Miscellanea
Il differenziale
Il differenziale è uno "strumento" del calcolo differenziale (da cui esso prende il nome) che estende
ed "anima" il concetto di derivata.
In questa pagina vogliamo descrivere alcune delle più importanti proprietà del differenziale soprattutto
dal punto di vista geometrico ma non solo.
Con lo scopo di descrivere dette proprietà nel modo più semplice possibile, abbiamo semplificato
di molto il formalismo rendendolo il più possibile "intuitivo" oltre all'avere rinunciato alla rigorosità
delle condizioni relative alla continuità, derivabilità ecc.
Per esigenze di semplicità (dove non esplicitamente indicato) ometteremo anche la specificazione dei
domini delle funzioni in gioco assumendo che essi vengono scelti opportunamente.
La presentazione del concetto di differenziale qui riportata, tiene conto della sua "evoluzione storica".
Vi è una prima definizione "intuitiva" ed una più moderna definizione rigorosa. Purtroppo spesso ci
si limita solo alla prima rinunciando così di fatto alla comprensione dei "sottili" e "profondi" significati
che la definizione rigorosa di differenziale contiene. Questa pagina è un tentativo di presentare il
concetto di differenziale in un modo completo anche se espresso in modo molto "semplice".
01 - Il differenziale di funzioni
(definizione intuitiva).
Consideriamo la derivata
. Il suo significato geometrico è il seguente :
Dal grafico risulta chiaro che per
i punti 
e 
vengono a coincidere per cui si può
affermare che :
cioè :
ovvero :
.
Si può perciò affermare che la derivata di una funzione in un punto ci permette di approssimare
l'incremento della funzione in corrispondenza di un incremento della variabile indipendente a
partire da quel punto.
Questo fatto è di estrema importanza ed è alla base del calcolo differenziale.
Osservando il grafico precedente possiamo affermare anche che la formula
linearizza la funzione
a
partire dal punto 
. Si approssima quindi la funzione con una retta :
e l'approssimazione è tanto migliore quanto più ci si avvicina al punto
.
Storicamente, per indicare che la formula
è tanto più "vera" quanto più 
è
vicino a 0 , entrò in uso la scrittura :
dove i simboli
e 
indicano quantità "infinitesime" dette rispettivamente differenziale
della variabile indipendente
e differenziale
della variabile dipendente
.
Il simbolo
rappresenta quindi il
differenziale
della funzione
nel punto
ed è dato
dalla formula
.
Abbiamo qui una prima definizione "storica" di differenziale dal valore "intuitivo". Questa
definizione non è completamente soddisfacente perché il termine "infinitesimo" non è definibile esattamente,
ma solo, appunto, intuitivamente. Il calcolo infinitesimale, basato sul concetto di infinitesimo, venne
successivamente precisato e rifondato su concetti rigorosi secondo i dettami della nascente matematica
moderna basata sulla teoria degli insiemi. Anche il nome "calcolo infinitesimale" fu abbandonato,
preferendo il più moderno "calcolo differenziale".
La definizione esatta di differenziale è la seguente.
02 - Il differenziale come operatore lineare (definizione rigorosa).
Consideriamo ancora la funzione
. Definiamo l'operatore (funzione) lineare 
tale per cui :
dove
e 
sono
numeri reali e 
è la derivata di
calcolata nel punto
.
L'operatore lineare così definito si chiama differenziale della funzione
in
e si indica con il
simbolo
.
I valori del differenziale
si indicano con
:
dove
è un qualunque numero reale.
Un altro modo molto proficuo di indicare il differenziale è, ricordando che un operatore lineare da
ad è
rappresentabile da una matrice 
, il seguente :
dove
e
indicano due vettori di
(vettori ad una sola componente), la matrice :
è detta matrice jacobiana della funzione
in
ed il simbolo 
indica il prodotto fra la matrice
ed il
vettore
inteso come matrice vettore colonna contenente il valore
(cioè 
)
.
La rappresentazione matriciale del differenziale in termini di matrice jacobiana è una delle grandi
"conquiste" della matematica.
Possiamo allora scrivere :
oppure :
dove
è la matrice jacobiana della funzione
.
Consideriamo ora la funzione
. Il suo differenziale è ovviamente :
essendo in questo caso
.
Possiamo allora scrivere l'operatore differenziale
nella
forma:
che si riconduce alla definizione "storica" di differenziale (
) ma mantenendo il
proprio
significato operatoriale (infatti qui
è un operatore, non una "vaga" grandezza infinitesima).
I valori del differenziale sono di conseguenza :
come è giusto che sia.
Estendiamo ora il concetto di differenziale visto precedentemente a funzioni a più variabili iniziando
da quelle da
ad
.
03 - Il differenziale di funzioni
.
Sia
e sia 
un
punto (vettore) di
. Il differenziale di
nel punto
è (in
analogia con la precedente definizione) l'operatore lineare 
indicato dal simbolo
ed i cui valori sono dati da :
dove
è
un punto di
e le derivate parziali 
, 
sono
calcolate nel punto
.
Partendo dalla funzione
, dove
, si
definisce l'operatore 
(analogamente
al caso del paragrafo precedente). Si ottiene perciò :
.
Analogamente, partendo dalla funzione
, si ottiene :
(in entrambi i casi
è
un punto di
).
Possiamo allora definire l'operatore
nel seguente modo :
(questa è anche la definizione "storica" di differenziale se le quantità
e 
vengono
interpretate
come "infinitesime").
I valori del differenziale
sono infatti :
come deve essere.
