioni delle coordinate  x , y , z  nel passaggio da  P  a  Q  vengono indicate analogamente con
dx , dy , dz .

Tutto ciò è indicato nel grafico :



Vediamo allora come si esprime matematicamente questa distanza il cui quadrato verrà indicato  ds ² .

Applicando il teorema di Pitagora si ottiene :

        ds ² = dx ² + dy ² + dz ² .

La lunghezza (al quadrato) così trovata, come abbiamo sopra precisato, non corrisponde alla lunghezza
dell'arco di superficie compreso fra i punti  P  e  Q , ne è solo una approssimazione tanto migliore quanto 
più  P  e  Q  sono vicini. Questa lunghezza, però, corrisponde esattamente alla distanza fra i punti  P  e  Q
considerati come punti dello spazio tridimensionale anche se gli incrementi  dx , dy , dz  non fossero infinitesimi,
anche se  P  e  Q  fossero molto distanti.

L'espressione di questa lunghezza dipende, come indicato dalla formula, solo dalle coordinate cartesiane 
ortogonali dello spazio euclideo in cui la superficie è immersa. Non vi è nessuna informazione circa la superficie
e le sue coordinate curvilinee.

Occorre esprimere  ds ²  in funzione di  u  e  v  !!! Solo così è possibile costruire una metrica sulla superficie che 
tenga conto della sua curvatura (delle sue proprietà intrinseche) e, facendo ciò, lo spazio euclideo tridimensionale 
che contiene la superficie curva "sparisce come d'incanto". 

Così facendo, nella trattazione matematica della superficie rimangono solo le sue coordinate curvilinee 
e null'altro. Questo fatto è fondamentale e costituisce l' "anima" del calcolo tensoriale, la sua specificità.

Come possiamo introdurre le coordinate curvilinee  u  e  v  al posto delle coordinate cartesiane ortogonali  x , y , z  ?

Ancora una volta ci viene in aiuto il calcolo differenziale con un altro suo concetto fondamentale .

Consideriamo dapprima il caso ad una dimensione. Sia  y = f(x)  una funzione rappresentata da una curva come
indicato nel grafico :



Come si vede bene, passando dal punto  P  al punto  Q  tramite un incremento  dx  della variabile 
indipendente  x  , la variabile dipendente  y  subisce un incremento  dy  che uguaglia la lunghezza 
del segmento  QH . Il segmento  Q'H  (dove  Q'  è ottenuto mandando la tangente alla curva in  P ) 
rappresenta una approssimazione del segmento  QH  tanto migliore quanto più i punti  P  e  Q
sono vicini, ovvero  dx  è piccolo.

Introducendo il concetto di derivata della funzione in  P  come la "pendenza" (la stessa che è indicata
nei cartelli stradali !!! che si calcola facendo il rapporto  Q'H / HP ) della curva in  P  , si ottiene : 

        Q'H = f ' (x) dx   

ovvero, considerando i punti  P  e  Q  "infinitamente" vicini,  

        dy = f ' (x) dx

dove con  f ' (x)  intendiamo la derivata (pendenza) della funzione  y = f(x)  in  P .

Questa è la formula fondamentale del calcolo differenziale.

Essa esprime il fatto che l'incremento della variabile dipendente  dy  eguaglia il prodotto fra la derivata
della funzione nel punto di partenza per l'incremento della variabile indipendente.

Questo concetto può essere esteso alle funzioni di più variabili ed in particolare (è il nostro caso) alle
funzioni di due variabili. Sia data la funzione  z = f(x , y)  . L'incremento  dz  è dato da :

       

dove  indica la derivata parziale di  f  rispetto ad  x  ed    indica la derivata parziale di  f  
rispetto ad  y  . Gli incrementi  dx  e  dy  indicano gli incrementi delle variabili indipendenti  x  e  y .

Le derivate parziali sono le derivate (così come definite precedentemente) fatte rispetto ad una 
variabile indipendente alla volta tenendo l'altra (o le altre) costante.

Nel nostro caso, le variabili  x , y , z  sono legate alle variabili indipendenti  u  e  v  dalle equazioni
parametriche :

       

per cui, applicando quando detto sopra, si può scrivere :

       

Ora siamo in grado di ricavare  ds ² . Sostituendo e semplificando nella formula  ds ² = dx ² + dy ² + dz ² , che dà
la distanza fra due punti "infinitamente" vicini nello spazio euclideo tridimensionale, si ricava : 

        .

Si tratta di una espressione piuttosto complicata che però può essere semplificata introducendo la "matrice" 
(una matrice è un riquadro di numeri od espressioni algebriche) :

       

dove :

       

Con questa sostituzione l'espressione per la distanza (al quadrato) diventa piuttosto semplice :

        .

La distanza così definita va sotto il nome di metrica di Riemann.

