E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Meccanica quantistica : ancora i vettori ...

In meccanica classica, in ogni istante, è possibile conoscere la posizione e la quantità di moto 
(massa per velocità) di ogni singolo punto materiale che costituisce un sistema di corpi.

In sintesi, la meccanica classica si basa sul presupposto che si può conoscere la traiettoria di tutti 
i punti materiali di un sistema. 

       

Nell'esempio grafico abbiamo disegnato la traiettoria di un punto materiale evidenziandone la 
posizione e la quantità di moto in due istanti diversi (la quantità di moto è un vettore perché 
è data dal prodotto della massa, che è uno scalare (un numero), per la velocità, che è un
vettore).

Abbiamo parlato di punti materiali (privi di dimensioni ma dotati di massa) e non di particelle 
perché in meccanica classica la concezione atomistica è sconosciuta ed è appunto nel tentativo 
di applicare le leggi della meccanica classica ad atomi e particelle che si perviene a risultati non 
corrispondenti alla realtà.

Per i fenomeni microscopici (indichiamo così i fenomeni relativi alle particelle che costituiscono la 
materia) occorre una nuova meccanica perché la meccanica classica non è  idonea a rappresentarli.

La meccanica che spiega i fenomeni a livello di particelle (livello microscopico) è la meccanica 
quantistica. Questa nuova meccanica nasce nei primi anni del '900 mentre la meccanica classica 
trae origine da Galileo, Newton ed altri fra cui i grandi Lagrange ed Hamilton e a metà dell' '800
può dirsi completata.

In questa pagina vogliamo esporre i principi fondamentali su cui questa "strana" meccanica si basa
cercando di spiegarne l'apparato matematico che ne rappresenta l' "anima". 

La meccanica quantistica non è comprensibile al di fuori dell'apparato matematico che la costituisce.
In questa teoria, fisica e matematica sono intimamente ed indissolubilmente legate proprio perché 
si tratta di una teoria non classica, che si distacca cioè completamente dal senso comune 
(essendo la meccanica classica la prima teoria fisica della storia, essa trae "origine" dal cosiddetto
"senso comune" o "buon senso" che costituisce il primo "strumento" di conoscenza che la mente
umana ha prodotto durante l'evoluzione interagendo con il mondo esterno).

In questa pagina si fa ripetutamente riferimento ai concetti esposti alle seguenti pagine di questa stessa 
sezione di "Miscellanea" :

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/LaDeltaDiDirac.htm

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/FunzioniComeVettori.htm

01 - La funzione d'onda.

In meccanica quantistica il concetto di traiettoria non vale : di una particella non è possibile conoscere
contemporaneamente posizione e quantità di moto.

Questo è in sintesi il contenuto del cosiddetto principio di indeterminazione di Heisenberg (1927).

Come è possibile allora costruire una meccanica su un tale principio dal contenuto così negativo ?

Ci viene allora in aiuto il concetto di probabilità. Di una particella possiamo conoscere in un certo
istante solo la probabilità che essa si trovi in un certo punto dello spazio.

Immaginiamo di dividere lo spazio tridimensionale in tanti piccoli cubetti (immaginari). Orbene, per 
ciascuno di questi cubetti è possibile definire la probabilità di trovarci dentro la particella durante il
suo moto in un certo istante definito.

Questo è ciò che la meccanica quantistica è in grado di fornirci : una descrizione probabilistica 
del mondo.

Dal punto di vista matematico, si introduce la funzione d'onda  Ψ  con la quale si descrive in termini
probabilistici un sistema di particelle.

Per semplificare la trattazione ci limitiamo a studiare un sistema formato da una sola particella vincolata
a muoversi lungo una retta. Studiamo cioè il moto unidimensionale tenendo presente che i concetti 
relativi a questo semplice caso si estendono direttamente ai casi generali (e reali) di più particelle che 
si muovono nello spazio fisico a 3 dimensioni.

       

La funzione d'onda del moto unidimensionale sarà solo funzione della variabile indipendente  x  , cioè 
sarà :

        .

