E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Muoversi nello spazio-tempo curvo

Secondo la teoria della relatività generale di Einstein le masse incurvano lo spazio-tempo.
Il campo gravitazionale creato dalle masse non è altro che lo spazio-tempo stesso.

Vediamo in questa pagina come un corpo di massa sufficientemente piccola (che per brevità chiameremo 

particella) si può muovere nello spazio-tempo. Prendiamo qui in considerazione un tale corpo di massa 
piccola perché esso non modifica percettibilmente il campo gravitazionale (e quindi lo spazio-tempo).
Corpi di massa non trascurabile, invece, interagiscono con le altre masse in modo da modificare il 
campo gravitazionale stesso. La descrizione del moto di tali corpi è estremamente complessa ed 
avviene tramite l'equazione gravitazionale di Einstein (che qui non prenderemo in considerazione).

Quindi, il caso in cui ci poniamo, è un caso particolare la cui soluzione è molto più semplice. Comunque,

anche se particolare, il moto di una particella in un campo gravitazionale (spazio-tempo curvo) è 
altamente istruttivo ed "affascinante".

Vedremo anche come si propaga la luce nello spazio-tempo curvo.


Per potere comprendere quanto qui riportato occorre conoscere i rudimenti del calcolo differenziale, 

del calcolo tensoriale, della meccanica e della teoria della relatività. Consigliamo per questo le 
seguenti letture preventive :

       
LaStrutturaMetricaDelloSpazioTempo.htm    

       
SpaziCurvi.htm   

       
SpaTemEinstein.htm

        PrincipioDiMinimaAzione.htm


01 - Spazio-tempo curvo.


Consideriamo una certa distribuzione di masse (anche in moto fra loro) che generano un campo 

gravitazionale. Il campo gravitazionale incurva lo spazio-tempo che geometricamente è
rappresentato da una varietà riemanniana quadridimensionale dotata delle coordinate 
curvilinee :

       
 

dove la coordinata    indica il tempo mentre le altre rappresentano le coordinate spaziali. Se
ci 
limitiamo ad una varietà bidimensionale nelle due coordinate curvilinee    possiamo avere 
una rappresentazione grafica immergendo la varietà nello spazio euclideo tridimensionale di 
coordinate  :


        

(abbiamo indicato con  S  tale varietà) (una varietà quadridimensionale è immergibile in uno spazio 
euclideo a  10  dimensioni).


Nella trattazione considereremo indifferentemente varietà spazio-temporali a  2  o a  4  dimensioni 

in quanto in  2  dimensioni è possibile tracciare un modello grafico ed in quanto le proprietà delle 
varietà riemanniane a qualunque dimensione sono in generale le stesse.

Sulla varietà possiamo tracciare le coordinate curvilinee ed ottenere così il grafico :

       

da cui appare evidente la corrispondenza biunivoca fra i punti della varietà ed i valori delle 
corrispondenti coordinate curvilinee.

Le proprietà metriche di un varietà sono definite dal tensore metrico  con il quale si determina 
la lunghezza dell'elemento di linea  tramite la formula :

       

dove (ritornando al caso quadridimensionale)  , è sottintesa la somma sugli indici 
ripetuti (convenzione di Einstein) e gli indici dei differenziali  dx  scritti in alto non indicano l'elevamento 
a potenza, ma semplicemente sono degli indici controvarianti (che si scrivono per convenzione in alto).

Il tensore  è un tensore doppio (ha due indici), covariante (gli indici sono scritti in basso), 
simmetrico () e costituisce, nel caso di una varietà a  4  dimensioni, un sistema di  16  
funzioni delle coordinate curvilinee :

        .

Nel caso di una varietà a  2  dimensioni il tensore metrico si riduce ovviamente a :

        .

02 - Moto di una particella materiale.

Consideriamo ora i due eventi (punti)  A  e  B  sulla varietà  S  di coordinate curvilinee    

e   :

       

Supponiamo che una particella materiale  M  (di massa molto piccola per i motivi già esposti sopra) 

si muova nello spazio-tempo dall'evento  A  all'evento  B . Ciò significa che al tempo    essa si 
trova nel punto  A  di coordinata spaziale    ed al tempo    si trova nel punto  B  di coordinata 
spaziale  .

