E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Il principio di minima azione : il padre di tutti i principi ...

L'essere umano da sempre si interroga su cosa "stia dietro le cose". Da sempre cerca i "principi" su 
cui si basa la realtà.

Mostriamo qui sinteticamente un principio fisico non molto ben conosciuto dai più ma di fondamentale 

importanza e che potremmo considerare, fino a prova contraria, il padre di tutti i principi ...  

Il principio di minima azione (detto anche principio di Hamilton,  in onore del grande fisico
matematico irlandese (1805 - 1865)) sta alla base della meccanica e di conseguenza di tutta la 
fisica.

Una enunciazione del tutto "intuitiva" ed "empirica" di questo principio potrebbe essere questa :


        "fra le varie possibilità di moto inanimato, la natura sceglie sempre il cammino più 
         vantaggioso".

Vediamo ora come dare una "veste matematica" a questa affermazione che appare a prima vista già

del tutto plausibile.

01 - Moto unidimensionale.

Consideriamo per semplicità un corpo molto piccolo che si muove lungo una linea retta. Siccome 

le dimensioni del corpo sono piccole, esso può essere rappresentato da un punto materiale.

Tutte le considerazioni che faremo riferendoci ad un tale esempio semplicistico unidimensionale possono 

essere estese ai moti che avvengono nella realtà in tre dimensioni. Tali considerazioni possono essere
estese anche a più corpi macroscopici
fra loro interagenti.

Supponiamo che il corpo, libero di muoversi su di una retta, risenta di una o più forze che agiscono
su di lui. Come caso particolare le forze possono essere assenti (o annullarsi fra loro), ma in generale 

un corpo risente dell'azione di qualche forza.

Chiamiamo il corpo con la lettera  M  e consideriamo la retta su cui si muove come una retta orientata

cioè dotata di una origine  0  e di una orientazione (quella indicata dalla freccia) :

       

In questo modo la posizione del corpo  M  è definita univocamente : se si trova a destra dell'origine, 

la sua posizione è positiva, se è a sinistra, è negativa. Naturalmente il numero che esprime tale posizione, 
la coordinata del punto  M  , verrà preso rispetto ad una prescelta unità di misura di lunghezza.

Indichiamo detta coordinata con la lettera  q . 

Per descrivere il moto di un corpo occorre anche il tempo. Prendiamo allora un orologio ed indichiamo
con la lettera  t  il tempo che esso misura rispetto ad un istante  0  predefinito detto istante iniziale.

A questo punto immaginiamo che il corpo, movendosi,  si venga a trovare al tempo    nella posizione    
e successivamente, al tempo  , nella posizione  :

       

Chiameremo    e    tempo e posizione iniziali e   tempo e posizione finali.

Come si muoverà il corpo nei vari istanti intermedi fra i tempi    e  ? Ovvero, istante per istante, 
in che posizione  q  verrà a trovarsi il corpo ?

Questa è la domanda e lo scopo fondamentale della meccanica : costruire l'equazione oraria del 
moto, cioè come varia lo spazio rispetto al tempo.

Matematicamente ciò corrisponde a determinare la funzione oraria :

        .

Alcune possibili funzioni orarie, tenendo presente che gli unici dati certi sono posizione e tempo iniziali 
e finali, sono date dal seguente grafico :

       

Si vede bene che le funzioni orarie che uniscono il punto iniziale con il punto finale sono infinite, quindi 
il nostro corpo, movendosi , potrebbe "scegliere" uno qualsiasi di questi grafici. Il corpo potrebbe 
muoversi "scegliendo" la curva  , oppure la curva    ecc. ecc.

Ma la natura non ha "fantasia" !!! Uno solo di questi grafici è quello che effettivamente verrà "scelto" 
dal corpo nel suo moto. Quello più "conveniente", quello che sarà tale da soddisfare il principio di 
minima azione !!!

Supponiamo che il seguente grafico sia quello reale, che corrisponda cioè esattamente al moto del nostro 
corpo :

       

Chiamiamo    la corrispondente funzione.

A questo punto è necessario introdurre il concetto di velocità istantanea (o velocità puntiforme o 
semplicemente velocità), la "rapidità" cioè di cambiare posizione  q  al variare del tempo  t .

Chiamiamo questa grandezza col simbolo     (si pronuncia  "q punto") e notiamo che essa corrisponde 
alla "pendenza" della curva oraria in ogni istante. Possiamo allora affiancare al grafico dello spazio rispetto 
al tempo, anche quello della velocità sempre rispetto al tempo (incolonnandoli) :

       

Il grafico della velocità    risulta evidente : basta prendere le pendenze, evidenziate dalle rette 

tangenti, nei vari punti del grafico orario del moto. 

