E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Ordine, disordine

Il significato comune della parola "ordine" è :

"aspetto, disposizione o sistemazione razionale ed armonica di qualcosa nello spazio o nel tempo ...". 

Tutti abbiamo innata l'idea di ordine e di disordine (che è la sua negazione) ma, se pensiamo bene, 
questo concetto è del tutto soggettivo.

Io, per esempio, credo di essere una persona molto ordinata, ma mia moglie non è di questo avviso.  
Per lei non lo sono affatto. Evidentemente ognuno ha una propria idea di ordine.

Nella scienza occorre definire i concetti e le grandezze che le sono proprie secondo criteri di 
oggettività, validi per tutti. I concetti scientifici devono essere quantificati in modo preciso e non 
contraddittorio, altrimenti non si potrebbe fare nessuna affermazione oggettiva circa le leggi che
governano il cosmo.

Tenteremo qui di definire il concetto di ordine e di disordine dal punto di vista della fisica e vedremo
che questa definizione è carica di profondi significati e conseguenze.

I concetti che esporremo li dobbiamo al grande fisico Ludwig Boltzmann che li sviluppò attorno al 1880.

Sistemi macroscopici.

L'universo è formato da innumerevoli sistemi di particelle interagenti fra loro. Noi stessi siamo degli 
aggregati di atomi e molecole organizzati in apparati ed organi meravigliosamente collegati l'uno con 
l'altro in una incredibile complessità.

Tutto l'universo stesso è un enorme sistema di particelle organizzate in ammassi galattici, galassie, stelle,
pianeti ecc. ecc. E tutto ciò è in interazione reciproca. 

Le particelle che costituiscono la realtà sono gli atomi  e le molecole (esse stesse formate da atomi) 
che formano la materia ma anche i fotoni che trasportano la radiazione elettromagnetica (onde radio, 
raggi infrarossi, luce, raggi ultravioletti, raggi x e raggi gamma) sono dei particolari tipi di particelle. 
Gli atomi poi sono formati da protoni, neutroni ed elettroni. Infine vi sono le particelle subatomiche : 
mesoni, neutrini ecc. 

Consideriamo ora un sistema fisico formato da moltissime particelle qualunque e  su questo concentriamo
la nostra attenzione. Un tale sistema potrebbe essere l'acqua contenuta in un bicchiere, l'aria che c'è in
questa stanza, io stesso che sto scrivendo ecc. Non importa il tipo di sistema, importa solo che esso
sia costituito da un numero molto grande di particelle.

Chiameremo un tale sistema, sistema macroscopico (questa accezione sottolinea il fatto che il sistema 
è formato da molte particelle microscopiche), oppure sistema termodinamico (la termodinamica è la
branca della fisica che studia gli scambi di calore, cioè di energia fra i sistemi macroscopici) oppure, 
più semplicemente, corpo (macroscopico).

La caratteristica fondamentale di un sistema macroscopico è che non è possibile seguire e descrivere
il movimento delle sue singole particelle dato il loro enorme numero. Anche con l'aiuto del più potente
computer esistente (od immaginabile) sarebbe assolutamente impossibile descrivere il moto di ogni 
singola particella costituente anche un semplice bicchier d'acqua.

Questa impossibilità non costituisce però un limite invalicabile. E' possibile, invece, descrivere il 
comportamento fisico di un corpo attraverso delle grandezze "statistiche" che esprimono "in media"
il comportamento delle particelle del sistema. Queste grandezze si chiamano grandezze macroscopiche 
(oppure grandezze termodinamiche) e sono per esempio la pressione, il volume e la temperatura.

Con queste poche grandezze  si può descrivere il comportamento e l'evoluzione interna di un corpo 
qualunque (senza cioè considerare il moto di traslazione o rotazione del corpo nel suo insieme).

Introduciamo ora due concetti molto utili e significativi. Un sistema macroscopico può essere isolato
o non. Un sistema è isolato quando non interagisce con l'esterno. Per isolare un sistema può essere
sufficiente un buon isolamento termico. Naturalmente il concetto di sistema isolato è una astrazione 
teorica in quanto non esiste un isolamento perfetto. In natura tutto interagisce con tutto. Però, entro, 
certi limiti si può parlare di sistema isolato.