In forma matriciale (essendo
) abbiamo
:
per cui la matrice jacobiana è in questo caso :
.
La funzione
in
questo caso rappresenta una superficie ed il differenziale è
utilizzabile,
come nel caso delle funzioni
, per
approssimare i valori della
funzione. Graficamente :
(il punto
sta sulla superficie
mentre il punto
sta sul piano tangente).
In questo caso si ottiene una linearizzazione con il piano tangente della funzione
che rappresenta
una superficie.
L'affermazione è dimostrata considerando il grafico ottenuto intersecando la superficie con i due piani
indicati in figura :
Si ha evidentemente :
(
e 
sono due vettori così come indicati sul grafico).
Da queste formule deriva direttamente :
da cui si ottiene :
ovvero :
come doveva essere.
04 - Il differenziale di funzioni
.
Tali funzioni da
a
rappresentano
la classe più ampia di funzioni rappresentabili graficamente.
Per dimensioni maggiori dello spazio dominio e/o codominio, non è più possibile una rappresentazione
grafica (la mente umana può "visualizzare" solo fino a 3 dimensioni !). Questo non toglie (vedi prossimo
paragrafo) che matematicamente si possano trattare dimensioni maggiori, ma, per motivi "didattici", ci
soffermeremo particolarmente sulle funzioni da
a
.
Consideriamo allora la funzione
e sia
un
punto (vettore) di
.
Una tale funzione vettoriale
mette in relazione vettori
con vettori 
per cui è rappresentabile dallo schema :
.
Il differenziale di
nel punto
è (in
analogia con la precedenti definizioni) l'operatore lineare
indicato dal simbolo ed i cui valori sono dati da
(in rappresentazione matriciale) :
dove
è
un vettore qualunque di
.
La matrice jacobiana di
è quindi :
La rappresentazione matriciale è nel caso di funzioni fra spazi a più dimensioni molto adatta per cui
d'ora in poi ne faremo un uso privilegiato.
Dal punto di vista "infinitesimale" possiamo scrivere :
(abbiamo sostituito alle
le 
).
a cui corrisponde il grafico :
05 - Il differenziale di funzioni
.
La matrice jacobiana di una tale funzione è evidentemente :
.
Valgono qui tutte le considerazioni fatte nel precedente paragrafo.
06 - Il differenziale e le curve di
.
Consideriamo ora una importante proprietà del differenziale relativa alle curve di
.
Sia data la curva regolare
di
di equazione parametrica :
dove
è un
parametro reale definito su un certo intervallo (abbiamo usato la stessa lettera
per indicare
la curva e la sua parametrizzazione per comodità perché questo non genera ambiguità) (le tre funzioni
siano
derivabili e continue in ogni ordine).
La curva è regolare per cui il vettore tangente alla curva è :
(il punto indica la derivata rispetto al parametro
) ed è diverso da 0 in ogni punto della curva.
Graficamente :
Consideriamo ora la funzione
. Tramite essa si ottiene la curva 
definita come :
(il simbolo
indica la funzione composta) la cui equazione risulta essere :
.
Graficamente :
Calcoliamo ora il vettore tangente a
corrispondente a
, ovvero il vettore
. Otteniamo :
dove
è la matrice jacobiana di
.
Abbiamo ottenuto così l'importante risultato :
ovvero il vettore tangente a
è
uguale al valore del differenziale di
calcolato per il vettore tangente
ad
.
Questa proprietà è molto importante in geometria differenziale.
07 - Differenziale e duale.
Sia
uno spazio
(vettoriale) normato reale. L'insieme delle funzioni lineari continue
da
ad
si chiama duale di
e si indica con 
. Ogni funzione 
lineare continua
si chiama funzionale lineare continuo. Anche
è
uno spazio normato e, se la dimensione di
è 
,
allora anche la dimensione di
è .
Detto questo, consideriamo lo spazio
ed i suoi funzionali (lineari continui) 
, ovvero
gli elementi del duale di
, cioè di 
.
Gli operatori
, definiti come 
dove 
è un
generico vettore di
, sono funzionali
su , cioè
sono elementi di
.
Gli operatori
sono
e sono linearmente indipendenti, quindi essi costituiscono una
base di
.
Un generico funzionale di
è quindi dato da :
dove
sono numeri reali qualsiasi.
Questo fatto è di grande importanza in analisi.
Il fatto che
siano linearmente indipendenti lo si vede notando che :
per ogni
se e
solo se 
.
08 - Il differenziale come operatore su spazi normati.
Il concetto di differenziale può essere esteso a spazi normati qualunque. Il concetto di differenziale,
inizialmente definito per lo spazio euclideo
, viene così generalizzato a spazi normati costituiti da
elementi di qualsiasi tipo. Questo fatto è di grande importanza perché permette di applicare le proprietà
del differenziale anche a spazi non prettamente "geometrici".
Presentiamo qui una semplice introduzione alla problematica.
Siano
e 
due spazi
normati su
o 
. Sia 
un aperto di
e sia 
.
Sia
un punto di
. Si dice che
è differenziabile secondo Frechet in
se
esiste un operatore
lineare continuo dipendente da
, 
da
a
, tale che :
dove
indica la norma di
in
.
La definizione è giustificata intuitivamente tenendo presente che, per le funzioni
,
vale
per cui :
.
Se
la
definizione di differenziale di Frechet coincide con la definizione di
differenziale
dato nei paragrafi precedenti.
Con il differenziale di Frechet si costruisce il calcolo differenziale negli spazi normati.
Fine.
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