E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Lo spazio-tempo di Einstein

La discussione su cosa siano spazio e tempo è vecchia come l'uomo e forse non finirà mai. Il 
motivo di questo è che in natura, probabilmente, essi non esistono (i recenti sviluppi teorici della 
teoria delle stringhe ipotizzerebbero la possibilità che almeno lo spazio possa essere quantizzato 
in "particelle"). In natura esistono i corpi. Lo spazio ed il tempo sono una invenzione della nostra 
mente che cerca di capire e descrivere il cosmo.

Descriveremo in questa pagina come lo spazio ed il tempo sono visti ed interpretati nella teoria 

della relatività generale di A. Einstein. Il materiale qui presentato costituisce un completamento
di quanto introdotto alla pagina  LaStrutturaMetricaDelloSpazioTempo.htm

Per potere comprendere il testo occorre conoscere le nozioni di base del calcolo tensoriale. Una 
presentazione essenziale del medesimo è disponibile alla pagina  SpaziCurvi.htm .

01 - Lo spazio-tempo in assenza di campo gravitazionale.

L'esperienza mostra che, in assenza di campo gravitazionale, lo spazio tridimensionale è euclideo

In esso è sempre possibile definire sistemi di riferimento cartesiani ortogonali cosiddetti inerziali  
(sistemi di riferimento cartesiani ortogonali in moto fra di loro con velocità costante) dotati di un 
orologio che segni il tempo. 

        

Per tali sistemi inerziali vale il principio di costanza della velocità della luce (la velocità della 
luce  c  in essi è costante) ed il principio di relatività ristretta (le leggi della fisica in essi sono   
le stesse
).

Un sistema di riferimento inerziale (spaziale a  3  dimensioni) dotato della possibilità di misurare il 

tempo forma un sistema di riferimento quadridimensionale. Per questo motivo si considera lo 
spazio-tempo come una varietà (spazio in senso matematico) quadridimensionale. In questa 
varietà le coordinate sono  .


La metrica dello spazio-tempo (detta metrica di Minkowski) è : 

         

dove  t  è la coordinata temporale, x , y , z  sono le coordinate spaziali.

Questa formula dipende dal fatto che se due eventi (punti dello spazio-tempo) sono collegati da 
un raggio di luce (cioè un raggio di luce parte dal primo e raggiunge il secondo) la loro distanza è 

considerata nullaSe due eventi sono collegati da un raggio di luce possiamo allora scrivere :

        .


Infatti, in due dimensioni (considerando solo  t  ed  x ) e per due eventi  A  e  B  non infinitamente 
vicini :

        ,

se la luce parte da  A  , arriva in  B  in un tempo    e compie uno spazio   , viaggiando 
con velocità  c  , possiamo scrivere :

       

da cui :

        .

Sostituendo in    otteniamo, come già detto,  .

Le leggi di trasformazione da un sistema quadridimensionale all'altro che soddisfino l'esigenza di 
lasciare la distanza (al quadrato, e
fra punti non infinitamente vicini)  :

           

invariata sono (in assenza di campo gravitazionale) le trasformazioni di Lorentz. Esse sono le 
formule fondamentali della teoria della relatività ristretta.

La metrica 
  corrisponde ad uno spazio a curvatura nulla (in 
questa metrica il tensore di Riemann è identicamente nullo) ed è chiamata anche metrica 
galileiana. Si dice anche che essa corrisponde è uno spazio-tempo piatto

Dal punto di vista prettamente matematico potrebbe esse chiamata pseudometrica (perché    
può essere nullo per valori non identici delle coordinate) complessa (perché    può avere valori 
complessi) pseudoeuclidea (perché formalmente simile alla metrica euclidea, ovvero al teorema 
di Pitagora).

02 - Lo spazio-tempo in presenza di campo gravitazionale.

Un campo gravitazionale generato dalle masse, secondo la teoria della relatività generale, incurva  

lo spazio-tempo per cui esso diventa una varietà curva. Vediamo di formalizzare questa affermazione.

