E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

La struttura metrica dello spazio-tempo 

In matematica, uno spazio metrico è un insieme per i cui elementi (punti) è possibile definire un 
modo di calcolare la distanza. Non importa il tipo di insieme e non importa il tipo di distanza
che vi si definisce. L'importante è che questa distanza soddisfi alcune semplici regole.

Le regole a cui deve soddisfare una distanza sono tratte dalle proprietà della geometria elementare.
Esse sono : 

- 1 -    la distanza fra due punti deve essere un numero positivo o nullo

- 2 -    la distanza fra due punti è nulla se e solo se i due punti coincidono

- 3 -    la distanza di un punto da un altro è uguale alla distanza fra il secondo punto ed il primo 
(simmetria)

- 4 -    la distanza fra il punto  A  ed il punto  B  è minore o uguale alla distanza fra  A ed un terzo
punto  C  più la distanza fra  C  e  B (disuguaglianza triangolare)

Ogni tipo di distanza deve soddisfare queste semplici proprietà.

Metrica euclidea.

Un tipo di spazio metrico che ci è molto familiare, perché ci viviamo immersi, è lo spazio tridimensionale
della nostra esperienza quotidiana. 

In un tale spazio scegliamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale a tre dimensioni  Oxyz  in modo
che i corpi in quiete rispetto ad esso rimangano tali ed i corpi in moto rettilineo uniforme (rispetto ad esso) 
continuino a muoversi indefinitamente nello stesso modo.

Tali sistemi si chiamano sistemi inerziali e le proprietà testé affermate costituiscono il cosiddetto principio 
d'inezia.

Rispetto ad un tale sistema di riferimento si possono definire le coordinate di un punto  P  mandando le proiezioni 
ortogonali  da quel punto agli assi coordinati. Le misure, dotate di segno, delle lunghezze dei segmenti così 
ottenuti sugli assi coordinati, prese rispetto all'origine  O , determinano  3  numeri che sono appunto le  3  
coordinate del punto  P :



Se le proiezioni cadono dalla parte opposta delle frecce, le coordinate si considerano negative.

In questo modo associamo ad ogni punto dello spazio una terna di numeri, le sue coordinate cartesiane. 
Scriveremo ciò nel semplice modo  :

        P(x , y , z) .

Se ora consideriamo un secondo punto  Q  si può calcolare la distanza fra  P  e  Q  . Il modo per farlo
è piuttosto semplice. Si mandano le proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani di entrambi i punti e si 
considerano i segmenti  che si ottengono come indicato nel grafico :



Chiamiamo  Δx ,  Δy , Δz  le lunghezze dei  3  segmenti così ottenuti sugli assi cartesiani. La distanza fra  P  e  Q
è ovviamente la lunghezza del segmento  PQ  e per calcolarla basta applicare il teorema di Pitagora. Il risultato
che si ottiene è :

        PQ ² = Δx ² + Δy ² + Δz ² .

La giustificazione di questa formula basilare è chiara se si considera un sistema di coordinate cartesiane a  2  
dimensioni :



Per trovare la lunghezza del segmento  PQ  basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo  PQH
ottenendo così :

        PQ ² = Δx ² + Δy ²  .

Come si vede bene, la formula della distanza in  3  dimensioni è una naturale estensione di quella a  2  dimensioni, 
basta aggiungere il termine  Δz ² .

Il modo di calcolare le distanze così introdotto soddisfa perfettamente (tralasciamo la dimostrazione) le condizioni
1 , 2 , 3 , 4  date in precedenza. 

Abbiamo così costruito matematicamente uno spazio metrico. Lo spazio metrico più importante, quello della nostra 
esperienza quotidiana, il cosiddetto spazio euclideo tridimensionale.

Si noti che, nella costruzione matematica di questo spazio metrico, abbiamo dato per buona la validità del teorema
di Pitagora. Se il teorema di Pitagora sia vero o falso, non riguarda la costruzione matematica che abbiamo fatto.
Se, invece di partire dal teorema di Pitagora, partissimo da altre considerazioni, costruiremmo uno spazio non
euclideo
, ma ugualmente matematicamente valido (purché siano soddisfatte le usuali quattro condizioni di validità).

La formula della distanza che abbiamo ricavato,  PQ ² = Δx ² + Δy ² + Δz ² , si chiama semplicemente metrica
dello spazio in esame e si indica in modo più generale dalla formula :

        Δl ² = Δx ² + Δy ² + Δz ² 

dove  Δl  (delta  elle)  rappresenta simbolicamente la distanza generica fra due punti generici.