La funzione d'onda è definita in modo tale che il quadrato del suo modulo è uguale alla probabilità 
di trovare la particella in un certo punto (in verità si tratta più esattamente della densità di probabilità
ma il concetto non cambia) al seguito di una misura della posizione della stessa. Scriveremo allora :

       

dove  p(x)  indica la probabilità di trovare la particella nel punto  x  ed il simbolo  |  |  indica il modulo.

Il perché si prende il quadrato del modulo sarà più chiaro in seguito. Per il  momento limitiamoci a 
notare che la funzione d'onda può avere valori complessi (sono i numeri del tipo  a +  i · b  dove  
a  e  b  sono "normali" numeri reali mentre  i  è l'unità immaginaria che vale la radice quadrata di  -1 ) 
per cui, prendendo il quadrato del modulo, qualunque valore la funzione d'onda abbia, il risultato è 
sicuramente un numero positivo o nullo, come è giusto che sia.

Esempio grafico :

       

qui la probabilità di trovare la particella in  x'  è  p' , in  x''  è  p'' , in  x'''  è  p''' . La probabilità 
massima si ha in  x'' .

La probabilità di trovare la particella in un qualunque punto della retta  x  sarà il  100% , cioè  1 . 
Si può affermare che la particella si trova con certezza ad un certo istante in un qualche punto 
della retta.

Dal punto di vista matematico, essendo  p(x)  in effetti la densità di probabilità, la certezza di trovare
la particella in un punto qualsiasi della retta si indica uguagliando l'area fra la curva (vedi il grafico
sopra) e l'asse delle  x  al valore  1 . Cioè, ricordando che detta area è l'integrale di  p(x) , si ha :

        .

Ogni funzione d'onda atta a descrivere un sistema fisico deve avere questa proprietà in quanto la 
probabilità di trovare la particella da qualche parte è esattamente uguale ad  1  . Si dice anche 
che le funzioni d'onda devono essere normalizzate.

       

Il fatto che la probabilità di trovare la particella in un punto qualunque della retta è  1 ed il perché della 
formula precedente, può essere spiegato con un esempio molto "popolare". La probabilità di indovinare 
un numero del lotto su una certa ruota è  1/90  perché i numeri disponibili sono  90 . Questo significa che 
se gioco il  12  sulla ruota di Roma ho la probabilità di  1/90  di indovinare. La probabilità che esca un 
numero qualsiasi (da  1  a  90 ) sarà invece la somma delle singole probabilità su tutti i  90  numeri , cioè  
(1/90) · 90 = 1 .

L'integrale di  p(x)  su tutta la retta  x  è in effetti la somma delle singole probabilità di trovare la particella 
nei singoli punti sommata su tutti i punti, cioè  1 .

Da quanto detto fin'ora possiamo affermare con sicurezza che le funzioni d'onda  Ψ  devono essere 
prese nell'insieme   delle funzioni a quadrato sommabile, le funzioni cioè il cui modulo quadro,
integrato su tutta la retta  x  (da meno infinito a più infinito) è un numero finito (nel nostro caso uguale 
ad  1 ).

02 - Grandezze fisiche e basi di  L² .

Le funzioni d'onda allora sono vettori dello spazio vettoriale  L²  e come tali godono di tutte le usuali,
interessanti ed utili proprietà dei vettori.

Fra queste soffermiamoci sulla possibilità di scomporre un vettore rispetto ad una base dello spazio
vettoriale a cui appartiene.

Le basi diverse che si possono scegliere per uno spazio vettoriale sono molteplici (infinite). Quali basi
potremmo prendere in considerazione per scomporre la funzione d'onda  Ψ  ?

I fisici, attorno agli anni '20 e '30,  hanno per questo escogitato un "marchingegno" a dir poco geniale. 

Ad ogni grandezza fisica osservabile (cioè misurabile, quali posizione, quantità di moto, momento 
angolare, energia ecc.) viene associato un particolare operatore

Un operatore è una funzione che "agisce" su un vettore ottenendo come risultato un altro 
vettore. Nel nostro caso, gli operatori corrispondenti alle grandezze osservabili agiscono sulle funzioni 
d'onda ottenendo come risultato un'altra funzione d'onda.