Sia data una varietà quadridimensionale di coordinate curvilinee  . La coordinata 
  
sia la coordinata temporale e le altre siano le coordinate spaziali. Si usa l'aggettivo "curvilinee" 
proprio perché in generale le coordinate per una varietà qualunque non sono cartesiane. Si noti anche 
che gli indici scritti in alto non indicano l'operazione di potenza !!! Essi sono solo indici scritti in alto !!! 
In generale, grandezze con gli indici in altro si dicono controvarianti.

La metrica di una tale varietà è data dalla forma differenziale :

   
      


con  i , k = 0, 1, 2, 3  e dove viene fatta la somma sugli indici ripetuti secondo la convenzione di 
Einstein (per cui  la formula scritta interamente diventa ).

La metrica definita sopra (che è detta riemanniana) è definita dal tensore doppio covariante  

(covariante perché gli indici sono scritti in basso)    detto tensore metrico della varietà. 
Si tratta del sistema :

       

dove le 
  sono  16  funzioni delle coordinate  . Il tensore metrico descrive 
tutte le proprietà metriche della varietà. 

Il tensore metrico ha l'importante proprietà di essere simmetrico, cioè :

         

per cui le grandezze del tensore metrico effettivamente diverse sono al massimo  10 .

Nel caso della metrica piatta di Minkowski 
ponendo :

       

si ottiene :

         

per cui :

        .

Diremo che  questo tensore metrico è galileiano così come le coordinate ad esso corrispondenti.

Una varietà può essere sempre considerata immersa in uno spazio euclideo dimensioni 
dove  n  è la dimensione della varietà (essendo
  il numero delle componenti distinte del 
tensore metrico). Nel caso di  n = 4  sia ottiene  10  , quindi una varietà a  4  dimensioni  è immergibile 
in uno spazio euclideo a  10  dimensioni.

Nel caso di  n = 2 , la dimensione dello spazio euclideo immergente è  3  per cui possiamo 
disegnare un modello grafico. In questo caso ( n = 2 ) avremo le sole coordinate    dove  
  è la coordinata temporale e    è la coordinata spaziale. Una tale varietà è immergibile nello 
spazio tridimensionale euclideo di coordinate cartesiane ortogonali    (dove gli indici 

sono scritti in basso, anche se potrebbero essere scritti in alto (questa possibilità di scrivere gli 
indici in alto oppure in basso vale solo per gli spazi euclidei dotati di coordinate cartesiane)). 
Si noti anche che lo spazio euclideo introdotto non ha  alcun significato fisico, esso è stato 
evocato
solo per potere disegnare un modello grafico della varietà bidimensionale.

Chiamando con  S  una varietà bidimensionale immersa nello spazio euclideo tridimensionale  :

       

La relazione matematica fra le coordinate     e le coordinate    è data da :

       

dove le    con  i = 0, 1, 2  sono opportune funzioni continue (con derivate continue in ogni ordine) 
tali da essere invertibili (rango dello jacobiano uguale a  2 ).

In questo modo si determina una corrispondenza biunivoca fra i punti  dello spazio 
euclideo tridimensionale contenuti nella varietà bidimensionale  S  ed i valori    delle sue 
coordinate curvilinee :

       

Le funzioni 
  determinano sulla varietà  S  un sistema di coordinate curvilinee (non vi è ambiguità 
nella definizione) ottenute dando valori costanti a    e lasciando variare    e viceversa :

       

Su di una varietà si possono scegliere infiniti sistemi di riferimento di coordinate curvilinee. 

Rispetto a ciascun sistema di riferimento curvilineo l'elemento di linea 
è invariante ed 
anche le leggi della fisica devono risultare le stesse (principio di relatività generale).