Metrica di Minkowski (ovvero metrica dello spazio-tempo piatto).

Dotiamo ora il nostro sistema di riferimento tridimensionale di un orologio. In questo modo un punto  P
posizionato nello spazio è caratterizzato ad un certo istante da  4  numeri : le  3 coordinate spaziali  x , y , z  
e la "coordinata" temporale  t  che esprime quanto tempo è passato da un certo istante iniziale  0  di riferimento 
all'istante considerato.

Abbiamo così creato uno spazio quadridimensionale, lo spazio-tempo della realtà fisica (detto anche cronotopo), ed
ogni punto  P  di questo spazio è rappresentabile nel seguente modo :

        P(x , y , z , t) .

Un punto di questo spazio quadridimensionale si chiama evento. Un punto, inoltre, movendosi, ha le proprie
coordinate spaziali e la coordinata temporale che variano continuamente. Ciò può essere visto geometricamente
come se il punto formasse una linea continua, la cosiddetta linea d'universo, nello spazio quadridimensionale.

Siccome uno spazio a più di  3  dimensioni non è disegnabile, rappresenteremo il nostro spazio-tempo a  4 dimensioni 
in questo modo :



Domandiamoci ora se è possibile dotare lo spazio-tempo quadridimensionale di una struttura metrica, così come 
abbiamo fatto con lo spazio euclideo.

La risposta è affermativa e dobbiamo al genio di Minkowski il merito di questa scoperta. Einstein, nella stesura
della sua teoria della relatività, si rifece direttamente al lavoro di Minkowski.

Consideriamo due punti   P  e  Q  dello spazio tridimensionale. La loro distanza  Δl  è, come abbiamo già visto,  
nota. Immaginiamo che dal punto  P  parta un raggio di luce in un certo istante. La luce viaggia alla velocità  c  e 
raggiunge dopo un certo intervallo  Δt  di tempo il punto  Q :



Vediamo ora che relazione matematica c'è fra la distanza  Δl  fra i punti, il tempo  Δt  impiegato dalla luce a compiere
tale distanza e la velocità della luce  c .

La relazione è molto semplice : 

        c = Δl / Δt

ovvero la ben nota formula :  velocità = spazio / tempo .

Portando il tempo al numeratore ed elevando al quadrato ambo i membri (cosa lecita) si ottiene  Δl ² = c ² Δt ² .  
Spostando poi tutto dalla stessa parte dell'uguale si ottiene :

        Δl ² - c ² Δt ² = 0

Se ora sostituiamo a  Δl ²  il suo valore in funzione delle sue componenti spaziali ed invertiamo i segni si ottiene infine :

        c ² Δt ² - Δx ² - Δy ² - Δz ² = 0 .

Questa è la formula cercata che mette in relazione gli intervalli spaziali, l'intervallo temporale e la velocità della luce. 

Facciamo una sostituzione di comodo in modo che  :

        .

Otteniamo allora l'elegante formula :

       

L'espressione a sinistra dell'uguale assomiglia molto alla formula della metrica euclidea precedentemente vista
se non fosse per i segni meno. Diremo allora che :

       

dove  Δs  esprime genericamente la distanza fra i due eventiè una metrica pseudo-euclidea. La metrica 
di Minkowski dello spazio-tempo quadridimensionale.

La metrica di Minkowski permette di definire una distanza fra due eventi spazio-temporali in modo del tutto 
naturale. Facciamo un esempio : se l'evento  P  ha le coordinate  x = 10 , y = 3 , z = 2 , t = 1  e l'evento  Q  
ha le coordinate  x = 4 , y = 1 , z = 5 , t = 3  , allora la distanza fra  P  e  Q  (al quadrato)  è :

        Δs ² = c ² (1 - 3) ² - (10 - 4) ² - (3 - 1) ² - (2 - 5) ² = ecc. ecc.

La metrica di Minkowski ha la proprietà per cui la distanza fra due eventi è nulla se i due eventi sono "collegati"
da un raggio di luce. Ciò contraddice la seconda condizione nella definizione di metrica perché la distanza
fra due eventi collegati da un raggio di luce sono eventi diversi ma la loro distanza è nulla. Possiamo allora
rendere la seconda condizione meno restrittiva e porre che la distanza fra due eventi uguali è sicuramente
nulla, mentre non è necessario, perché la distanza sia nulla, che gli eventi siano coincidenti. Una tale metrica
meno restrittiva si chiama pseudometrica.