L'altro concetto molto importante è quello di sistema in equilibrio termico. Se io prendo dal frigorifero 
una bottiglia di acqua e la metto sul tavolo, essa raggiungerà l'equilibrio termico dopo un certo tempo, 
detto tempo di rilassamento, dopo il quale la bottiglia d'acqua avrà raggiunto la temperatura dell'ambiente.
Un sistema si dice in equilibrio termico quando le sue grandezze macroscopiche sono costanti nel tempo.

Anche questo concetto è puramente teorico perché, a causa delle interazioni sempre presenti, un sistema
risente di fluttuazioni, anche se minime, delle grandezze macroscopiche che lo descrivono. Però, entro
certi limiti, si può parlare di sistema in equilibrio termico.

Spazio delle fasi.

Abbiamo affermato sopra che non è possibile descrivere quantitativamente il comportamento delle singole 
particelle che costituiscono un corpo macroscopico. Non possiamo cioè conoscere istante per istante le 
posizioni e le velocità delle singole particelle. Possiamo però farlo con l'immaginazione.

Nella meccanica classica di Newton ogni particella è descritta dalla sua posizione rispetto ad un sistema
di riferimento e dalla sua velocità. In effetti, invece della velocità, si usa la quantità di moto (detta anche 
impulso) che è esattamente la velocità per la massa della particella, ma il concetto non cambia.

Consideriamo allora un sistema di assi cartesiani a tre dimensioni ed una particella  m  che ad un certo
istante è dotata di una quantità di moto  p  :



In quel certo istante la particella  m  è descritta allora da sei  numeri : le sue tre coordinate spaziali  x  ,  y  , z 
e le tre componenti della sua quantità di moto  px  ,  py  ,  pz  . Si noti che la quantità di moto è un vettore
perché la velocità di una particella possiede anche una direzione ed un verso così come indicato nel grafico.

Se ora consideriamo il nostro sistema macroscopico formato da  N  particelle (dove  N  è un numero enorme)
esso sarà descritto in un certo istante da  6N  numeri, le  3N  coordinate delle  N  particelle e le  3N  componenti 
delle loro quantità di moto.



Per esempio, se le particelle in gioco sono un miliardo, allora in un dato istante il sistema è descritto da 6.000.000.000 
di numeri. Questi numeri, purtroppo non li possiamo conoscere con esattezza, però li possiamo immaginare. 

Orbene, facendo un altro sforzo di fantasia, invece di immaginare un sistema di riferimento a tre dimensioni con 
dentro  N  particelle (per cui vengono definiti  6N  numeri che descrivono le particelle del sistema in un dato istante),  
proviamo ad immaginare un sistema di riferimento a  6N  dimensioni rispetto al quale tutto il nostro corpo formato  
da  N  particelle è descritto da un solo punto.

Questo sistema di riferimento si chiama spazio delle fasi del sistema macroscopico ed il punto che descrive
in un certo istante posizioni ed impulsi delle particelle del corpo si chiama stato microscopico o dinamico del
corpo.



(poiché uno spazio a più di tre dimensioni non è disegnabile, abbiamo rappresentato lo spazio delle
fasi simbolicamente con una ellisse)

L'idea di un sistema di riferimento a molte dimensioni  non deve stupire. Anche se siamo abituati a vivere  
in   3  dimensioni , lo spazio fisico della nostra esperienza quotidiana, possiamo immaginare spazi a più 
dimensioni. Tali spazi sono una conquista fondamentale del pensiero scientifico. Lo spazio-tempo 
quadridimensionale di Einstein ne è un esempio eclatante.

In un certo istante, quindi, lo stato microscopico del nostro sistema macroscopico è rappresentato da un 
punto dello spazio delle fasi a  6N  dimensioni. In un istante successivo le coordinate e gli impulsi di tutte
le particelle saranno cambiati perché le particelle che costituiscono il sistema macroscopico in esame si
muovono incessantemente.

