E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

La cosmologia della sfera

Grazie alla teoria della relatività generale (RG) di Einstein (1916) è possibile descrivere la struttura e 
l'evoluzione dell'universo su grande scala, considerato nel suo insieme.

In effetti, già la teoria della gravitazione universale di Newton proponeva un modello cosmologico
molto semplice ed efficace, il primo modello cosmologico su basi scientifiche dell'umanità, che però 
porta a paradossi ineliminabili. Secondo il modello newtoniano il tempo è infinito e lo spazio è infinito 
ed è riempito uniformemente di stelle e pianeti. Con questi presupposti, per esempio, il cielo di notte 
dovrebbe essere luminoso (la luce dovrebbe provenire da ogni parte dell'universo da sempre e quindi 
essere infinita). Per gli stessi motivi, il campo gravitazionale in un punto dovrebbe essere infinito.
Naturalmente tutto ciò non si verifica per cui la cosmologia newtoniana va corretta radicalmente.

La RG fornisce queste correzioni e con essa è possibile fare considerazioni sulla geometria dell'universo  
perché questa teoria è in effetti una teoria geometrica. Essa afferma in sostanza che la geometria dello  
spazio è prodotta dalla distribuzione delle masse. Lo spazio, ed anche il tempo, non sono entità astratte  
esistenti a priori, come nella teoria newtoniana, ma sono prodotti dai corpi.

Il principale risultato della RG è che lo spazio è "incurvato" dalle masse. Quando diciamo che lo spazio 
è curvo, intendiamo affermare che esso non segue più le regole della geometria euclidea.

La geometria euclidea è la geometria che abbiamo tutti imparato a scuola e che corrisponde con enorme
precisione allo spazio della nostra esperienza quotidiana. Su scala locale lo spazio è infatti euclideo e lo è 
anche nel nostro sistema solare (con l'eccezione del pianeta mercurio la cui orbita è disturbata da un apprezzabile  
incurvamento dello spazio prodotto dalla grande massa del sole a cui il pianeta è molto vicino).

Della geometria euclidea riportiamo qui solo alcune importanti affermazioni :

    - per un punto non giacente su di una retta data passa una ed una sola retta parallela ad essa 

    - in un triangolo rettangolo vale il teorema di Pitagora, cioè la somma dei quadrati costruiti sui cateti
      eguaglia il quadrato costruito sull'ipotenusa

    - la somma degli angoli di un triangolo qualunque è un angolo piatto (180 °)

Se lo spazio non segue la geometria euclidea, diremo allora che è uno spazio curvo. Se lo spazio segue,
invece, la geometria euclidea, diremo che è uno spazio piatto.

Per osservare incurvamenti apprezzabili dello spazio occorre considerare oggetti particolari, quali i nuclei 
delle galassie e le stelle collassate. Per oggetti di tale tipo, la densità di materia è così alta da incurvare lo 
spazio in modo addirittura tale da catturare la luce e non farla più uscire (buchi neri).

La geometria dell'universo nel suo insieme è ancora oggetto di discussione ed i modelli esistenti presentano
caratteristiche anche molto diverse fra loro.

Mostriamo ora come è possibile creare dei modelli di universo su larga scala partendo da semplici 
presupposti ed utilizzando la geometria della sfera.

Omogeneità ed isotropia.

L'astronomia è una scienza condizionata rigidamente dalla scelta del sistema di riferimento da cui osservare 
il cielo : le osservazioni astronomiche sono vincolate al nostro pianeta. Al più, tramite sonde artificiali, ci siamo
spinti appena alla periferia del sistema solare che, in termini delle grandezze astronomiche, è veramente
poca cosa. Anche quando i nostri discendenti andranno ad esplorare i sistemi stellari vicini sarà sempre 
nulla in confronto alle dimensioni dell'universo.

Anche se e quando arrivassimo ad esplorare i confini della nostra galassia (la Via Lattea) avremo solo
esplorato una delle innumerevoli galassie distanti fra loro spazi enormi.