Supponiamo che la particella non sia soggetta ad altre forze e che essa sia libera di muovesi all'interno

della varietà spazio-temporale in cui è immersa e che è incurvata dalla distribuzione delle masse che generano 
il campo gravitazionale, campo che essa (la particella) non può modificare, data la sua piccola massa.

La particella percorrerà una linea continua fra gli eventi  A  e  B  che si chiama linea d'universo 
(fra  A  e  B ).  Questa linea, non potendo la particella "uscire" dallo spazio-tempo in cui essa è 
immersa, sarà una linea continua completamente contenuta nella varietà che rappresenta lo 
spazio-tempo.

La linea che rappresenta il moto effettivo della particella da  A  a  B  sarà una delle possibili 
infinite linee continue che collegano sulla varietà i due punti  A  e  B  :

       

Quale, fra queste infinite linee, la particella "sceglierà" nel suo moto fra  A  e  B  ? La risposta a 
questa domanda la possiamo ottenere invocando un principio di natura assolutamente generale :

        il principio di minima azione (o principio di Hamilton).

Esso afferma, intuitivamente, che la natura sceglie sempre il cammino più "economico". La natura 
non ha "fantasia", per cui i moti dei corpi non sono dettati da regole "casuali" o "bizzarre". I moti dei 
corpi avvengono sempre in modo che la natura compia il minimo "sforzo".

Esiste allora una grandezza fisica, detta azione, che è sempre minima durante i moti effettivi dei corpi. 
Nel nostro caso ciò significa che l'azione fra  A  e  B  dovrebbe essere minima. Se conoscessimo la 
formula matematica dell'azione, potremmo trovare dove essa è minima e quindi ricavare direttamente 
la linea d'universo della particella durante il suo moto da  A  a  B lungo al quale l'azione risulta appunto 
minima.

Ricavare la formula matematica che esprime l'azione non è cosa semplice e spesso ci si deve rifare a
considerazioni di "opportunità" e ad altri principi. 

Nel nostro caso occorre subito tenere presente che vale il principio di relatività generale. Secondo
questo principio le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i sistemi di riferimento che 
si possono scegliere sulla varietà spazio-temporale.

Ciò significa che l'azione non deve cambiare al cambiare del sistema di riferimento ovvero delle 
coordinate curvilinee che si possono scegliere sulla varietà.

La grandezza più semplice che è un invariante per tali trasformazioni generali è l'elemento di linea  

. Esso non cambia al cambiare del sistema di riferimento. L'azione dovrà allora dipendere da  .

Anche la lunghezza di una linea d'universo che congiunge gli eventi  A  e  B  è invariante (è la 
stessa per ogni sistema di riferimento preso sulla varietà). Per questo motivo possiamo definire 

l'azione fra  A  e  B  come proporzionale alla lunghezza della linea di universo fra  A  e  B :

       

dove  S  indica l'azione, l'integrale indica la sommatoria di tutti i 
  (e quindi la lunghezza della 
linea) e  k  indica un coefficiente di proporzionalità ininfluente per la nostra discussione.

Definita l'azione, possiamo ricavare, utilizzando il principio di minima azione, la linea d'universo per 

cui l'azione stessa è minima. Essendo l'azione proporzionale alla lunghezza della linea da  A  a  B , 
il tutto si riduce al problema variazionale di definire la linea di minima distanza fra due punti, 

ovvero la geodetica fra due punti.

In realtà,  il valore di  k  potrebbe essere negativo e la lunghezza potrebbe essere massima (l'azione, 

in questo modo, sarebbe sempre minima). Per questo motivo ci si limita alla ricerca di una linea che 
presenti fra  A  e  B  un valore della lunghezza estremale relativo, ovvero che potrebbe essere 
localmentemassimo o minimo.

La formulazione matematica di questo problema variazionale è espresso da

        

dove con il simbolo    si indica la variazione di una grandezza rispetto al suo valore estremale e 

l'uguaglianza con zero sta ad indicare che la variazione della grandezza rispetto al suo valore 
estremale deve essere nulla. Si cerca cioè la linea la cui lunghezza non si discosta da quella che 
ha valore estremale.

