Miscellanea
Geometria differenziale ed ... economia (1' parte)
La "potenza" della matematica consiste nel fatto che è in grado di estrarre regole, proprietà, concetti, da insiemi
di un certo tipo, astrarne le caratteristiche descrivendole in opportune teorie matematiche e poi, se è il caso,
applicarle ad insiemi di altro tipo, anche completamente diversi dagli insiemi di partenza.
In questa pagina mostreremo come certi concetti della geometria differenziale, estratti studiando le curve e le
superficie dello spazio euclideo reale ad n dimensioni
,
possono essere applicati direttamente ad un
modello economico molto semplice ma molto "istruttivo".
01 - Modello economico di massimizzazione dell'utilità.
Consideriamo due individui che posseggono certe quantità di due tipi di merci diverse. Chiamiamo i due
individui con 1 e 2 ed i due tipi di merci con A e B .
Quindi, riassumendo, l'individuo 1 possiede, in un certo istante del tempo, una certa quantità di merce A
ed una certa quantità di merce B . Analogamente, in quello stesso istante, l'individuo 2 possiede una certa
quantità di merce A ed una certa quantità di merce B .
Definiamo le variabili :
= quantità della merce A posseduta dall'individuo 1 ,
= quantità della merce B posseduta dall'individuo 1 ,
= quantità della merce A posseduta dall'individuo 2 ,
= quantità della merce B posseduta dall'individuo 2 .
Tali grandezze sono sempre non negative.
I valori delle suddette quantità ad un certo istante iniziale di tempo
siano :
.
Ovviamente, supponendo che le merci non vengano mai fisicamente distrutte o trasformate (per comodità
matematica, considereremo però le merci frazionabili), avremo le seguenti leggi di conservazione :
.
dove
indica la quantità totale della merce A e 
indica la quantità totale della merce B presenti nel
sistema. Ovviamente queste quantità totali, nel nostro modello, sono invarianti nel tempo.
Inoltre, dobbiamo imporre che un individuo scambi una merce in cambio di un'altra per cui, per esempio, se
l'individuo 1 cede una certa quantità della merce A all'individuo 2 , contemporaneamente riceverà una certa
quantità di merce B dal medesimo.
Per imporre questa condizione introduciamo il prezzo :
che deve essere positivo, per cui imporremo in tutte le considerazioni che seguiranno la condizione :
.
Il modello economico qui descritto può essere rappresentato matematicamente da un punto dello spazio
euclideo reale quadridimensionale
. Tale punto è :
.
Al variare del tempo, i due individui scambiano le merci in modo che le equazioni di conservazione vengano
sempre soddisfatte assieme alla clausola
.
Consideriamo una sola transazione dal tempo
al tempo 
.
Fra questi due istanti, il sistema subisce la trasformazione :
dove con i doppi segni indichiamo il punto finale.
Il punto finale
dovrà soddisfare ovviamente la legge di conservazione per cui avremo :
.
Tutte le trasformazioni sono matematicamente possibili, basta solo che la legge di conservazione sia soddisfatta
assieme alla condizione di positività del prezzo.
Quale sarà, però, la trasformazione più conveniente per i due individui ? Il sistema tenderà ad evolvere in modo
che sia massimo il vantaggio economico per i due individui. Naturalmente, nella realtà, giocano molti altri fattori,
ma qui ricerchiamo la massima semplificazione possibile.
Per quantificare tale vantaggio, introduciamo le funzioni di utilità.
Siano le funzioni continue non negative
definite in modo che ciascuna di esse
rappresenti l'utilità di una singola merce per un singolo individuo. Diciamo cioè che :
è la funzione di utilità della merce A per l'individuo 1
è la funzione di utilità della merce B per l'individuo 1
è la funzione di utilità della merce A per l'individuo 2
è la funzione di utilità della merce B per l'individuo 2 .
La forma di tali funzioni è assegnata a priori (anche questa è una semplificazione forzata !). Potremmo al più
genericamente imporre un comportamento crescente, con pendenza decrescente, tendente ad un asintoto
orizzontale. Graficamente, per
:
Definiamo la funzione di utilità totale del sistema come la somma :
che è ovviamente una funzione da
ad 
(con le
dovute condizioni di non negatività delle variabili indipendenti).
Il fatto che l'utilità di una singola merce per un singolo individuo sia definita così semplicisticamente è dovuto a
considerazioni di comodo che, per il nostro semplice modello, risultano ovviamente assai vantaggiose. La stessa
cosa vale per la definizione di l'utilità totale. Tali funzioni possono essere altresì definite in molti altri modi che qui
non prenderemo in considerazione.
Cerchiamo ora quale punto
è tale per cui la funzione di utilità totale del sistema è massima.
Cerchiamo cioè la transazione (unica) che, partendo dal punto iniziale
,
conduce al punto finale
, punto che, lo ribadiamo, massimizza l'utilità totale del sistema.
Ovviamente, nella realtà, tale massimizzazione non è mai raggiunta perché molteplici sono le cause che determinano
l'evoluzione di un sistema economico.
Per cercare tale punto di massimo utilizzeremo due metodi di calcolo equivalenti.
Questo modello è infine in grado di calcolare il prezzo delle merci nel caso di massima utilità del sistema. Questo
può essere considerato lo scopo di questo modello matematico.
02 - Metodo del teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Il metodo fornisce il punto :
che rende massima la funzione :
con le condizioni di conservazione delle merci :
e di positività del prezzo :
ed, ovviamente, essendo :
.