Queste premesse potrebbero sembrare talmente negative da inibire ogni fiducia nell'astronomia. Per 
fortuna non è così. La nostra intelligenza può trasformare la terra, anche se così piccola e sperduta 
nella vastità del cosmo, in un ottimo sistema di riferimento. Da essa è possibile "vedere" i confini stessi 
dell'universo attraverso gli "occhi" artificiali che gli astronomi dai tempi di Galileo hanno inventato per 
questo scopo.

Se poi l'atmosfera, con le sue impurità e le sue turbolenze (per ultimo oggi abbiamo creato anche il fenomeno
del cosiddetto inquinamento luminoso che rappresenta un problema enorme per la scelta dei siti su cui
installare i potenti telescopi che la moderna tecnologia è sempre più in grado di produrre), diventasse 
definitivamente, a causa delle attività umane, un ostacolo insormontabile al miglioramento delle osservazioni, 
potremmo sempre, come giù stiamo facendo da pochi anni, costruire osservatori astronomici su satelliti artificiali 
o addirittura sulla luna.

La terra, o le sue vicinanze, è allora un ottimo sistema di riferimento astronomico e da essa riusciamo ad
osservare oggetti distanti milioni e milioni di anni luce.

Orbene, tutte le osservazioni ci mostrano che l'universo è "grosso modo" lo stesso osservando in tutte le
direzioni. Diciamo "grosso modo" perché, in effetti, vi sono delle diversità nella composizione dell'universo
ma queste diversità sono solo locali. In grande scala, mediamente, l'universo appare lo stesso guardando in 
tutte le direzioni. Questo significa che, rispetto a noi, l'universo è isotropo.

L'universo appare anche riempito in ogni sua parte della stessa densità di galassie e stelle. Ciò significa
che l'universo è omogeneo.

Sorge allora una domanda fondamentale : siamo noi su un sistema di riferimento (la terra) privilegiato
rispetto al quale l'universo è isotropo ed omogeneo ? Siamo al centro dell'universo ? In altre parole, se 
ci spostassimo di milioni di anni luce da noi, vedremmo ancora da quel nuovo sistema di riferimento che 
l'universo è isotropo ed omogeneo ?

Purtroppo a questa domanda sarà sempre impossibile dare una risposta sperimentale !!! A meno 
di riuscire a viaggiare a velocità superiori alla velocità della luce, l'uomo è destinato a potere visitare 
solo mondi vicini al nostro.

Possiamo allora fare alcune considerazioni di tipo teorico e l'affermazione più importante che
possiamo fare è che è estremamente improbabile che la terra sia situata in una posizione privilegiata
dell'universo, ovvero noi non siamo al centro dell'universo. 

Secondo questa affermazione, quindi, non esistono sistemi di riferimento privilegiati e da ognuno  
di questi, ovunque nell'universo, verificheremmo sempre una totale isotropia ed omogeneità (in 
grande scala). 

Ogni punto dell'universo è il centro di esso !!!

Dopo queste considerazioni, ora appare ragionevole porre alla base delle nostre teorie astronomiche  
il fatto che l'universo è isotropo ed omogeneo in ogni suo punto.

Questa convinzione deriva da osservazioni fatte in questi ultimi secoli della nostra storia. Questo
tempo, però, è nulla in confronto dei tempi cosmici. Possiamo allora chiederci : il principio di isotropia 
ed omogeneità è stato valido anche in passato ? Lo sarà anche in futuro?

La risposta, ovviamente, non è ricavabile dalle osservazioni. Possiamo, però, anche qui affermare
che non vi è alcuna ragione per pensare che l' "oggi" sia un periodo di tempo privilegiato rispetto
al passato od al futuro. Possiamo allora affermare che l'universo è stato sempre isotropo ed
omogeneo e lo sarà sempre.

Questa affermazione può apparire molto azzardata ma, forse con la sola eccezione dei primi istanti 
dell'universo in cui vi devono essere state delle asimmetrie che hanno prodotto per esempio le attuali 
disparità nella proporzione materia-antimateria, può essere ritenuta valida.

Vi sono poi le asimmetrie locali tramite le quali le galassie, per esempio, hanno forme circolari
ruotanti, oppure le asimmetrie che fanno sì che si formino le stelle con i loro sistemi planetari, ma
su larga scala queste asimmetrie appaiono come piccole irregolarità in un "tessuto" uniforme.

