E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Scalari, vettori, tensori : i mattoni matematici della fisica

Le grandezze fisiche non sono tutte dello stesso tipo. Vi sono grandezze caratterizzate da un solo numero,
il valore che esse assumono in un certo punto. Queste grandezze si chiamano scalari.

Consideriamo un corpo qualunque ed immaginiamo di conoscerne in ogni suo punto la temperatura. La 
temperatura è una grandezza scalare perché è caratterizzata da un solo numero, il suo valore rispetto 
ad una certa unità di misura. Avremo in questo modo una corrispondenza fra i punti del corpo e la loro 
temperatura.

Se consideriamo il corpo immerso in un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale  Oxyz  possiamo
indicare questa corrispondenza fra punti e temperature nel seguente semplice modo :

        T(x , y , z) 

dove  T  indica la temperatura ed   x , y , z   le coordinate di un punto.

Diremo allora che  T  è un campo scalare, il campo delle temperature di quel corpo.



Vi sono poi grandezze che non possono essere descritte da un solo numero. Per esempio, una forza è 
caratterizzata da tre numeri, le sue componenti rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane. Tali
grandezze sono dei vettori le cui componenti si determinano mandando le proiezioni ortogonali sugli
assi cartesiani come indicato in figura :



Se nei punti di una certa regione di spazio è presente una forza (per esempio una forza elettrica), diremo che
in quello spazio è presente un campo vettoriale.

Abbiamo così determinato una corrispondenza fra i punti dello spazio ed un vettore. Indicheremo il vettore e
la corrispondenza con i punti dello spazio nel seguente modo :

       

dove l'indice  i  può assumere i valori  1, 2, 3  . In questo modo le tre componenti del vettore  F  si indicano 
con :

       

dove ciascuna di esse è una funzione di  x , y , z .

Con i vettori è possibile fare diverse operazioni : addizione, sottrazione, moltiplicazione per uno scalare, ed 
altri tipi di moltiplicazione. Come esempio mostriamo come si sommano due vettori. La formula generale della
somma dei vettori  A  e  B  che danno come risultato il vettore  C  è :

       

dove l'indice  i  può prendere i valori  1 , 2 , 3 . Questa formula significa in sintesi che la componente  1  di  C
è data dalla somma della componente  1  di  A  più la componente  1  di  B . Analogamente per le altre 
componenti. In dettaglio :

       

L'interpretazione geometrica della somma di due vettori è data dalla cosiddetta "regola del parallelogramma" 
(in due dimensioni) :



che corrisponde alla nota regola di composizione delle forze.

Una importante proprietà dei vettori è che le loro componenti cambiano in un certo modo se si effettua
una trasformazione di coordinate, per esempio una rotazione di un certo angolo rispetto all'origine 
(in due dimensioni) :



Come si vede dal grafico, il vettore  A  rispetto al sistema di riferimento  Oxy  ha certe componenti. Rispetto
al sistema di riferimento  Ox'y' , ruotato rispetto al primo di un certo angolo, ha componenti diverse.

La relazione matematica che descrive come sono correlate le componenti di  A  nei due sistemi di riferimento
rappresenta la regola che deve essere soddisfatta perché un qualunque insieme di  2  numeri ( 2  nel caso di uno
spazio bidimensionale,  3  nel caso tridimensionale) sia davvero un vettore.

La legge matematica di trasformazione delle componenti di un vettore in un cambiamento del sistema di riferimento
è quindi la legge che definisce, distingue, un vettore rispetto ad altri insiemi di numeri.

Non tutte le grandezze fisiche sono però dei vettori. Esistono delle grandezze fisiche che non possono essere 
rappresentate da vettori. Esempio di ciò è quando si cerca di descrivere le deformazioni a cui è soggetta un corpo
solido su cui agiscono delle forze. Questa descrizione non può essere fatta con l'aiuto dei vettori. Un altro esempio
è il campo gravitazionale secondo la teoria della relatività generale.

Il concetto di vettore può essere esteso definendo grandezze con più indici, ovvero con più gruppi di componenti
rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Introduciamo il sistema di numeri :

       

dove gli indici  i  e  j  possono assumere i valori  1 , 2 , 3 . Avremo quindi  9  componenti che potremo indicare
per comodità nel seguente riquadro :

          .

Questo sistema si dice di ordine  2  perché ha due indici.

In generale potremmo creare sistemi di numeri con un numero di indici a scelta, ovvero di ordine qualunque. Possiamo 
anche indicare indici in alto. Quelli in basso si chiamano covarianti, quelli in altro si chiamano controvarianti. Per esempio.,
un sistema di ordine  5  potrebbe essere :

         

dove i  5   indici   i , j , k , l , m   possono assumere indipendentemente i valori  1 , 2  , 3 .

Questo sistema è formato da  3 x 3 x 3 x 3 x 3  =  243  componenti perché gli indici sono in tutto  5  e le dimensioni
dello spazio sono  3  .

Si noti che il simbolismo di questi sistemi è molto sintetico. Con la brevissima scrittura precedente si sottintendono
ben  243  numeri !!!

Questi sistemi a più indici, se ubbidiscono a certe regole matematiche in una trasformazione di assi coordinati, si 
chiamano tensori. Le leggi di trasformazione dei tensori sono la logica estensione delle analoghe leggi per i 
vettori.

Se poi è possibile assegnare una corrispondenza fra i punti dello spazio ed un tensore, avremo un campo tensoriale
che indicheremo simbolicamente (utilizzando come esempio il tensore di ordine  5  di cui sopra) con :

       

dove ogni componente del tensore è una funzione di  x , y , z .

I tensori sono in definitiva una estensione dei vettori. Addirittura si può immaginare che uno scalare sia un tensore 
di ordine zero (perché non ha indici) ed un vettore sia un tensore di ordine uno (perché ha un solo indice).

Un tensore molto importante è il tensore metrico fondamentale del secondo ordine    che descrive la metrica
di uno spazio anche curvo (non euclideo). Questo tensore, secondo la teoria della relatività generale, coincide col 
campo gravitazionale.

Con i tensori si possono fare varie operazioni che non tratteremo qui perché non  necessarie al semplice scopo della
comprensione del concetto di tensore. 

Inoltre, quanto fin qui affermato, può essere esteso a spazi ad un numero qualunque di dimensioni e anche a spazi
non euclidei.

L'importanza dei tensori in fisica è capitale. Le grandezze fisiche possono essere descritte tramite questi oggetti 
matematici che rappresentano perciò i veri mattoni matematici dell'intero edificio della fisica.

Di più, una delle proprietà dei tensori è che se un tensore è nullo rispetto ad un sistema di riferimento, esso
sarà nullo anche rispetto a qualunque altro sistema di riferimento.

Questa proprietà dei tensori è fondamentale perché se noi esprimiamo una legge fisica nella forma tensoriale :

        T = 0  ,

dove  T  è un tensore qualunque al quale abbiamo tolto gli indici per comodità, siamo sicuri che questa legge 
sarà la stessa per qualunque altro sistema di riferimento. 

D'altra parte, poiché per il principio di relatività generale non esistono sistemi di riferimento privilegiati, le leggi 
della fisica devono essere le stesse in ogni sistema di riferimento. Arriviamo quindi alla conclusione che, per
soddisfare questo principio,  le leggi della fisica devono essere espresse in forma tensoriale.

Pensandoci bene, l'avere trovato le regole con cui le leggi della fisica devono essere scritte ha dell'incredibile !!!
Potremmo quasi dire che questa è ... metafisica ...

Fine. 

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