E-school  di  Arrigo Amadori

Miscellanea

Il differenziale

Il differenziale è uno "strumento" del calcolo differenziale (da cui esso prende il nome) che estende 
ed "anima" il concetto di derivata.

In questa pagina vogliamo descrivere alcune delle più importanti proprietà del differenziale soprattutto 

dal punto di vista geometrico ma non solo.

Con lo scopo di descrivere dette proprietà nel modo più semplice possibile, abbiamo semplificato 

di molto il formalismo rendendolo il più possibile "intuitivo" oltre all'avere rinunciato alla rigorosità 
delle condizioni relative alla continuità, derivabilità ecc.

Per esigenze di semplicità (dove non esplicitamente indicato) ometteremo anche la specificazione dei 

domini delle funzioni in gioco assumendo che essi vengono scelti opportunamente.

La presentazione del concetto di differenziale qui riportata, tiene conto della sua "evoluzione storica".
Vi è una prima definizione "intuitiva" ed una più moderna definizione rigorosa. Purtroppo spesso ci

si limita solo alla prima rinunciando così di fatto alla comprensione dei "sottili" e "profondi" significati

che la definizione rigorosa di differenziale contiene. Questa pagina è un tentativo di presentare il

concetto di differenziale in un modo completo anche se espresso in modo molto "semplice". 


01 - Il differenziale di funzioni  (definizione intuitiva).

Consideriamo la derivata    . Il suo significato geometrico è il seguente :

       

Dal grafico risulta chiaro che per    i punti  e vengono a coincidere per cui si può 
affermare che :

       

cioè :

       

ovvero :

        .

Si può perciò affermare che la derivata di una funzione in un punto ci permette di approssimare 
l'incremento della funzione in corrispondenza di un incremento della variabile indipendente a 
partire da quel punto.

Questo fatto è di estrema importanza ed è alla base del calcolo differenziale.

Osservando il grafico precedente possiamo affermare anche che la formula 
  
linearizza la funzione  a partire dal punto . Si approssima quindi la funzione con una retta :

       

e l'approssimazione è tanto migliore quanto più ci si avvicina al punto  .

Storicamente, per indicare che la formula  
  è  tanto più "vera" quanto più    è 
vicino a  0 , entrò in uso la scrittura :

       

dove i simboli    e    indicano quantità "infinitesime" dette rispettivamente differenziale 

della variabile indipendente   differenziale della variabile dipendente 

Il simbolo  rappresenta quindi il differenziale della funzione  nel punto    ed è dato 
dalla formula  .  

Abbiamo qui una prima definizione "storica" di differenziale dal valore "intuitivo". Questa 
definizione non è completamente soddisfacente perché il termine "infinitesimo" non è definibile esattamente, 
ma solo, appunto, intuitivamente. Il calcolo infinitesimale, basato sul concetto di infinitesimo, venne 
successivamente precisato e rifondato su concetti rigorosi secondo i dettami della nascente matematica 

moderna basata sulla teoria degli insiemi. Anche il nome "calcolo infinitesimale" fu abbandonato, 
preferendo il più moderno "calcolo differenziale".

La definizione esatta di differenziale è la seguente. 

02 - Il differenziale come operatore lineare
(definizione rigorosa).

Consideriamo ancora la funzione 
. Definiamo l'operatore (funzione) lineare  
tale per cui :

         

dove    e    sono numeri reali e    è la derivata di 
  calcolata nel punto  .

L'operatore lineare così definito si chiama differenziale della funzione 
  in  e si indica con il 
simbolo  .

I valori del differenziale 
  si indicano con :

         

dove 
  è un qualunque numero reale.

Un altro modo molto proficuo di indicare il differenziale è, ricordando che un operatore lineare da  

  ad    è rappresentabile da una matrice  , il seguente :

       

dove 
  e    indicano due vettori di  (vettori ad una sola componente), la matrice : 

       

è detta matrice jacobiana della funzione  
  in  ed il simbolo  indica il prodotto fra la matrice  
  ed il vettore    inteso come matrice vettore colonna contenente il valore (cioè  ) .

La rappresentazione matriciale del differenziale in termini di matrice jacobiana è una delle grandi 
"conquiste" della matematica.

Possiamo allora scrivere : 

         

oppure :


         


dove    è la matrice jacobiana della funzione  .

Consideriamo ora la funzione  . Il suo differenziale è ovviamente :


       

essendo in questo caso  .  

Possiamo allora scrivere l'operatore differenziale 
nella forma:

       

che si riconduce alla definizione "storica" di differenziale (
) ma mantenendo il proprio 
significato operatoriale (infatti qui    è un operatore, non una "vaga" grandezza infinitesima).

I valori del differenziale sono di conseguenza :

         

come è giusto che sia.

Estendiamo ora il concetto di differenziale visto precedentemente a funzioni a più variabili iniziando 
da quelle da    ad 


03 - Il differenziale di funzioni  . 

Sia  e sia    un punto (vettore) di  . Il differenziale di     nel punto 
  è (in analogia con la precedente definizione) l'operatore lineare  indicato dal simbolo  
 ed i cui valori sono dati da :

         

dove 
  è un punto di  e le derivate parziali  ,   sono calcolate nel punto  .

Partendo dalla funzione  , dove  , si definisce l'operatore  (analogamente 
al caso del paragrafo precedente). Si ottiene perciò :

       
.

Analogamente, partendo dalla funzione  , si ottiene :


       
 

(in entrambi i casi 
  è un punto di  ).


Possiamo allora definire l'operatore
  nel seguente modo :

         


(questa è anche la definizione "storica" di differenziale se le quantità    e    vengono interpretate 

come "infinitesime")
.

I valori del differenziale    sono infatti :  

         

come deve essere.