Per questo motivo, nello spazio-tempo quadridimensionale si può scegliere un sistema di riferimento 
curvilineo qualunque

Scelto un sistema di riferimento spazio-temporale qualunque, sorge il problema di definire le 
relazioni fra le coordinate scelte e gli spazi ed i tempi reali, quelli che hanno significato fisico 

(essendo la coordinata temporale e quelle spaziali del tutto convenzionali) e
che si possono 
misurare nei vari punti della varietà. 

Vedremo anche come è possibile sincronizzare gli orologi che si può mettere nei vari punti dello 

spazio.

Per fare questo utilizzeremo il modello di una varietà bidimensionale dotato di coordinate curvilinee  

  (disegnate per comodità sul piano come fossero coordinate cartesiane ortogonali) di cui la 
coordinata    è la coordinata temporale e  quella spaziale.

        


La metrica di tale varietà è rappresentata dal tensore metrico 
.

03 - Il tempo "reale".

Come abbiamo visto sopra, su una varietà possono essere scelte coordinate curvilinee qualunque, 

sia per lo spazio che per il tempo. In generale, qualunque modo di definire la posizione di un punto 
nello spazio e nel tempo è accettabile nell'ambito della teoria della relatività generale.

E' però altresì sempre possibile scegliere un sistema di riferimento che localmente, nell'intorno di 

un punto, sia  galileiano. Questo deriva intuitivamente dal fatto che localmente una varietà curva
può essere considerata approssimativamente piatta.

Senza entrare nei particolari (che esulerebbero dallo scopo di questa pagina) possiamo affermare 

che un sistema localmente galileiano si può anche chiamare localmente geodetico perché le sue 
coordinate curvilinee sono formate da geodetiche (ovvero da linee di minima distanza). Possiamo 
anche affermare che un tale sistema localmente galileiano si può ottenere fisicamente con un corpo in 
caduta libera nel campo gravitazionale.

Il fatto che si può sempre scegliere un sistema localmente galileiano è di estrema importanza perché, 

in effetti, per quanto curvo possa essere lo spazio-tempo, noi possiamo sempre scegliere un sistema 
di riferimento in cui, per una porzione piccola di spazio-tempo, valgono le usuali leggi della geometria 
euclidea. In un certo modo siamo sempre in grado di ricondurci alla situazione familiare della nostra 
esperienza quotidiana.

Se poniamo un osservatore dotato di un orologio in un certo punto dello spazio-tempo (in generale
 
incurvato dal campo gravitazionale) e lo dotiamo di un sistema di coordinate localmente galileiane 
(centrato su di lui) egli misurerà con il proprio orologio (per un piccolo lasso di tempo) il tempo 
reale (detto anche tempo proprio). La definizione di tempo proprio è esattamente questa.

Se facciano la stessa cosa negli altri punti dello spazio-tempo (usando orologi identici e sempre per 
piccoli intervalli di tempo) otteniamo una situazione analoga. Ogni osservatore misurerà il proprio 
tempo reale e per ciascuno di essi il proprio orologio segnerà il tempo in modo "normale". Si potrà 
anche confrontare i singoli
tempi propri dei singoli osservatori con il tempo indicato dalla coordinata 
curvilinea 

Il tempo "segnato" dalla coordinata  si può per questi motivi chiamare tempo assoluto.

Vediamo ora di trovare una relazione matematica che leghi il tempo reale alle coordinate curvilinee.


Indicheremo il tempo proprio con la lettera  (tau). 

Consideriamo la varietà (per semplicità ci limitiamo al caso bidimensionale
) dotata di un sistema
di coordinate curvilinee 
e di un sistema di coordinate localmente galileiane    centrate 
in  P  (i due sistemi siano tangenti in  P ).

L'elemento di linea    è invariante rispetto ai due sistemi di coordinate. Per questo possiamo
scrivere (nell'intorno di  P , dove la metrica è pressoché galileiana) :


          

con  i , k = 0 ,  1  (ricordare di fare la somma rispetto agli indici ripetuti).