Abbiamo così costruito la metrica dello spazio-tempo e lo abbiamo fatto in modo semplice, elegante ed 
"esteticamente bello". Essere anche "belle" è il destino di tutte le idee geniali !!!

La metrica di Minkowski apre la strada ad innumerevoli considerazioni, come se si aprisse un sipario su uno
scenario del tutto nuovo, un nuovo modo di vedere e descrivere i fenomeni fisici e costituisce il fondamento 
matematico di base della teoria della relatività di Einstein.

Consideriamo ora la conseguenza principale di questa nuova visione matematica che la metrica di Minkowski 
ci fornisce.

Supponiamo che due eventi  P  e  Q  siano "visti" da due sistemi di riferimento diversi ed in moto rettilineo 
uniforme, l'uno rispetto all'altro. Chiamiamo questi sistemi di riferimento (dotati di propri orologi sincronizzati)  
K  e   K' . Sia   K  un sistema inerziale per cui, di conseguenza, lo è anche  K' .

Rispetto al sistema  K  la distanza fra i due eventi, come già sappiamo, è :

            

(ritornando per comodità alle coordinate  x , y, z, t ).

Come sarà la distanza fra i due eventi rispetto a  K'  ? Siccome i sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo 
uniforme (uno rispetto all'altro) sono fisicamente equivalenti (questa è una affermazione tratta dall'esperienza che 
va sotto il nome di principio di relatività) in  K'  la metrica sarà analoga a quella di  K  per cui :

       

dove  Δs'  indica la distanza fra i due eventi rispetto al sistema di riferimento  K' ,  Δx' , Δy' , Δz'  indicano le 
componenti della distanza spaziale sempre rispetto a   K'  e  c'   indica la velocità della luce  rispetto a  K' .

Si possono fare a questo punto ulteriori restrizioni. Siccome i sistemi di riferimento  K  e  K'  sono fisicamente
equivalenti, supponiamo che le distanze fra i due eventi così come sono viste dai due sistemi di riferimento siano
uguali, per cui :

        Δs' = Δs .

Ciò significa che la metrica non cambia, si conserva nel passaggio da  K  a  K' , ovvero è invariante rispetto 
al cambio di coordinate fra  K  e  K' .

Ciò è vero in particolare se i due eventi sono collegati da un raggio di luce, in quanto, in questo caso, le
distanze saranno entrambe nulle. 

Se poi supponiamo che la velocità della luce sia la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale (questa
affermazione va sotto il nome di principio di costanza della velocità della luce ed è alla base della teoria 
della relatività di Einstein) abbiamo :

        c' = c .

In questo modo si ottiene : 

       

A questo punto ci chiediamo : quali sono le trasformazioni matematiche che soddisfano la suddetta equazione, ovvero 
che conservano la metrica, ovvero, tali che la distanza fra due eventi è la stessa rispetto ai due sistemi di riferimento 
inerziali  K  e  K' ?

La soluzione a questo problema matematico fu trovata da Poincaré, Lorentz e Fitzgerald e le relazioni da loro 
trovate sono le cosiddette trasformazioni di Lorentz :

       

L'analisi di queste relazioni conduce a conseguenze estremamente importanti e rivoluzionarie rispetto alla   
fisica classica di Galileo e Newton ma, per ora, ci fermiamo qui, rimandando il lettore ai capitoli sulla teoria 
della relatività nella sezione di Fisica. 

Metrica di Riemann (ovvero metrica dello spazio-tempo curvo).

La metrica di Minkowski è basata sul fatto che lo spazio è euclideo, ovvero che vale il teorema di Pitagora.
Questa ipotesi può sembrare ovvia perché nella nostra esperienza quotidiana ciò è verificato con estrema 
precisione.

In linea di principio, però, potremmo immaginare che lo spazio non sia euclideo e che in esso il teorema di 
Pitagora non sia verificato. Si potrebbe pensare, per esempio, che per spazi "molto grandi" non valga la 
metrica euclidea, ma che valga solo per spazi "piccoli", come quelli della nostra esperienza quotidiana.
Possiamo pensare che la metrica euclidea sia solo una approssimazione locale di una metrica non euclidea
che valga su larga scala.

Un tale spazio dotato di metrica non euclidea si chiama spazio curvo e la sua metrica si chiama metrica
di Riemann
.

La possibilità che esistano fisicamente tali spazi curvi e le loro proprietà sono l'oggetto di studio della teoria 
della relatività generale (vedi apposito capitolo nella sezione di Fisica).

Fine. 

Pagina precedente