La soluzione di questo problema all'interno della geometria degli spazi-curvi è piuttosto complessa

per cui ci limitiamo a darne il risultato.


L'equazione parametrica della linea d'universo fa  A  e  B  è in generale :

       

(dove   s  è il parametro "lunghezza della linea"). 


La linea di universo che rende minima l'azione è tale da soddisfare l'equazione differenziale del secondo 
ordine :

       

dove gli indici    prendono i valori  0 , 1 , 2 , 3  , sono sottintese le somme per gli indici ripetuti 
e le grandezze    sono i cosiddetti simboli di Christoffel che valgono :

       

(fare le somme sugli indici ripetuti).

L'equazione scritta sopra è l'equazione della geodetica fra i punti  A  e  B , essa fornisce l'equazione 

parametrica della suddetta.

Graficamente, in  2  dimensioni  :

       

Facciamo ora alcune importanti considerazioni :

        - 1 -    Che l'azione sia proporzionale alla lunghezza della linea fra  A  e  B  è verosimile proprio 
                   perché non ha molto "senso" che la particella, nel suo moto reale, compia un cammino  
                   (nello spazio-tempo) di lunghezza non minima (o non estremale).

        - 2 -    La particella è qui soggetta al solo campo gravitazionale creato da altre masse. Se non 
                   vi fosse alcun campo gravitazionale la particella dovrebbe, per il principio d'inerzia
                   muoversi di moto rettilineo uniforme (vedi  3  punto). Possiamo allora affermare che
                   il muoversi lungo una geodetica nello spazio-tempo rappresenta una estensione del
                   principio d'inerzia in presenza di campo gravitazionale. Possiamo anche affermare che 
                   con la teoria della relatività generale, il concetto di inerzia acquista un significato fisico
                   preciso : un corpo segue una geodetica dello spazio-tempo incurvato dalla presenza
                   delle altre masse. L'inerzia è quindi "l'azione che l'universo compie sui corpi".

        - 3 -    Calcoliamo la traiettoria della particella nel caso di assenza di campo gravitazionale, 
                   ovvero se lo spazio-tempo è piatto (o galileiano). Il tensore metrico è in questo caso :

                            .

                   Essendo le sue derivate nulle, i simboli di Christoffel sono tutti nulli per cui l'equazione
                   della geodetica si riduce a :

                           

                   che si risolve banalmente fornendo :

                           

                   dove le  a , a' , a''  e le  b , b' , b'' sono opportuni coefficienti. La linea trovata è quindi una 
                   retta che nel caso bidimensionale si riduce a :

                            .

                   Graficamente :

                           

                   (in questo caso il tensore non è propriamente galileiano, ma è anch'esso formato da termini 
                   costanti, quindi con derivata nulla).

Seguono alcuni esempi di geodetiche su alcune varietà bidimensionali :

        cilindro   cono   sfera   ellissoide   paraboloide   toro   pseudosfera   

(i grafici sono stati elaborati con il programma di calcolo numerico :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Geodeticz1/geodetica1.htm )

03 - Moto della luce.

La luce si muove in uno spazio-tempo incurvato dal campo gravitazionale non in modo rettilineo.

Solo se lo spazio-tempo è piatto (galileiano) la luce si muove in modo rettilineo. 


Per determinare la traiettoria di un raggio di luce nello spazio-tempo curvo occorre tenere presente 
che per un raggio di luce è sempre : 

         

(questo fatto è stato ampiamente mostrato nelle pagine suggerite all'inizio di questa).

La luce viaggerà allora in linee d'universo tali per cui :

        .

La deduzione matematica di una formula per la propagazione della luce nello spazio-tempo curvo 
è piuttosto complessa per cui ne tralasciamo la trattazione.

La deviazione della luce da parte di un campo gravitazionale fu uno dei primi fenomeni previsti dalla 

teoria della relatività generale verificati sperimentalmente subito dopo la pubblicazione della teoria 
tramite l'osservazione delle stelle apparentemente vicine alla corona solare durante le eclissi totali 
di sole.

Fine. 

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