Consideriamo due eventi infinitamente vicini, di cui il primo è  P , nei quali la coordinata spaziale 
non cambi (in entrambi i sistemi, dato che sono tangenti in  P ). Immaginiamo cioè che i due eventi 

abbiano luogo nello stesso punto dello spazio ma in tempi diversi (infinitamente vicini). La distanza 

temporale fra i due eventi rispetto al primo sistema è    mentre nel sistema localmente galileiano 
è 

Graficamente :

       

Avremo allora :

        .

Da cui si ottiene direttamente :

       

e quindi :

        .

Questa è la formula cercata che mette in relazione il tempo proprio con il tempo assoluto. 

Consideriamo i seguenti eventi  A' , A'' , B' , B''  , corrispondenti rispettivamente alle posizioni spaziali  
A  e  B  date, così come indicati nel grafico :

       


Per essi si verifica l'importante fatto che, sebbene l'intervallo di tempo assoluto  sia lo stesso, 
i corrispondenti intervalli di tempo proprio    e    , presi in posizioni spaziali diverse, 
possono essere diversi in quanto    in generale è funzione anche di 
. Questo a sottolineare 
che il tempo proprio ha valore locale.

Dalla formula che esprime il tempo proprio, si deduce inoltre immediatamente che, dovendo essere 
il tempo reale una grandezza positiva, deve essere :

        .

Potranno avere significato fisico le coordinate curvilinee per cui il temine    è positivo.


Se ciò non si verificasse, si potrà sempre scegliere un sistema di riferimento in cui questo avvenga.


Infine, è ovvio notare che la formula che dà il tempo proprio è la stessa anche per varietà spazio-temporali 
4  dimensioni.

04 - Lo spazio "reale".

La misura di un intervallo spaziale, avente un significato fisico reale, in uno spazio-tempo curvo 

è un problema abbastanza complesso perché non può essere risolto semplicemente prendendo la 
distanza    fra due eventi aventi coordinate spaziali diverse e coordinata temporale uguale. Ciò 

può essere fatto solo in presenza di uno spazio-tempo galileiano.

In questo caso basta porre  e ricavare 
. In generale, in una varietà curva, questo non 
vale perché le coordinate curvilinee sono arbitrarie.

Per ottenere la misura di un intervallo spaziale, che indicheremo con  , ricorreremo ad un raggio 
di luce ed alla possibilità, già nota, di calcolare il tempo proprio.

Consideriamo la varietà bidimensionale 
  dove, come al solito, la prima coordinata     è 
la coordinata temporale e 
è quella spaziale.

Consideriamo i punti spaziali  B  ed  A  infinitamente vicini di coordinate    e 
:

        

(le linee orizzontali sono le corrispondenti linee di universo (i punti  A  e  B  sono in quiete)). 


Immaginiamo ora che al tempo    parta da  B  un raggio di luce in direzione del punto  A  
e che lo raggiunga al tempo 
. Graficamente :

       

Chiamiamo    il primo evento (quando la luce parte da  B ) e    il 
secondo (quando la luce arriva in  A ). 

Supponiamo ora che il raggio di luce, una volta giunto in  A  , venga riflesso di nuovo verso  B  

raggiungendolo al tempo  . Graficamente :

       


Chiamiamo  l'evento finale in cui la luce ritorna su  B .


Si noti che, fisicamente, la luce non "viaggia" propriamente sul grafico 
  ma sulla varietà 
bidimensionale immersa nello spazio euclideo 
, varietà di cui le    sono le 
coordinate curvilinee. Comunque gli eventi  B' , A' , B''  segnati sul grafico sopra corrispondono 
esattamente a ciò che avviene fisicamente sulla varietà bidimensionale.

Si noti anche che i valori temporali    e    sono infinitesimi.


Possiamo riassumere il processo di emissione e riflessione della luce nel seguente modo :


        .

Calcoliamo ora l'elemento infinitesimo 
fra gli eventi  B'  e  A'  considerando che in due 
dimensioni esso è in generale :

        .

Si ha allora  fra  B'  e  A'  :

        .