Recentemente sono state osservate anche disomogeneità nella radiazione fossile di fondo, ma 
anche in questo caso isotropia ed omogeneità continuano a valere in media.  

Geometria.

Siccome la distribuzione delle masse, come afferma la RG, determina la curvatura dello spazio, la sua 
struttura e le sue proprietà, vediamo ora le implicazioni geometriche del principio di isotropia ed omogeneità.

Partiamo dal presupposto che se la distribuzione della materia è isotropa ed omogenea in ogni punto, lo sarà
anche lo spazio che la contiene e che da essa è incurvato.

Lo spazio è una entità a tre dimensioni. Lo spazio contiene punti, linee e superficie. Un punto si considera
avente dimensione zero. Una linea ha una dimensione ed una superficie ha due dimensioni.

Immaginiamo ora che tutto lo spazio che compone l'universo abbia due sole dimensioni. Supponiamo quindi
che tutto lo spazio sia rappresentabile da una superficie. 

Supponiamo che questa superficie sia abitata da esseri puntiformi che sono destinati a vivere immersi in essa.
Essi possono solo muoversi sulla superficie e possono fare misurazioni di lunghezza e di curvatura sulla superficie 
medesima. Essi non possono per nessun motivo uscire dalla superficie. Essi verificheranno che nel loro mondo
bidimensionale, in generale, non vale la geometria euclidea, che vale solo se la superficie fosse un piano.

Questa superficie, noi umani che viviamo in uno spazio a tre dimensioni, invece, la possiamo vedere come immersa 
nella spazio a tre dimensioni. Orbene, quale superficie ha la proprietà di essere isotropa ed omogenea in ogni suo 
punto ? 

La risposta, per noi umani, è semplice : la superficie di una sfera. Per gli esseri puntiformi tale superficie è una  
superficie che presenta in ogni punto la stessa curvatura indipendentemente dalla direzione che essi vorranno 
percorrere (su di essa). Essi la chiameranno sicuramente con un altro nome ma essa sarà del tutto analoga a 
ciò che noi chiamiamo superficie sferica. 



Ora tralasciamo gli esseri puntiformi che vivono sulla sfera e consideriamo noi umani. Noi viviamo 
immersi in uno spazio a tre dimensioni e non possiamo concepire altre dimensioni. Noi umani 
però conosciamo la matematica e con essa possiamo immaginare che il nostro spazio tridimensionale 
può essere immerso in uno spazio (fittizio, ma matematicamente valido) a quattro dimensioni.

L'affermazione "matematicamente valido", senza entrare nei dettagli, significa essenzialmente che
le proprietà che valgono per gli spazi a due e tre dimensioni, e che noi conosciamo benissimo,
possono essere estese a spazi a dimensioni maggiori di tre.

Allora, proviamo ad immaginare (matematicamente) che tutto lo spazio dell'universo a tre dimensioni 
sia immerso in uno spazio a quattro dimensioni. Purtroppo non possiamo aiutarci con il disegno, 
dobbiamo solo fare uno sforzo di immaginazione.

Applichiamo a questo spazio tridimensionale il principio di isotropia ed omogeneità che, ricordiamo,
si deduce dalle considerazioni provenienti dalle osservazioni astronomiche e dalle considerazioni
riguardo al fatto che la terra non è un sistema di osservazione privilegiato, ma uguale a tutti gli altri 
nell'universo.

Ebbene, tutto lo spazio dell'universo può essere rappresentato da una "ipersfera" a tre dimensioni
immersa in uno spazio a quattro dimensioni.

Una ipersfera a tre dimensioni è "uno spazio" (in matematica si dice, più propriamente, "una varietà") 
a tre dimensioni a curvatura costante del tutto analoga alla ben nota superficie sferica a due dimensioni. 

Le proprietà geometriche di questa "strana" ipersfera sono le stesse della superficie sferica. 

Se le proprietà geometriche (la curvatura, essenzialmente) sono le stesse, possiamo allora descrivere la 
geometria dell'intero universo usando un modello bidimensionale, la superficie della sfera, invece di usare 
la più complessa e non rappresentabile graficamente ipersfera. 