In forma matriciale (essendo
) abbiamo :

       

per cui la matrice jacobiana è in questo caso :  

        .

La funzione  in questo caso rappresenta una superficie ed il differenziale è utilizzabile, 

come nel caso delle funzioni  , per approssimare i valori della funzione. Graficamente :

       

(il punto  
sta sulla superficie mentre il punto sta sul piano tangente).

In questo caso si ottiene una linearizzazione con il piano tangente della funzione 
  che rappresenta 
una superficie.

L'affermazione è dimostrata considerando il grafico ottenuto intersecando la superficie con i due piani 

indicati in figura :

       


Si ha evidentemente :


        

       

       

(   e    sono due vettori così come indicati sul grafico).

Da queste formule deriva direttamente :

          

da cui si ottiene :

        

ovvero :


       

come doveva essere.


04 - Il differenziale di funzioni  .

Tali funzioni  da 
  rappresentano la classe più ampia di funzioni rappresentabili graficamente
Per dimensioni maggiori dello spazio dominio e/o codominio, non è più possibile una rappresentazione 
grafica (la mente umana può "visualizzare" solo fino a  3  dimensioni !). Questo non toglie (vedi prossimo
paragrafo) che matematicamente si possano trattare dimensioni maggiori, ma, per motivi "didattici", ci

soffermeremo particolarmente sulle funzioni
da    .

Consideriamo allora la funzione 
e sia    un punto (vettore) di 

Una tale funzione vettoriale  mette in relazione vettori
  con vettori   
per cui è rappresentabile dallo schema :

        .

Il differenziale di     nel punto è (in analogia con la precedenti definizioni) l'operatore lineare  
indicato dal simbolo   ed i cui valori sono dati da (in rappresentazione matriciale) :

       

dove    è un vettore qualunque di 
.

La matrice jacobiana di 
   è quindi :

       

La rappresentazione matriciale è nel caso di funzioni fra spazi a più dimensioni molto adatta per cui 
d'ora in poi ne faremo un uso privilegiato.

Dal punto di vista "infinitesimale" possiamo scrivere :

       

(abbiamo sostituito alle 
  le  ).

a cui corrisponde il grafico :

       

05 - Il differenziale di funzioni .

La matrice jacobiana di una tale funzione è evidentemente :

        .

Valgono qui tutte le considerazioni fatte nel precedente paragrafo. 

06 - Il differenziale e le curve di 
.

Consideriamo ora una importante proprietà del differenziale relativa alle curve di 
.

Sia data la curva regolare di 
  di equazione parametrica  :

       

dove    è un parametro reale definito su un certo intervallo (abbiamo usato la stessa lettera per indicare 
la curva e la sua parametrizzazione per comodità perché questo non genera ambiguità) (le tre funzioni  
  siano derivabili e continue in ogni ordine).

La curva è regolare per cui il vettore tangente alla curva è :

       

(il punto indica la derivata rispetto al parametro  ) ed è diverso da  0  in ogni punto della curva.

Graficamente :

       

Consideriamo ora la funzione 
. Tramite essa si ottiene la curva    definita come :

         

(il simbolo    indica la funzione composta) la cui equazione risulta essere :

        .

Graficamente :

       

Calcoliamo ora il vettore tangente a 
corrispondente a  , ovvero il vettore  . Otteniamo :

       

dove 
è la matrice jacobiana di  .

Abbiamo ottenuto così l'importante risultato :

       

ovvero il vettore tangente a 
è uguale al valore del differenziale di  calcolato per il vettore tangente 
ad  .  

Questa proprietà è molto importante in geometria differenziale.

07 - Differenziale e duale.

Sia    uno spazio (vettoriale) normato reale. L'insieme delle funzioni lineari continue da  

 ad 
  si chiama duale di    e si indica con  . Ogni funzione    lineare continua 
si chiama funzionale lineare continuo. Anche    è uno spazio normato e, se la dimensione di  
  è   , allora anche la dimensione di    è  .

Detto questo, consideriamo lo spazio  ed i suoi funzionali (lineari continui)  , ovvero 
gli elementi del duale di    , cioè di  .

Gli operatori    , definiti come    dove  è un generico vettore di  
, sono funzionali su  , cioè sono elementi di  .

Gli operatori    sono 
  e sono linearmente indipendenti, quindi essi costituiscono una 
base di  .

Un generico funzionale di 
  è quindi dato da :

       


dove    sono numeri reali qualsiasi.

Questo fatto è di grande importanza in analisi.

Il fatto che 
  siano linearmente indipendenti lo si vede notando che :

       

per ogni  se e solo se  .

08 - Il differenziale come operatore su spazi normati.

Il concetto di differenziale può essere esteso a spazi normati qualunque. Il concetto di differenziale, 

inizialmente definito per lo spazio euclideo  , viene così generalizzato a spazi normati costituiti da 
elementi di qualsiasi tipo. Questo fatto è di grande importanza perché permette di applicare le proprietà
del differenziale anche a spazi non prettamente "geometrici".

Presentiamo qui una semplice introduzione alla problematica.


Siano    e    due spazi normati su    o  . Sia    un aperto di    e sia  . Sia 
  un punto di  . Si dice che    è differenziabile secondo Frechet in    se esiste un operatore 
lineare continuo dipendente da  ,  da    a   , tale che :

          

dove    indica la norma di 
  in  .

La definizione è giustificata intuitivamente tenendo presente che, per le funzioni 
, vale  
  per cui :

         .

Se    la definizione di differenziale di Frechet coincide con la definizione di differenziale 

dato nei paragrafi precedenti.

Con il differenziale di Frechet si costruisce il calcolo differenziale negli spazi normati.

Fine. 

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