Siccome l'elemento 
è un invariante rispetto ad ogni cambiamento di coordinate e siccome in 
un sistema localmente galileiano l'elemento infinitesimo di linea fra due eventi collegati da un
raggio 
di luce è nullo, possiamo affermare che :

       
.

La precedente equazione diventa quindi una semplice equazione di  2'  grado che ci fornisce 

Otteniamo quindi :

        .

Facendo la stessa cosa per l'elemento 
  fra gli eventi  A'  e  B''  otteniamo :

        .

A questo punto siamo in grado di calcolare il lasso di tempo assoluto fra gli eventi  B'  e  B'' . 
Esso è esattamente  . Otteniamo perciò :

          .

Il tempo proprio 
corrispondente al tempo assoluto  sarà (conformemente a quanto 
affermato nel paragrafo precedente) :

        .

Siamo ora in grado di ricavare l'intervallo di spazio 
semplicemente definendolo in modo che :

         

(la divisione per  2  dipende dal fatto che la luce, in effetti, compie due volte il medesimo cammino).

L'intervallo 
  (conviene considerarlo al quadrato) sarà infine (semplificando)  :

        .

Questa formula dà l'intervallo di spazio "reale", la distanza avente significato fisico, fra due punti 
dello spazio infinitamente vicini
(in un dato istante). 

Nel caso dello spazio-tempo a  4  dimensioni di coordinate curvilinee 
(dove come 
sempre 
  è la coordinata temporale) la formula diventa :

       

dove    (attenzione !!! qui  
  e    sono indici !!!) (le somme sugli indici ripetuti 
sono sottintese).

Continuando l'approfondimento in  4  dimensioni, la formula trovata può essere scritta nel seguente 
modo :

       

dove : 

       

con 
.
Il tensore    rappresenta la metrica, ovvero le proprietà geometriche dello spazio (separato dal 
tempo). Esso rappresenta il legame fra lo spazio "reale", avente significato fisico, e la metrica dello 
spazio-tempo quadridimensionale.

Consideriamo i seguenti eventi  A' , A'' , B' , B''  , corrispondenti rispettivamente alle posizioni spaziali  
A  e  B  date, così come indicati nel grafico (in  2  dimensioni) :

       

Per essi si verifica l'importante fatto che, sebbene l'intervallo di coordinata spaziale    sia lo 
stesso, i corrispondenti intervalli di lunghezza    e    , presi in posizioni temporali 
diverse, possono essere diversi in quanto il tensore     in generale è funzione anche di 

Questo a sottolineare che l'intervallo di lunghezza ha valore locale.

E' interessante notare che l'intervallo 
  fra due punti dello spazio (di coordinate spaziali 
assegnate ed infinitamente vicine) può aumentare o diminuire allo scorrere del tempo assoluto. 
Questo significa che lo spazio può espandersi o contrarsi.

05 - Simultaneità  e sincronizzazione degli orologi.

Come abbiamo più volte affermato, in relatività generale la scelta di un sistema di riferimento 
spazio-temporale è del tutto arbitraria. Per questo motivo il concetto di simultaneità fra due
eventi non è così semplice e, per definirlo, dobbiamo riferirci ad un qualche fenomeno fisico.

Per decidere se due eventi sono simultanei utilizziamo ancora un raggio di luce che parte dal 
punto  B , raggiunge il punto  A ad esso spazialmente infinitamente vicino, e, opportunamente 
riflesso, ritorna su  B : 

       


Immaginiamo di porre in  B  un orologio. Orbene, consideriamo l'indicazione dell'orologio all'istante 
intermedio
fra la partenza del raggio di luce ed il suo arrivo (sempre in  B ) come simultaneo al tempo  
in  A . Sia  B'''  questo evento simultaneo ad  A'  e sia  la sua coordinata temporale :

       

Come appare chiaro dal diagramma, la coordinata 
  in generale è diversa da  .