Naturalmente questa semplificazione ci può dare solamente una descrizione qualitativa e semplicistica della 
struttura dell'universo perché in un tale modello bidimensionale non si può fare nessuna affermazione circa 
le masse contenute dello spazio a tre dimensione che poi sono la causa della curvatura dello spazio. Comunque 
il modello bidimensionale può risultare assai utile per farci un'idea di come le cose vanno nella realtà.

Infine è essenziale ribadire che la geometria della superficie sferica non è euclidea (così come per l'ipersfera).
Per gli esseri puntiformi che vivono sulla superficie sferica non vale, per esempio, il teorema che la somma
degli angoli di un triangolo è 180° !!! Addirittura sulla superficie sferica vi sono triangoli con tre angoli retti !!!



La geometria non euclidea della superficie sferica diventa euclidea se il raggio della sfera diventa infinito.
In questo caso la superficie della sfera diventa un piano su cui vale, come è noto, la geometria euclidea.

Espansione - contrazione.

Tutto l'universo allora lo rappresentiamo con una superficie sferica in un certo istante. In un istante 
successivo l'universo sarà ancora, per ipotesi, isotropo ed omogeneo per cui sarà rappresentato ancora 
da una superficie sferica. E così anche nel passato. 

Queste sfere corrispondenti a momenti diversi come sono ? Sono sempre la stessa sfera di raggio costante
o sono cambiate corrispondendo ad una sfera che si espande o si comprime (ovvero di raggio variabile) ?

Negli anni '20 Hubble (un osservatorio orbitante porta oggi il suo nome e sta facendo, grazie all'assenza
dei disturbi prodotti dall'atmosfera terrestre, scoperte importantissime) scoprì che le galassie presentano 
nel loro spettro uno spostamento verso il rosso (red shift) tanto maggiore quanto più le galassie sono 
lontane da noi (e quindi indietro nel tempo).

Questo effetto, se interpretato come effetto Doppler, significa che le galassie si stanno allontanando 
rispetto a noi con velocità crescente in ragione della distanza da noi (maggiore distanza, maggiore
velocità).

L'effetto Doppler è quell'effetto per cui la frequenza dei segnali provenienti da sorgenti in moto, risulta
diminuita se la sorgente si allontana, oppure aumentata se la sorgente si avvicina. Questo fenomeno è
riscontrabile per tutti i fenomeni ondulatori, compresi quelli acustici (il fischio del treno che si avvicina risulta
più alto, mentre risulta più basso se si allontana).

Queste osservazioni sono la prova evidente dell'espansione dell'universo. L'universo si espande ed in
un remoto passato (circa 14 miliardi di anni fa) tutta la materia probabilmente era concentrata in un volume
molto piccolo da cui poi è iniziata l'espansione. Questa è la ormai universalmente accettata teoria 
del big bang. Questa teoria è stata ulteriormente suffragata dalla scoperta della radiazione fossile
di fondo che è, per così dire, ciò che rimane dell'immenso "flash" da cui ha avuto origine l'universo.

Se la teoria del big bang è vera, allora il raggio della superficie sferica che rappresenta l'universo varia 
col tempo passando da un raggio inferiore nel passato, ad un raggio superiore nel futuro a meno che
l'espansione non si fermi ed inizi una successiva contrazione.

I destini futuri dell'universo non sono ancora chiari. Mentre fino ad oggi l'universo si è probabilmente
espanso, in un lontano futuro esso potrebbe continuare ad espandersi o potrebbe, invece, contrarsi
fino ad una situazione simile al big bang iniziale (il cosiddetto big crunch) e poi, chissà, ricominciare ad 
espandersi.

Queste diverse possibilità sono ancora in fase di discussione anche se, anche alla luce delle ultime
scoperte secondo le quali l'espansione dell'universo addirittura accelererebbe, il destino ultimo
dell'universo potrà essere una "morte" fredda e buia.

In ogni modo, a parte le varie possibilità di evoluzione, l'universo sembra proprio non essere stazionario 
e la soluzione delle equazioni di Einstein della RG concordano con ciò anche teoricamente.

