E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Il principio di indeterminazione di Heisenberg

Il principio di indeterminazione di Heisenberg è alla base della meccanica quantistica (MQ). 

Esso fu proposto da Heinsenberg nel 1927 e questo dopo che l'apparato matematico della MQ era 
già stato
completamente formulato. In effetti il principio di indeterminazione di Heisenberg è deducibile 
matematicamente da principi più generali e dall'impostazione matematica della teoria stessa.

In questa pagina mostreremo come il
principio di indeterminazione di Heisenberg possa essere ricavato 
matematicamente.

01 - Fondamenta concettuali e matematiche della MQ.

Consideriamo una particella di massa  m  costretta a muoversi su una retta (ci limitiamo qui al solo 

moto unidimensionale). La posizione della particella è indicata con  x  e la sua quantità di moto (massa 
x velocità) con  p :

       

Secondo la MQ, lo stato di una particella è descrivibile da una funzione a valori complessi delle 
coordinate e del tempo detta funzione d'onda. Indichiamo tale funzione con :

        .

Il significato fisico della funzione d'onda è che essa rappresenta la probabilità che la particella si trovi 
al tempo  t  nella posizione  x . Esattamente si ha :

       

dove per la particella,  dP  rappresenta la probabilità di trovarsi nell'istante  t  nella posizione  fra  x  e  
x + dx .

Graficamente questa probabilità è data approssimativamente dall'area colorata :

       

Il numero    rappresenta quindi la densità di probabilità  per la posizione  x .

La probabilità per la particella di trovarsi in un intervallo finito  [a , b]  è data dall'integrale :

        .

Graficamente :

       

Ovviamente, la probabilità che la particella si trovi su tutta la retta è  1  (certezza) per cui si deve 
avere :

          .

Graficamente :

       

In questo caso la funzione d'onda si dice normalizzata.

Le funzioni d'onda della MQ sono considerabili come vettori dello spazio di Hilbert delle funzioni a 
quadrato sommabile  per le quali la norma è definita come :

       

dove    indica il complesso coniugato di  .

Essendo    un vettore, esso può essere scomposto rispetto ad una base ortonormale dello spazio  
nella seguente somma :  

       

dove    è la suddetta base (si tratta di un insieme numerabile di vettori oppure di un 
insieme continuo). Se essi costituiscono un sistema di autovettori (autofunzioni) ortonormali di una 
certa grandezza fisica (per esempio energia, quantità di moto ecc.), allora i valori   
costituiscono le probabilità (o le densità di probabilità se le autofunzioni rappresentano un insieme 

continuo) per la particella di avere i corrispondenti valori della grandezza fisica in questione.

Si noti che la MQ è una teoria probabilistica. In essa non si dà una descrizione deterministica della 
particella così come si fa in meccanica classica (MC) : 

        il concetto di traiettoria continua non è presente in MQ.

Al posto della traiettoria vi è il concetto di probabilità di essere in un certo punto ad un certo istante.

Si noti anche che, essendo una funzione d'onda sviluppabile rispetto ad un sistema di autofunzioni, in MQ 
si ipotizza che una particella, in un certo istante, si trovi nella sovrapposizione di più stati.

Il concetto di probabilità e di sovrapposizione sono la basi della MQ e non sono riscontrabili in MC.

Consideriamo ora un esempio molto semplice di funzione d'onda.

02 - Particella che si trova in un intervallo in modo equiprobabile.

Supponiamo che la particella in un certo istante si trovi nell'intervallo  [-b , +b]  ed abbia in ogni punto 
dell'intervallo la stessa probabilità. Una tale funzione d'onda è per esempio la seguente : 

       

dove  b  e  c  sono numeri positivi.

Graficamente :

       

(attenzione !!! in ordinata abbiamo qui e non  ).

Il corrispondente grafico della densità di probabilità  è :

       

Una tale funzione d'onda porta alla condizione di normalizzazione (eseguita su  ) :

         

ovvero :

        .

In MQ la funzione d'onda esprime tutte le caratteristiche fisiche della particella, non solo quindi la 
densità di probabilità della posizione. Per questo motivo dobbiamo essere in grado di ricavare da 

anche la densità di probabilità della quantità di moto  p .