Noi non percepiamo questi movimenti perché le particelle sono molto piccole, ma ogni particella si muove
continuamente interagendo con le altre. In un corpo solido questi movimenti avvengono in maniera molto 
limitata e sono per lo più delle vibrazioni. Nei corpi liquidi questi movimenti sono più ampi e nei corpi 
gassosi lo sono ancora di più, e le particelle sono quasi libere di muoversi in tutto lo spazio a loro
disposizione. Ai nostri occhi la materia appare, nella sua costituzione, immobile o quasi. In realtà tutto è 
in continuo, incessante movimento.

In un istante successivo, allora, il punto dello spazio delle fasi che caratterizza il nostro sistema macroscopico
si è spostato. E così via negli istanti successivi. Nel tempo che scorre, il punto dello spazio delle fasi del nostro
sistema macroscopico percorre una linea dalla forma estremamente complicata detta traiettoria di fase.



Entropia.

Un sistema macroscopico è descrivibile dalle variabili macroscopiche pressione, volume e temperatura. Lo
stesso sistema macroscopico è descrivibile da un punto in movimento nello spazio delle fasi. Siamo così in 
grado di descrivere completamente un corpo, sia a livello macroscopico che a livello microscopico.

A questo punto facciamo una semplificazione che ci faciliterà nelle prossime considerazioni : supponiamo 
che il nostro sistema macroscopico sia isolato ed in equilibrio termico. Per fare un esempio potremmo 
prendere un bicchiere d'acqua e metterlo in un contenitore isolante oppure potremmo considerare del gas  
dentro un recipiente ugualmente isolante.

Se il sistema è isolato ed in equilibrio il suo stato termodinamico (pressione, volume e temperatura) non cambia 
nel tempo. Il suo stato dinamico, rappresentato da un punto dello spazio delle fasi in movimento lungo la 
traiettoria di fase, invece, cambia continuamente, istante per istante.

A questo punto sorge spontanea una domanda : dato un certo stato termodinamico costante, quanti stati 
dinamici sono compatibili con quello stato termodinamico ? In altre parole, quanti punti diversi dello
spazio delle fasi percorre il punto che descrive lo stato microscopico del sistema ?

Si può subito notare che il "volume" di spazio delle fasi entro cui il punto può muoversi è limitato e ciò
dipende dalle dimensioni del contenitore del sistema macroscopico entro il quale esso è confinato e
dall'energia del sistema stesso che, essendo il sistema isolato, è costante nel tempo. 



Il numero degli stati dinamici corrispondenti ad un dato stato termodinamico indica il grado di disordine 
del sistema. Questo numero (anzi il suo logaritmo naturale moltiplicato per una costante universale, la
costante di Boltzmann) si chiama entropia del sistema.

Siamo così pervenuti ad una definizione oggettiva di ordine e disordine. Maggiore entropia significa
più disordine (ovvero più stati dinamici possibili), minore entropia significa più ordine (ovvero meno 
stati dinamici possibili).

Sorge a questo punto un problema apparentemente insuperabile. Secondo la meccanica classica i punti 
dello spazio delle fasi che il sistema può occupare sono infiniti e questo introduce un fattore di 
indeterminazione insuperabile. 

Ecco allora la grande idea di Boltzmann, assolutamente rivoluzionaria dal punto di vista della meccanica 
classica : immaginiamo di dividere lo spazio delle fasi in celle molto piccole supponendo che ognuna di 
queste celle rappresenti un solo stato dinamico.



Con questa suddivisione, il numero degli stati dinamici corrispondenti ad un dato stato termodinamico 
è un numero finito. Nell'esempio grafico, gli stati dinamici sono 14 (la traiettoria di fase del sistema 
è qui molto semplificata per ragioni di convenienza, ma esprime l'insieme degli stati dinamici che 
percorre il sistema).

Questa idea apre la strada a conseguenze rivoluzionarie che portarono dalla meccanica classica alla meccanica 
quantistica di cui Boltzmann fu in un certo modo l'antesignano.