Per esempio, l'operatore corrispondente alla grandezza fisica "posizione della particella" è la 
moltiplicazione della funzione d'onda per  x  . Quindi :

        .

La "sintassi" relativa agli operatori è piuttosto chiara. Un operatore viene indicato con l'apposito 
simbolo  ^  sopra la lettera che lo rappresenta. Un operatore viene "applicato" ad una funzione
d'onda ed il risultato, in questi caso, è la moltiplicazione fra la variabile indipendente  x  e la
funzione d'onda stessa. Cioè una nuova funzione d'onda.

In che modo ad ogni osservabile (si può dire così, più sinteticamente) viene associato un operatore ?

Attraverso considerazioni matematiche (che qui non riporteremo) che hanno a che fare col fatto
di fondamentale importanza secondo il quale, quando ci si "accontenta" di precisioni inferiori, la 
meccanica quantistica tende alla meccanica classica. Questo è in sintesi il cosiddetto principio di
corrispondenza
. Questo principio ci permette di trovare la forma matematica degli operatori che
corrispondono agli osservabili. 

Consideriamo adesso un'altra grandezza fisica osservabile, per esempio l'energia. Il suo operatore
viene indicato di solito con il simbolo  , in onore del grande fisico ottocentesco Hamilton, uno dei
padri della meccanica classica, e viene chiamato hamiltoniano. La sua forma matematica è piuttosto
complessa (per il livello matematico di questa pagina) perché contiene le derivate parziali. Inoltre 
l'hamiltoniano dipende dal tipo di interazione presente fra le particelle.

Le considerazioni che seguono le faremo rispetto all'operatore hamiltoniano tenendo presente che,
in generale, esse valgono per ogni tipo di operatore.

L'hamiltoniano "contiene in sé" le informazioni circa una particolare base rispetto alla quale 
scomporre la funzione d'onda e contiene in sé anche tutti i possibili valori che l'energia del sistema,  
descritto appunto da quell'operatore, può avere.

Qui si ha un'altra grande differenza fra meccanica classica e meccanica quantistica : 

        in meccanica classica, una particella può avere qualunque valore di energia

        in meccanica quantistica, una particella può avere solo determinati valori di energia.

L'insieme dei valori dell'energia che una particella (in generale un sistema di particelle) può avere
si chiama spettro.

E' proprio questa discontinuità la caratteristica fondamentale della meccanica quantistica che prende
il nome proprio dai "quanti", pacchetti discreti (non continui) di energia.

Come si ricavano le informazioni circa la base e lo spettro dell'hamiltoniano ?

Dalla cosiddetta equazioni agli autovalori :

        .

Questa equazione è l'equazione fondamentale della meccanica quantistica ed è dovuta a Schrödinger 
(1926).

Risolvendo questa equazione (cosa assai ardua dal punto di vista matematico) si ottiene un insieme di 
valori dell'energia (lo spettro dell'hamiltoniano) che sono i valori dell'energia che la particella può avere 
e si ottiene un insieme di funzioni d'onda ciascuna corrispondente ad ogni valore dell'energia trovato.

I valori dell'energia trovati si chiamano autovalori dell'operatore mentre le funzioni d'onda corrispondenti
si chiamano autofunzioni (o atovettori o autostati) dell'operatore.

Per esempio, se gli autovalori sono    i corrispondenti autovettori sono  .

Ciò significa che all'autovalore    corrisponde l'autovettore    e così via.

Difficile ? Solo apparentemente ...

Facciamo un piccolo (grande) passo avanti. Si dimostra che gli autovettori che si trovano risolvendo 
l'equazione agli autovalori formano una base ortonormale dello spazio  L² (lo spazio delle funzioni 
d'onda).

Questo significa che una funzione d'onda  Ψ  che descrive la nostra particella può essere scomposta
(essendo un vettore) nelle sue componenti rispetto a questa base. Possiamo allora scrivere :

          (gli autovettori sono infiniti !)

dove   sono gli autovettori e  sono le componenti del vettore  Ψ  rispetto alla 
base degli autovettori. Le componenti    sono in generale dei numeri complessi.

Per calcolare ciascuna componente basta fare il prodotto interno fra l'autovettore in questione e
la funzione d'onda, cioè :

          con  i = 1, 2, ...