Ora che abbiamo definito quando due eventi (spazialmente infinitamente vicini) sono simultanei,
abbiamo fornito anche un modo concreto per sincronizzare l'orologio che è in  B . Questo 

fatto è di fondamentale importanza perché ci permette in linea di principio di sincronizzare tutti 
gli orologi che possiamo immaginare di porre nei vari punti dello spazio.

Quando l'orologio in  B  segna il tempo intermedio fra andata e ritorno del raggio di luce, possiamo
affermare che quell'istante vale 
e possiamo così mettere a punto l'orologio .

Calcoliamo ora il valore di 
  utilizzando i valori di     e    già calcolati nel paragrafo 
precedente. Avremo allora :

         

da cui, sostituendo i valori di  
  e    , ricaviamo direttamente  :

         

(nel caso bidimensionale).

La formula nel caso quadridimensionale diventa :

       

dove qui 
è un indice che vale  1 , 2 , 3  e la somma è sottintesa su  .

Ripetendo il processo, possiamo sincronizzare un orologio nel punto  C  (spazialmente infinitamente 
vicino a  B ) :

       

ottenendo così l'evento  C'''  di coordinata temporale  è simultaneo a  B'''  e ad  A'  .

In questo modo possiamo sincronizzare tutti gli orologi posti in qualunque punto dello spazio ottenendo 
la formula :

        .

Nel caso dello spazio-tempo tridimensionale    , dove 
  è la coordinata temporale e 
di cui possiamo ancora ottenere un grafico (e di conseguenza nello spazio-tempo quadridimensionale), 
si nota una particolare proprietà del processo di sincronizzazione. 

Limitatamente alla varietà tridimensionale proviamo a sincronizzare gli orologi lungo una linea spaziale 
aperta :

        

dove  A , B , C , D  sono punti spaziali infinitamente vicini e    è l'intervallo temporale finale 
tale per cui   rappresenta al coordinata temporale dell'evento simultaneo in  D .

Facciamo la stessa cosa lungo un'altra linea spaziale aperta ma avente i medesimi estremi :

       

In questo caso otteniamo un intervallo    diverso dal precedente per cui deduciamo che la 

sincronizzazione dipende dalla linea spaziale prescelta.

Facciamo la stessa cosa per una linea spaziale chiusa :

        

In questo caso addirittura si perviene al risultato assurdo che un eventuale orologio in  A  non sarebbe 
sincronizzato con se stesso.

Osservando i grafici si deduce che la sincronizzazione degli orologi su volumi di dimensioni finite, 
in relatività generale, è un processo in generale impossibile (a causa della arbitrarietà dei sistemi 

di riferimento spazio-temporali).

In generale è solo possibile sincronizzare gli orologi in un intorno spaziale infinitesimo.

Se però tutte le componenti  , con
  , del tensore metrico fossero nulle il valore di  
risulterebbe identicamente nullo. In questo caso si potrebbero sincronizzare tutti gli orologi
in tutti i punti dello spazio. In questo caso si avrebbe (in  2  dimensioni) :


        

Se inoltre si avesse  il tempo proprio sarebbe uguale al tempo assoluto. I sistemi di 
riferimento che godono di queste proprietà si dicono sincroni e sono di grande importanza in 
relatività generale. I sistemi galileiani sono ovviamente sincroni.

Si dimostra che è sempre possibile, in qualunque varietà spazio-temporale, scegliere un sistema di
riferimento sincrono (anzi, se ne possono scegliere infiniti).

Infine osserviamo il fatto estremamente importante che in relatività generale il tempo proprio fra due 
eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio è in generale diverso dal tempo proprio dei 
rispettivi eventi simultanei aventi luogo in un altro punto dello spazio. In due dimensioni :

       

Questo fatto è ciò che rende la teoria della relatività generale particolarmente in antitesi con il senso 

comune. Solo se il sistema di riferimento è sincrono allora si verifica l'invarianza dei tempi propri di 
eventi simultanei.

Fine. 

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