Le equazioni
,
costituiscono una varietà lineare bidimensionale di
. Tale varietà
costituisce un vincolo per la funzione di utilità totale
. Il problema in
questione è allora un classico problema di
massimi o minimi relativi condizionati che affronteremo col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Ci limitiamo alla ricerca dei massimi e minimi relativi condizionati di
. Per quanto riguarda la determinazione
del massimo di
(sempre condizionato), essa dovrà essere attuata a
parte.
Seguendo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, introduciamo la funzione :
i cui punti critici soddisfano le relazioni :
.
Orbene, se un punto
è
punto di massimo o minimo relativo condizionato per
, allora
esistono i
numeri reali
per cui tale punto è punto critico di 
.
Ricaviamo allora direttamente le relazioni :
dove fra parentesi abbiamo indicato i valori in cui calcolare le derivate.
Se aggiungiamo alle precedenti le relazioni di conservazione, otteniamo il sistema :
che rappresenta un sistema di quattro equazioni in quattro incognite risolvendo il quale troviamo i punti massimo
e minimo relativi condizionati per la funzione di utilità totale
.
Le soluzioni trovate devono poi essere confrontate con la condizione di positività del prezzo :
.
Conoscendo la forma delle funzioni di utilità, il problema si riduce allora ad un semplice problema algebrico.
Infine, trovato il valore
,
si determina il prezzo p .
Questo metodo, molto semplice nella definizione e nella risoluzione, ha però lo svantaggio di non permettere
una "visualizzazione" geometrica dell'andamento della funzione di utilità totale
03 - Metodo delle coordinate locali.
Le relazioni di conservazione :
rappresentano una varietà differenziabile bidimensionale di
. Su questa varietà, che chiameremo 
, è
possibile costruire un sistema di coordinate locali a due dimensioni
.
La funzione di utilità totale :
può essere perciò espressa in funzione delle coordinate
per cui è possibile una sua utile ed immediata
rappresentazione grafica essendo :
appunto una ordinaria superficie di
. Per questo motivo il presente metodo può essere considerato preferibile
al precedente.
A causa dell'evidente linearità di
, una parametrizzazione generica di
è :
con
.
Sostituendo nelle relazioni di conservazione otteniamo :
che deve valere per ogni
per
cui si deve avere :
.
Una semplice parametrizzazione di
è allora :
(si noti che il rango del differenziale di questa trasformazione è 2 come deve essere).
Imponendo la non negatività delle
si ottengono le seguenti condizioni per le
:
che forniscono il dominio
delle
la cui rappresentazione geometrica è la seguente :
dove
.Un tale dominio (un parallelogramma) non è di semplice utilizzo. Introducendo le nuove coordinate
, con
una opportuna trasformazione lineare :
.
dove
è
una matrice 2x2 , è possibile trasformare il suddetto dominio nel
quadrato 
di
lato 1 :
Non è difficile dimostrare che si deve avere :
la cui matrice inversa è :
.
Abbiamo quindi :
per cui otteniamo infine :
.
Questa è una parametrizzazione di
sul dominio
che soddisfa tutte le condizioni poste in precedenza.
La funzione di utilità totale
,
espressa nelle nuove coordinate, diventa allora :
per cui la ricerca dei suoi massimi e minimi relativi si riduce alla ricerca dei punti critici di
e
alla verifica di ogni
punto critico trovato, con la matrice Hessiana, se si tratta di massimo o minimo relativo (la ricerca del massimo
(assoluto) dovrà prendere in considerazione anche i punti della frontiera di
.
I punti critici di
sono dati da :
e la matrice Hessiana di
è
:
dove, ovviamente,
.
Omettiamo l'enunciazione del criterio per stabilire se un punto critico è un massimo o minimo relativo condizionato
supponendolo noto.
Le soluzioni trovate vanno confrontate con la condizione di positività del prezzo :
che, espresse nelle coordinate locali
, diventano :
.
Il metodo qui presentato è equivalente al precedente (porta agli stessi risultati) però ha il vantaggio di permettere
una immediata visualizzazione della funzione di utilità totale con il suo massimo.
04 - Esempio numerico.
Consideriamo le seguenti funzioni di utilità (che rispondono ai requisiti posti sopra) :
con
, 
, 
.
La derivata prima è :
.
Il grafico di una di queste è per esempio :
La funzione di utilità totale sarà :
.
I dati numerici del problema siano :
.
- soluzione con il metodo del teorema dei moltiplicatori di Lagrange
Il sistema che risolve il problema è :
con le condizioni :
.
Sostituendo i numeri, con semplici calcoli otteniamo la soluzione non accettabile :
.
Il fatto che la soluzione trovata non sia accettabile perché non soddisfa la condizione
non inficia la validità
del modello. Si tratterebbe semmai di scegliere opportuni dati iniziali.
- soluzione con il metodo delle coordinate locali
Ci limitiamo all'aspetto grafico.
La funzione di utilità totale, sostituendo le singole funzioni come definite precedentemente, risulta essere :
con le condizioni che determinano il dominio
:
.
La funzione rappresenta una superficie di
il cui grafico, sostituendo i valori numerici, risulta :
Il punto di massimo di questa superficie rappresenta la soluzione del problema se soddisfa la condizione :
.
che è rappresentabile dal grafico :
dove i punti dell'area colorata soddisfano le due condizioni (che sono equivalenti).
Il presente metodo, squisitamente qualitativo, fornisce una visualizzazione immediata della soluzione del
problema.
La mancanza di "dettaglio" del grafico della superficie può essere ovviato con opportuni accorgimenti grafici.
Per esempio si ottiene :
Fine.
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