La pendenza (lo sanno bene i ciclisti ...) si misura semplicemente dividendo la lunghezze del segmento 
verticale per quella del segmento orizzontale così come indicato in figura :

       

Tornando al nostro grafico orario, notiamo che nel punto  A  , corrispondente al tempo  , la velocità 
è positiva (la pendenza corrisponde a spazi crescenti al crescere del tempo), mentre nel punto  C  , al 
tempo  , la velocità è negativa (la pendenza corrisponde a spazi decrescenti al crescere del tempo). 
Nel punto  B , al tempo , la pendenza è nulla, quindi la velocità è nulla.

Analogamente a quanto fatto per la velocità, definiamo l'accelerazione e la indichiamo con il simbolo 
("q due punti") ma, per semplicità, non ne riportiamo il grafico nel nostro esempio.

Matematicamente, la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo e l'accelerazione è la derivata 
della velocità rispetto al tempo. Cioè :


       


e :

        

(ovviamente, l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo).

02 - Principio di minima azione.


Com'è allora che, fra le infinite funzioni orarie possibili che congiungono il punto iniziale con il punto 
finale, una sola è quella possibile, quella cioè che si verifica realmente ?

I "padri" della meccanica (Lagrange, Hamilton ecc.) hanno, per rispondere a questo quesito, "introdotto" 
una funzione di fondamentale importanza che descrive tutte le proprietà meccaniche di un sistema di corpi : 

        la lagrangiana.

Si tratta di una funzione che caratterizza il sistema. Ogni sistema ha la propria lagrangiana ed essa è una 
funzione del tempo, delle posizioni e delle velocità. 

Nel nostro caso unidimensionale avremo che la lagrangiana, indicata di solito con la lettera  L , vale :

        .

Istante per istante, durante il moto del corpo, sostituendo le tre grandezze 
 , che variano con 
continuità, nella lagrangiana  L  del corpo si ottengono via via valori in generale diversi di  L  stessa. 

Si ottiene cioè una funzione  L  del tempo che possiamo ricavare e rappresentare così (considerando 
un certo istante  t  ed immaginando di fare lo stesso per tutti gli altri istanti) :

        

Il "simbolismo" indicato dal grafico è molto semplice : ad un certo istante  t  si prende l'istante stesso, 
la posizione corrispondente  q  sul grafico dello spazio e la corrispondente velocità 
sul grafico della 
velocità. Si "immettono" questi tre valori dentro la lagrangiana (che possiamo considerare come una 
sorta di "scatola nera") ottenendo così un risultato  L  che metteremo (assieme al tempo  t ) nel grafico 
della lagrangiana. Procedendo allo stesso modo per gli altri istanti, si costruisce così il grafico completo
della lagrangiana.

Abbiamo colorato l'area formata dal grafico della lagrangiana  L  perché essa assume un ruolo fondamentale :

        il "moto reale" fra il punto iniziale ed il punto finale è quello per cui l'area in questione è minima !!!

Ecco allora espresso in forma matematica il principio di minima azione.

Le varie funzioni orarie possibili determinano grafici della lagrangiana con relative aree via via diverse. Il moto 

avverrà solo con l'equazione oraria che rende minima quell'area !!!

L'area suddetta si chiama giustamente azione e si indica con la lettera  S . Matematicamente, il 
principio di minima azione si esprime affermando che l'integrale (l'azione) :

       

deve essere minimo.

Lo studio matematico di questo problema di minimo fa parte del grande capitolo della matematica che 
va sotto il nome di calcolo variazionale. In particolare, questo particolare caso va sotto il nome di
problema di Eulero (1707 - 1783).

Lo sviluppo matematico del problema di Eulero porta alle cosiddette equazioni del moto, equazioni che 
legano fra loro tutte le variabili in gioco : tempo, posizioni, velocità, accelerazioni e forze.

L'equazione del moto nel caso più semplice è la arcifamosa equazione di Newton :

        F = m · a 


che esprime in forma matematica il 2' principio della dinamica
.

Abbiamo così mostrato (anche se solo a grandi linee senza soffermarci nei calcoli) che l'equazione di 

Newton (ovvero il 2' principio della dinamica) è deducibile da un principio molto più generale, per cui il 
titolo di questa pagina, per così dire un po' "esagerato", è del tutto giustificato !!!

Fine. 

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