E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

La "delta di Dirac" : una funzione "strana" per una fisica "strana" ...

Alla base della meccanica quantistica, fra i vari oggetti e concetti che la compongono, molto spesso 
complicati od addirittura in contrasto con il "senso comune" ,  vi è una funzione a dir poco "strana" : 

        la delta di Dirac.

Si tratta di una funzione il cui nome è dedicato al grande fisico inglese P.A.M. Dirac, uno dei padri 
della meccanica quantistica, e che si abbrevia con la lettera greca  δ  ("delta").

In effetti, da un punto di vista rigorosamente matematico, la delta di Dirac non è una funzione vera e 
propria. Essa fa parte di un gruppo molto particolare di oggetti matematici : le cosiddette distribuzioni.

Ma, come si sa, i fisici sono persone "fantasiose" e spesso usano la matematica in un modo un po' 
"artistico", istintivo, per cui chiameremo qui funzione la nostra delta di Dirac , anche se in effetti non
lo è propriamente.

In questa pagina mostriamo le proprietà salienti della delta di Dirac e come essa sia così importante 
per la  meccanica quantistica.

Per comodità, ci limiteremo al semplice caso ad una sola dimensione, considerando il fatto che 
l'estensione a tre dimensioni (le dimensioni reali dello spazio fisico) è solo una logica conseguenza di 
ciò che vedremo in una dimensione. 

Per la comprensione di questa pagina è richiesto un "minimo" di conoscenza di calcolo differenziale per
quanto concerne il concetto di integrale definito. Altrove, in questo sito, sono esposti in maniera semplice
ed in forma divulgativa queste nozioni. Si rimanda il lettore non "esperto" ad una preventiva lettura di
queste pagine introduttive. Consigliamo :

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/IntroduzioneMatematica/Introduzione.htm

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/Funzioni.htm

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/Derivate.htm

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/Integrali.htm

01 - Definizione della delta di Dirac.

Prendiamo una funzione fatta così (su scala arbitraria) :

       

Si tratta di una funzione che è nulla a destra di   x' + a  e a sinistra di  x' - a (dove  a  è un numero 
positivo qualunque) mentre vale  1/2a  fra i suddetti valori.

Questa semplicissima funzione ha la proprietà di avere l'area  S  indicata in figura uguale all'unità.
Infatti  S = 2a * (1/2a) = 1 .

Immaginiamo ora di diminuire progressivamente il valore positivo  a  sempre mantenendo 1/2a  il 
valore della funzione dove essa non è nulla. Si ottiene allora :

       

(sempre su scala arbitraria).

Stringendo il supporto della funzione (ovvero l'intervallo su cui la funzione non è nulla), affinché 
l'area sia sempre uguale ad  1 , l'altezza del rettangolo che la funzione forma aumenterà di 
conseguenza sempre più.

Se immaginiamo di portare questo processo al limite (ovvero ponendo  a ==> 0 ) si otterranno
funzioni rappresentate da rettangoli sempre più stretti ed alti, ma sempre di area  1 .

Si può pensare di ottenere al limite un rettangolo infinitamente stretto ed infinitamente 
alto la cui area è uguale ad  1 !!! 

Possiamo rappresentare graficamente ciò nel seguente modo :

       

La "funzione" così ottenuta è la delta di Dirac centrata nel punto  x' . Essa si indica come :

        .

Si vede bene da come l'abbiamo definita che la delta di Dirac non è precisamente una funzione 
nel senso "tradizionale" del termine. Comunque la possiamo usare come fosse una funzione
con le dovute "avvertenze" e "precauzioni".

02 - Proprietà della delta di Dirac.

La principale proprietà della delta di Dirac deriva direttamente dalla sua definizione. Poiché l'area
coincide con l'integrale della funzione, scriveremo : 

        .

Un'altra fondamentale proprietà della delta di Dirac è un po' più "sofisticata". Supponiamo di 
moltiplicare la delta per una funzione qualunque  y = f(x) . Graficamente :

       

Quello che si ottiene è una funzione nulla a destra e a sinistra di  x'  ma che vale  f(x')  moltiplicato 
per l'infinito (essendo la delta infinita in  x' ). Si tratta di un risultato davvero "strano" !

Proviamo allora a fare l'integrale di questo prodotto. Siccome nell'intorno infinitesimo di  x'  la funzione
y = f(x)  può essere considerata costante, mentre altrove è nulla, si ottiene :

          .

Questa è una formula molto importante che analizzeremo meglio in seguito.

03 - Perché la delta di Dirac è importante in meccanica quantistica.

In meccanica quantistica non è dato di conoscere la traiettoria di una particella. Il concetto di 
traiettoria, cioè della contemporanea conoscenza di posizione e velocità (esattamente la quantità 
di moto, cioè massa per velocità), concetto che è alla base della meccanica classica, in meccanica 
quantistica non è definibile.

La descrizione del moto di una particella, in meccanica quantistica, è su base probabilistica :

        di una particella si può conoscere solo la probabilità che in un certo istante essa sia 
        (ovvero venga trovata tramite un processo di misura) in un certo punto dello spazio.    

Questa probabilità è data dalla funzione d'onda  Ψ  ("psi") della particella.

In verità le cose sono un po' più complicate. La funzione d'onda  Ψ  non dà direttamente la probabilità
di trovare la particella in un dato punto dello spazio, ma è il suo valore assoluto al quadrato che dà
la "densità" di questa probabilità. Comunque il concetto non cambia, e qui, per semplicità, possiamo 
accontentarci di considerare la  Ψ  coincidente con la probabilità.

Supponiamo, ancora per semplicità, che la nostra particella quantistica possa muoversi solo sulla retta 
x  . Graficamente :

       

La sua funzione d'onda sarà allora funzione della sola  x  e del tempo (che fissiamo per comodità 
ad un istante definito). Un esempio grafico di ciò potrebbe essere :

       

Da questo esempio  risulta che la probabilità di trovare la particella nel punto  x'  è  p' , nel punto  
x''  è  p''  e nel punto  x'''  è  p'''. Il punto in cui la probabilità è massima sarà  x''  ed il valore di
questa probabilità è  p'' . 

Supponiamo ora che la particella quantistica si trovi posizionata in un punto preciso della retta, per
esempio il punto  x'  . La probabilità di trovare la particella dovrà allora essere nulla al di fuori di 
quel punto e diversa da zero (non approfondiamo qui per semplicità quanto debba essere questo
valore, limitandoci ad affermare che questa probabilità deve essere non nulla) nel punto x'  stesso. 

La funzione d'onda di una tale particella "localizzata" esattamente sulla retta dovrà essere allora la 
delta di Dirac centrata in  x' !!! 

Sarà allora :

        .

Graficamente :

       

Abbiamo così mostrato l'importanza della delta di Dirac in meccanica quantistica. Essa rappresenta 
la funzione d'onda di una particella localizzata in un punto preciso dello spazio. 

Fine. 

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