Le grandezze     così introdotte formano il cosiddetto tensore metrico fondamentale e sono le 
grandezze fondamentali del calcolo tensoriale. 

Il tensore metrico fondamentale contiene in sé tutte le informazioni relative alla superficie curva !!! 

Esso è espresso dalle sole coordinate curvilinee  u  e  v  e da esso si deducono tutte le proprietà della 
superficie.

Esempi :

consideriamo il piano di equazioni parametriche :

       

facendo i calcoli si ottiene il seguente tensore metrico fondamentale :

        .

Consideriamo la sfera di equazioni parametriche :

       

il suo tensore metrico fondamentale è :

        .

E' incredibile il grado di sintesi a cui il calcolo tensoriale fa pervenire !!! Tutte le proprietà metriche della 
superficie sono racchiuse nel tensore   .

Geodetiche, curvatura.

Il motivo per cui tutte le proprietà metriche della superficie sono contenute nel tensore metrico fondamentale 
di quella superficie dipende dal fatto che esso determina la distanza  ds  fra due punti "infinitamente" vicini della 
superficie. Conoscendo tale distanza infinitesima, noi possiamo misurare la lunghezza di una linea qualunque 
giacente sulla superficie, fra due punti qualunque :  basta sommare queste distanze infinitesime seguendo quella 
linea.



Conoscendo il tensore metrico fondamentale di una superficie possiamo anche trovare la linea di minima 
lunghezza che congiunge due punti dati. Basta, in linea teorica, misurare le lunghezze di tutti le linee sulla
superficie che congiungono i due punti dati e scegliere quella di lunghezza minore.

La linea di lunghezza minore che unisce due punti di una superficie si chiama geodetica.

Naturalmente, quello indicato sopra è solo un procedimento concettuale. Nella pratica è impossibile misurare
tutte le infinite linee che congiungono due punti, per cui si utilizzano particolari tecniche matematiche che vanno 
sotto il nome di calcolo variazionale.

Come esempi riportiamo una geodetica su di un piano rettilineo (che naturalmente è un segmento) :



ed una geodetica su di una superficie sferica (che è un arco di cerchio massimo) :



Le elaborazioni grafiche sono state effettuate con il programma disponibile alla pagina :

         http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Geodetica1/geodetica1.htm

Un'altra fondamentale proprietà di una superficie è la sua curvatura che in generale varia da punto
a punto. In un piano la curvatura è nulla in ogni punto. In una superficie sferica, la curvatura è costante
in ogni punto. La sfera è l'unica superficie bidimensionale a curvatura (non nulla) costante.

La curvatura di una superficie può essere messa in relazione con il tensore metrico fondamentale 
della superficie stessa. I passaggi matematici per dimostrare questo sono molto complessi e non li
mostreremo. Diremo solo che dal tensore metrico fondamentale si può dedurre un secondo tensore, 
il tensore di Riemann, che appunto esprime la curvatura della superficie punto per punto. 

Anche il tensore di Riemann dipende dalle sole coordinate curvilinee della superficie e ciò ribadisce
il risultato già mostrato che tutte le proprietà di una superficie sono intrinsecamente definite nella 
superficie stessa (senza considerarla immersa in uno spazio tridimensionale euclideo).

Il tensore di Riemann può essere trasformato in un certo modo fino ad ottenere un tensore più 
semplice, il tensore di Ricci, che gioca un ruolo fondamentale nelle equazioni di Einstein della
teoria della relatività generale.

Conclusione.

Tutto quello che abbiamo affermato sopra riguardo alle superficie bidimensionali, può essere esteso
a spazi curvi di qualunque dimensione. Il metodo matematico sopra mostrato è assolutamente 
generale. 

I risultati sopra ottenuti si estendono a spazi curvi di qualunque dimensione. 

Questo è di fondamentale importanza e mostra tutta l'estrema potenza del calcolo tensoriale.

Lo spazio-tempo fisico è uno spazio non euclideo a quatto dimensioni le cui proprietà vengono
studiate tramite il tensore metrico fondamentale, il tensore di Riemann ed il tensore di Ricci così 
come si studiano le proprietà delle superficie bidimensionali.

Il merito di avere applicato il calcolo tensoriale alla fisica  fu di Einstein. Egli intuì che lo spazio-tempo
poteva non essere piatto e scrisse le equazioni che legano il tensore metrico fondamentale dello 
spazio-tempo con la materia in esso contenuta. Risolvendo quelle equazioni si ricava     e poi, da 
esso, si ricavano tutte le proprietà metriche dello spazio-tempo stesso.

Un corpo immerso in un tale spazio-tempo curvo seguirà, nel suo movimento, traiettorie di minima 
lunghezza, ovvero traccerà delle geodetiche nello spazio-tempo curvo.

La fisica, per opera di Einstein, diventa una sublime geometria ...

Fine. 

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