Per fare questo basta conoscere la forma della funzione d'onda di una particella dotata di una determinata
quantità di moto  p , ovvero l'autofunzione (o autostato) della quantità di moto  p . Rifacendoci all'ipotesi 
di de Broglie, secondo la quale ad una particella è associata un'onda di lunghezza d'onda :

         

dove  h  è la costante di Planck, possiamo affermare che l'autostato della quantità di moto  p , che 
indichiamo con    , è : 

       

dove   è una costante che al momento non ci interessa determinare (è la costante di normalizzazione 
della funzione d'onda),  i  è l'unità immaginaria e    , si pronuncia "h  tagliato", vale  .

La funzione    infatti rappresenta un'onda di lunghezza d'onda uguale alla lunghezza d'onda di de 
Broglie (lo si vede ponendo  ).

Detto questo, la componente della quantità di moto (il cui modulo quadro dà la sua densità di probabilità) 
si ricava proiettando la funzione d'onda della particella sull'autostato della quantità di moto, cioè : 

         

dove con    indichiamo appunto la componente della quantità di moto  p (si noti che per fare la 

proiezione si prende il complesso coniugato di  ).

Il calcolo dell'integrale è piuttosto semplice (si tratta, ameno di costanti, della trasformata di Fourier di  
che, in questo caso, essendo    costante, è facile da calcolare analiticamente). 

Ottenendo  , riusciamo quindi ad "estrarre" dalla funzione d'onda 
  l' "informazione" di come è 
distribuita la probabilità per la quantità di moto  p . Tutto ciò è "meraviglioso" ed "affascinante" e 
costituisce il "cuore" matematico della MQ, cuore che si base sull'analisi funzionale legata alla 
teoria degli spazi vettoriale ed in particolare dello spazio 
.

I facili calcoli ci forniscono :

       

ed, essendo 
, si ha di conseguenza :

        .

Questa è la componente della quantità di moto  p  rispetto alla corrispondente autofunzione per cui la 
densità di probabilità della quantità di moto risulta :

        .


L'integrale su tutti i valori di  p  di questa funzione deve dare ovviamente  1  per cui :

        .


Questa condizione di normalizzazione può essere utilizzata per determinare il valore della costante 

Lasciamo al lettore interessato il calcolo non banale limitandoci a fornire il risultato finale :

         .

03 - Principio di indeterminazione di Heisenberg.

Confrontiamo graficamente alcune densità di probabilità 
  di  x  , ottenute variando il valore della 
costante  b , con le rispettive densità di probabilità  di  p  (le costanti    ed    sono poste 
per comodità uguali ad  1 ) :

        per  b = 0.5 :


       

       
per  b = 1 :

       

       
per  b = 2 :

       

Quello che balza subito agli occhi è il fatto che quando  b  si "allarga", allora  la densità 
  si "stringe".

Analizziamo questo fatto fondamentale definendo i valori    (dove nel nostro caso ) e    

così come indicato in figura :

       

Come appare evidente, la particella si trova nell'intervallo  (e con uguale probabilità) e 
possiede una quantità di moto compresa principalmente nell'intervallo  (non consideriamo
i valori di  p  al di fuori di detto intervallo perché proco probabili).

Nella letteratura scientifica si usa chiamare 
  precisione (o indeterminazione) della posizione  
precisione (o indeterminazione) della quantità di moto.

Ricaviamo ora il valore di 
considerando che in sua corrispondenza l'argomento del seno della formula 
(che dà   ) vale  . Abbiamo cioè :

         

da cui si deduce che :

        .

Siamo giunti al fondamentale risultato che :

        il prodotto della precisione della posizione per la precisione della quantità di moto è costante 
        (e questa costante è una costante universale).

Questa affermazione è valida per ogni altro tipo di funzione d'onda 
(del genere qui rappresentato, cioè 
"centrato" attorno ad un valore dato) e va sotto il nome di principio di indeterminazione di Heisenberg
Esso viene comunemente formulato più genericamente come :

        .

Fine. 

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