La cosmologia della sfera.

Possiamo allora riassumere i vari modelli evolutivi dell'universo utilizzando il modello della superficie
sferica bidimensionale. Vediamo le varie possibilità di evoluzione.

    - espansione (è riportata la sfera ai tempi  t1, t2, t3, t4 ) :



    - espansione - contrazione : 



Le velocità con cui nella realtà avvengono le espansioni e le contrazioni dipendono da considerazioni 
riguardanti la materia presente nell'universo. Se la massa totale supera un certo valore critico,
l'universo dovrebbe contrarsi dopo l'espansione. Altrimenti dovrebbe espandersi per sempre.

La velocità di espansione dipende anche da altre considerazioni che esulano dallo scopo di questo
trattato.

Entriamo ora maggiormente nei dettagli considerando tre punti della sfera e come essi si allontanano
l'uno dall'altro durante l'evoluzione temporale dell'universo.

Consideriamo i punti  A, B, C  così come indicati nel grafico e scegliamo il punto A come punto
di riferimento rispetto al quale considerare il moto degli altri due.

 

Nell'espansione o nella contrazione della sfera le distanze fra questi tre punti variano (crescono
durante l'espansione, calano durante la contrazione).



L'avere scelto il punto  A  come punto di riferimento da cui misurare le distanze è del tutto convenzionale.
A causa dell'isotropia e omogeneità dello spazio, infatti, l'espansione (o contrazione) della sfera risulta
la stessa se vista da qualunque punto della sfera. Un abitante puntiforme posto in qualunque punto della
superficie sferica osserverebbe la stessa evoluzione. Non esistono quindi punti privilegiati della superficie 
della sfera, tutti i suoi punti hanno le stesse proprietà. 

Si noti anche il fatto molto importante che se la distanza  AB  uguaglia la distanza  BC  in un dato istante,
i punti corrispondenti negli istanti successivi sono tali che le distanze hanno gli stessi rapporti, per cui, 
nell'esempio, le nuove lunghezze di  AB  e  BC  risulteranno ancora uguali.

Vediamo ora alcuni casi possibili su un grafico in cui riportiamo solo l'asse dei tempi in ascissa  (t)  ed
in ordinata le distanze dei punti  A, B, C   (l) . 

In tutti questi casi considereremo un "tempo universale" la cui origine coincide con il big bang, ovvero
con la situazione in cui la sfera è un punto di raggio nullo. Il raggio della sfera, chiamato anche raggio 
di curvatura dello spazio, varierà con il tempo secondo certe leggi orarie che riassumeremo in casi distinti.

     - espansione decelerata :



In questa espansione, le velocità dei punti  B  e  C  rispetto al punto  A  decrescono al crescere del tempo
senza però raggiungere valori nulli all'infinito, ma tendendo a velocità limite positive. 


     - espansione decelerata con velocità asintotica nulla :



In questa espansione, le velocità dei punti  B  e  C  rispetto al punto  A  decrescono al crescere del tempo
raggiungendo però valori nulli all'infinito. 

     - espansione-contrazione :



In questa evoluzione, prima vi è una espansione, poi inizia una contrazione fino ad un certo istante in cui
la sfera si riduce ad un punto (big crunch).

     - espansione accelerata :



In questa espansione, le velocità dei punti  B  e  C  rispetto al punto  A  aumentano.

Conclusione.

Osservando i grafici si nota subito che, durante l'espansione della sfera,  le velocità dei punti  B  e  C   
rispetto ad  A  sono in ogni istante tali per cui la velocità di  C  (il punto più lontano da  A ) è maggiore
della velocità di  B . Durante la contrazione, invece , avviene il contrario.

Ciò lo si può affermare considerando che la velocità in un punto è la pendenza della curva in quel punto.

Possiamo in più notare che se in un dato istante il raggio della sfera vale  R  , la lunghezza dell'arco
AB  è  2 π R / 8 = π R / 4  (essendo il punto B  a metà dell'arco  AC ). Se all'istante successivo la sfera 
si è espansa ed il suo raggio vale  R + r , la lunghezza dell'arco  AB  sarà di conseguenza  π (R + r) / 4 .