Il problema ora è di sapere quanto vale il volume di una singola cella dello spazio delle fasi. Dal punto
di vista della meccanica classica una cella dovrebbe essere infinitesima, per cui ve ne dovrebbero essere
infinite. Questo ci riporta ad una inevitabile indeterminazione dell'entropia.

Per eliminare questo problema, ci viene in aiuto la meccanica quantistica, sviluppata alcuni decenni dopo
il lavoro di Boltzmann. Questa teoria afferma in definitiva che in natura non esistono grandezze infinitamente 
piccole. In particolare, una particella non può avere contemporaneamente posizione e quantità di moto
completamente determinate. Se una particella è contenuta in un piccolo spazio, la sua quantità di moto
non può essere definita con altrettanta precisione.

Tutto ciò va sotto il nome di "principio di indeterminazione di Heisenberg" (1927). La meccanica quantistica,
quindi, definisce un valore minimo, inviolabile, della dimensione (volume) di una cella dello spazio delle fasi
e questo volume vale  h  , la costante di Planck (circa 10 alla -30, un numero veramente piccolo !!!). La
meccanica quantistica, quindi, porta a compimento le intuizioni di Boltzmann.

Senza entrare in ulteriori dettagli, abbiamo quindi il valore del volume di una cella dello spazio delle fasi e
questo ci permette di calcolare senza indeterminatezze il valore esatto dell'entropia per un dato 
sistema macroscopico.

Proprietà dell'entropia.

Abbiamo così definito esattamente cosa si intende per ordine (e disordine) in fisica ed abbiamo creato
una nuova grandezza fisica, l'entropia, che ne esprime l'entità.

Vediamo allora alcune proprietà dell'entropia.

Consideriamo un corpo allo zero assoluto (circa -273 gradi centigradi). Dal punto di vista della meccanica 
classica, questo stato corrisponde alla quiete assoluta di tutte le particelle. Secondo la meccanica quantistica, 
invece, la quiete assoluta non esiste, ma vi è sempre un ineliminabile movimento, vibrazione, delle particelle. 
Un tale corpo, quindi, si trova ad avere tutte le particelle che lo compongono nei livelli di energia minimi. 

Allo stato macroscopico corrispondente allo zero assoluto vi è allora un solo stato dinamico, quello corrispondente
ai minimi livelli di energia possibili. L'entropia del corpo allo zero assoluto sarà allora la costante di Boltzmann 
moltiplicata per il logaritmo di uno, che vale zero. L'entropia allo zero assoluto è quindi nulla.

Questa affermazione va sotto il nome di "terzo principio della termodinamica". Dal punto di vista della meccanica
classica, essendo l'entropia indeterminata (dipende da quanto piccole si prendono le celle dello spazio delle fasi),
questa affermazione costituisce un principio indimostrabile. Dal punto di vista della meccanica quantistica, invece,
questa affermazione è una diretta conseguenza del principio di indeterminazione di Heisenberg.

Consideriamo ora un corpo isolato. Esso, al proprio interno, può avere una evoluzione dovuta alle interazioni
fra i suoi componenti. Possono anche avvenire reazioni chimiche tali da modificare le molecole che costituiscono
il corpo con scambi energetici anche molto complessi.

Se il corpo è isolato, la sua entropia non può diminuire nel tempo. Questa affermazione va sotto il nome di
"secondo principio della termodinamica". In altre parole, il disordine di un sistema isolato può solo crescere
(o rimanere, in certi casi, costante).

Questa affermazione ha una conseguenza di enorme importanza e ricca di profonde implicazioni filosofiche :

"l'universo, nel suo insieme, è un sistema isolato, ergo, la sua entropia aumenta".

Il disordine nell'universo è destinato ad aumentare per sempre !!!

Lasciamo alla meditazione del lettore di intuire l'importanza di questo principio e le sua implicazioni.

Fine. 

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ps. esiste anche un "primo principio della termodinamica" ? La risposta è sì ! Esso afferma che il calore 
      è una forma di energia come tante altre, per cui, come tale, soggiace al fondamentale principio di 
      conservazione dell'energia : nulla si crea e nulla si distrugge ma tutto si trasforma.