(come sappiamo direttamente dalla teoria dei vettori).

Essendo il prodotto interno fra due funzioni di  L²  definito dall'integrale su tutto  x  del prodotto fra 
esse, si avrà :

           con  i = 1, 2, ... .

Questa formula è della massima importanza e permette di trovare le componenti della funzione d'onda
rispetto agli autovettori di un operatore.

Che significato fisico hanno le componenti  ?

Il modulo quadrato di ciascuna componente rappresenta la probabilità di trovare il sistema 
(attraverso un processo di misura) nel valore dell'energia uguale all'autovalore corrispondente.

Cioè, per esempio,     è la probabilità di trovare il sistema (la particella) con il valore dell'energia 
pari a  .

Questa affermazione è della massima importanza !!! Essa va sotto il nome di principio di sovrapposizione
perché in sostanza afferma che una particella si trova contemporaneamente in più stati, ciascuno 
dotato di una sua probabilità, ed è solo attraverso un processo di misura che la particella viene a 
trovarsi in uno particolare di essi.

Questo proprietà che hanno le particelle di trovarsi nello stesso momento in più stati diversi è una 
caratteristica peculiare della meccanica quantistica che non è riscontrabile in meccanica classica e che 
è addirittura contraria alla logica comune !!! Ma è la natura che deve adattarsi alla nostra logica o 
piuttosto il contrario ?

Qui si ha allora un'altra grande differenza fra le due meccaniche.

Vediamo ora un esempio molto importante. Supponiamo che le componenti della  Ψ   della particella 
rispetto all'hamiltoniano siano  1, 0, 0 ... . Questo significa che se facciamo una misura di energia sulla 
particella abbiamo la probabilità  1  (cioè la certezza) di trovare il valore  e la probabilità  0  di trovare 
gli altri valori. In altre parole la particella si trova nell'autostato    (si ha perciò  Ψ   = ).

In generale possiamo affermare che se la particella si trova in un certo autostato dell'energia (la sua 
funzione d'onda è uguale a quell'autostato) allora essa, ad ogni misura, sarà sempre trovata dotata
del valore dell'energia corrispondente a quell'autostato.

Anche questa è una affermazione di fondamentale importanza.

03 - L'operatore posizione.

L'operatore posizione corrisponde alla grandezza fisica posizione che la particella occupa sulla retta
x  (rimaniamo sempre nel caso del moto unidimensionale). La grandezza fisica posizione, quando 
misurata, fornisce ovviamente la posizione della particella sull'asse  x .

Noi possiamo affermare subito che gli autovettori dell'operatore posizione sono le delta di Dirac 
perché gli autovettori di un operatore corrispondono sempre alle funzioni d'onda in cui si ha probabilità  
1  che una misura della grandezza fisica corrispondente dia appunto quel valore.

Infatti la funzione d'onda di una particella localizzata nel punto  x'  (quindi con probabilità  1 che una 
misura della posizione restituisca il valore  x' ) è la delta di Dirac centrata in  x' :

       

che può essere rappresentata graficamente da :

       

Se scomponiamo la funzione d'onda  Ψ   negli autovettori dell'operatore posizione otteniamo :

       

che, per la nota proprietà della delta di Dirac, fornisce :

        .

Essendo la probabilità di trovare la particella nel punto  x'  , si ottiene che questa probabilità é :

       

come doveva essere a causa della definizione stessa di funzione d'onda.

Da questo risultato si capisce il perché del fatto che è il quadrato del modulo della  Ψ  a definire la 
probabilità di trovare la particella in un certo punto così come è stato definito al punto  01 .

04 - Conclusione.

Da questa pagina risulta chiaro che la meccanica quantistica è una teoria matematica piuttosto 
astratta, per capire la quale occorre conoscere il calcolo differenziale ed integrale e la teoria dei vettori.

Senza queste conoscenze, purtroppo, non si può capire la meccanica quantistica né, di conseguenza, 
l'intima "essenza" delle cose, perché, come diceva Galileo, il linguaggio della natura è la matematica 
e per la meccanica quantistica questo è vero più che mai.

Fine. 

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