L'incremento della lunghezza dell'arco  AB , a causa dell'espansione, sarà ovviamente  π r / 4 . Se l'espansione 
è avvenuta nel tempo  t  , la velocità del punto  B  rispetto ad  A  sarà  spazio / tempo = (π / 4)(r / t) .

Facendo l'analogo ragionamento per il punto  C  si ottiene che la sua velocità è   (π / 2)(r / t) . 

Si nota subito che la velocità di  C  è maggiore della velocità di  B  (rispetto ad  A ) come abbiamo 
affermato sopra. Si nota anche che il rapporto fra la velocità di  C  e la velocità di  B  è uguale a  2 .

Siccome la distanza di  C  da  A  è il doppio della distanza di  B  da  A  si deduce la legge fondamentale
della cosmologia nel caso di un universo omogeneo ed isotropo :

     le velocità dei punti, dovute alla espansione (o contrazione) dello spazio,  rispetto ad un punto qualunque 
     sono proporzionali alle distanze dei medesimi da quel punto. E questa proporzionalità non dipende
     da come lo spazio si espande o si contrae.

Questa affermazione è valida per la superficie sferica bidimensionale ma è anche valida per la ipersfera 
tridimensionale che descrive l'universo reale in toto.

Possiamo allora, dopo tante considerazioni su cosa accade ad una sfera che si espande, tornare "a riveder le
stelle". Osservando il cielo verifichiamo che le galassie si allontanano da noi con velocità crescente in modo
proporzionale alle distanze rispetto a noi.

Questa fu la grande scoperta di Hubble che la teoria sostiene appieno. 

Ma come possiamo accorgerci che le galassie si allontanano da noi ? Attraverso l'effetto Doppler di cui abbiamo
parlato sopra. La luce che proviene da galassie che si allontanano da noi con velocità crescente in dipendenza
diretta dalla distanza da noi, ci perviene maggiormente spostata verso il rosso.

A questo punto rimane solo di dedurre la relazione esatta fra entità dell'effetto Doppler e distanza della sorgente
luminosa da noi. Questo problema è complicato da due fattori : il fatto che la luce che ci perviene è partita nel
passato ed il fatto che in uno spazio curvo in espansione la luce non percorre esattamente una retta.

Senza entrare nei particolari, accenniamo alla soluzione nel grafico seguente.



Al tempo attuale, indicato nel grafico con "adesso", perviene la luce emessa dal punto  A  nell'istante  T1 quando
distava   L1  da noi, quella emessa da  B  al tempo  T2  quando distava  L2 e quella emessa da  C  al tempo  T3
quando distava  L3 .

Il punto  A , al momento  T1 , aveva una velocità maggiore di quella del punto  B  al tempo  T2  e maggiore di 
quella del punto  C  al tempo  T3 . Gli effetti Doppler delle tre sorgenti misurati da noi avranno allora entità ben
definite ed in relazione con le velocità delle sorgenti.

Nella realtà noi non conosciamo le distanze dei corpi celesti molto lontani da noi. La misurazione delle distanze 
cosmiche è un problema estremamente complesso. Noi, però, dopo avere scelto un modello cosmologico, 
potremmo servirci proprio di esso per determinare queste distanze in quanto le deviazioni per effetto Doppler
degli spettri delle sorgenti luminose sono l'unico dato certo sperimentale di cui siamo in possesso.

Dato un certo red-shift di una sorgente, utilizzando il grafico precedente, possiamo determinare quando e a che
distanza essa si trova nel momento dell'emissione della luce che perviene a noi. Basta seguire la linea chiamata
"luce" a ritroso fino ad incontrare una curva del fascio di curve in un punto di pendenza (velocità) corrispondente
al red-shift rilevato.

Se invece conoscessimo esattamente le distanze  L1 , L2  ed  L3 potremmo a questo punto verificare la validità 
del modello cosmologico, ovvero di come si espande la sfera che rappresenta l'universo !!!

E' incredibile cosa si può dedurre ragionando su una semplice sfera ... 

Fine. 

Pagina precedente